楕円内の三角形の面積

楕円2x^2+y^2=4上の点A(1,√2)をとる。直線l:y=ax+bは点Aにおける楕円の接線と平行で,楕円と相異なる2点で交わるものとする。次の問いに答えよ。
(1)　傾きaの値を求めよ。
(2)　直線lが楕円と相異なる2点で交わるようなbの範囲を求めよ。
(3)　楕円と直線lとの2交点をB、Cとする。bが(2)で求めた範囲を動くとき、△ABCの面積が最大となるbを求めよ。

(1)は-√2、と(2)は-2√2<b<2√2と問題なく解けました。(3)ですが、点B、Cの座標をbで表しB、C間の距離を求め、点Aと直線lの距離を出して面積をbで表せたのですが、その後の計算で√が出てきて困ってしまいました。そこの計算の仕方、あるいは別の面積の出し方などありましたら教えてください。

No.1 回答者： kabaokaba 回答日時： 2008/07/19 11:25

＞点B、Cの座標をbで表しB、C間の距離を求め、点Aと直線lの距離を出して面積をbで表せたのですが、

泣きたくなるような汚いし式が出てきましたよね，多分
それで気合を入れて進んでも正解はでるんだけども，
どうして汚くなったかを考えましょう．
原因は
BとCを具体的にbで表現したことだと分かりますか？
多分，(1)より
2x^2+y^2=4
y=-2-√2 x +b を連立させて
4x^2-2√2 b x+b^2-4=0 を計算したはず。

これはそうやって具体的にやるとはまる
BとCのx座標だけをα，βとおけば，これが
4x^2-2√2 b x+b^2-4=0
の解になる．
一方，
B(α,-2-√2 α +b)
C(β,-2-√2 β +b)
A(1,√2)
なんだから，これで三角形の面積は分かる
（ベクトルを使えばすぐだけども，行列式の絶対値の半分が
三角形の面積であることを知ってれば一瞬）．
間違いなく，この面積はα，βの対称式になる．
これで解けるんじゃない？

この回答へのお礼

ほんと、泣きたくなるような汚い式が・・・
おかげでスッキリと解くことができました。ありがとうございました！！

お礼日時：2008/07/21 09:59

No.2 回答者： take_5 回答日時： 2008/07/19 12:04

＞あるいは別の面積の出し方などありましたら教えてください。

Ａ（x1、y1）、Ｂ（x2、y2）、Ｃ（x3、y3）とし、求める三角形の面積Ｓについて、Ｓ＝（1/2）*｜（x1-x3）*（y2-y3）-（x2-x3）*（y1-y3）｜という公式がある。
それをこの問題に当てはめると、Ａ（1、√2）、Ｂ（α、b-α√2）、Ｃ（β、b-β√2）とすればよい。
後は、解と係数の関係から、α＋β＝b/（√2）、αβ＝（b＾2-4）/4を代入するだけ.

この回答へのお礼

ありがとうございました！
使わせていただきます！！

お礼日時：2008/07/21 10:00

No.3 回答者： nettiw 回答日時： 2008/07/19 16:02

最後は因数定理で、b=-√2 のようですね。

（壱）　ＢＣの長さを出すときに、
Ｂ、Ｃ座標を考えるのは遠回りです。
4x^2-2√2・bx+b^2-4=0　を　４で割って、
x^2-(1/√2)bx+(b^2-4)/4=0
２解をｓ、ｔとして、
ＢＣ＝｜ｓ－ｔ｜√（１＋ｍ＾２）・・・公式です。
(s-t)^2=(s+t)^2-4st=(b^2/2)-(2b^2-8)/2=(8-b^2)/2
|s-t|=√(8-b^2)/√2
√(1+m^2)=√3
ＢＣ＝(√3/√2)√(8-b^2) となります。

（弐）ＢＣとＡの距離は出ていると思います。
√2・x+y-b=0...A(1,√2)
d=(2√2-b)/√3・・・絶対値は、はずせます。

（参）あとは、念のため。
Ｓ１=(1/2)[(2√2-b)/√3][(√3/√2)√(8-b^2)]
　　=(1/2)(1/√3)(√3/√2)(2√2-b)√(8-b^2)
不要な係数は、無視します。
Ｓ２=(2√2-b)√(8-b^2)
f(b)=(Ｓ２)^2=((b-2√2)^2)(8-b^2)
４次関数ですが、-2√2<b<2√2　で極大値（最大値）がひとつですね。
f’(b)=-4(x^3-3√2x^2+8√2)=0
f’(-√2)=-2√2-6√2+8√2=0
f’(b)=-4(x+√2)(x^2-4√2+8)
　　　=-4(x+√2)(x-2√2)^2
此処まで来て、問題の意味が・・・　　。

この回答へのお礼

計算の途中で間違っていたようです(--;
ありがとうございました！！

お礼日時：2008/07/21 10:02