三点A(-1.1) B(2.0) C(3.5)を頂点とする△ABCがあり、点Pは線分AC上でAP:P

三点A(-1.1) B(2.0) C(3.5)を頂点とする△ABCがあり、点Pは線分AC上でAP:PC=3:1です。
点Pを通る直線lによって△ABCの面積が二等分されるときの直線lの方程式を求めよ。

点Pの座標は内分点なのでP(2.4)とだすことができました。
そしてAB上に点Qをとり、X座標をtと置き
Q(t.-1/3t+2/3)ができました。

このあとはどのように計算すればよいのですか？

質問者からの補足コメント

• 解説に
  △ABC=2△APQより
  AC×AB=2×AP×AQ
  と書いてあります。
  
  これはなぜ成り立つのですか？
  相似でもないのに…
  
  ちなみにQ(1.1/3)で
  直線PQ 11x-3y-10=0らしいです。笑

    補足日時：2017/04/13 18:20

No.6 ベストアンサー 回答者： sc348253 回答日時： 2017/04/13 19:05

なるほど！

三角形の面積の公式は？
http://mathtrain.jp/sinmenseki
sinを用いた面積の公式より、
△ABCと△APQにおいて、∠CAB=∠PAQ(=θとおく) だからだよ！

三平方の定理より
AC=4√2 , AB=√(1^2+(2+1)^2)=√10
AP=3/(3+1) ・AC=(3/4)・4√2=3√2
よって、面積における条件より
AC・AB・sinθ=2AP・AQ・sinθ
∴ 4√2 ・ √10=2・3√2・AQ
∴ AQ= (2/3)√10=(2/3)AB
よって、
点Qは、相似より(1,1/3)となる！
後は、簡単だね！
教師でない59歳だよ！

No.9 回答者： age1118 回答日時： 2017/04/13 20:55

解説に

△ABC=2△APQより
AC×AB=2×AP×AQ
と書いてあります。

△ABCと△ABPを比較して、△ABPが面積3/4というのは分かりますね。△ABPと△AQPを比較して、△ABPの何倍が△AQPになるのか、というのを式にすると△ABC×3/4×X=△AQP=1/2△ABCとなります。Xは、ABに対するAQの割合です。

No.8 回答者： tekcycle 回答日時： 2017/04/13 20:53

△ABCの面積は？

では、△APQの面積は？
面積が二等分される、という問題文の条件を、あなたは見落としたわけです。
おそらく他でも同様の失敗をするはずで、それで「丸暗記した問題と違う問題」が解けないでしょう。
今のうちに散々失敗を繰り返して、克服して、それから試験を受けて下さい。
まずは、自分がどういう所で失敗するのか、洗い出さなくてはならないのです。洗い出して、失敗を繰り返しながら、克服することです。
丸暗記したって解けるようにならないのは、自分が何を間違うかが判ってないし、それを克服してないからです。

No.7 回答者： sc348253 回答日時： 2017/04/13 20:19

△APQにおいて、AP=3 でその面積も 4 なので、高さが4・2/3=8/3になればいいので、

貴方が求めた点Qから、直線AC: y=x+2 への距離の公式より8/3になれば求められるでしょう！

→AP=3√2の記載間違いで、4=AP・(高さ)/2より、高さは、4・2/(3√2)=4√2/3となるから、公式より
点Q(t,ー(1/3)t+(2/3))からy=x+2 つまりxーy+2=0への距離が、4√2/3となればいいので
4√2/3= l 1・t+(ー1)(ー1/3 t+2/3)+2 l/√｛1^2+(ー1)^2｝
= l (t+t/3)+2ー2/3 l/√2
= l 4t/3 +4/3 l /√2
=｛4/(3√2)｝l t+1 l
=(2√2/3) l t+1 l
∴ 2= l t+1 l
∴ t=1 (∵ t=ー3 は不適)
よって、点Q(1,1/3)となる。

No.5 回答者： age1118 回答日時： 2017/04/13 19:01

△APQは、APがACの3/4なので、Qは、3/4×X=1/2、x=2/3を満たす点です。

つまり、AQは、AQ:QB=2:1の点です。
これで、PはACを3:1、QはABを2:1に分ける点と分かりました。これにより、Pは、1/4A+3/4B、Qは、1/3A+2/3Bとなります。P、Qの座標が分かったので、後は分かりますね。

No.4 回答者： cruelman 回答日時： 2017/04/13 18:42

三角形の面積は

(1/2)AB・AC・sinA
で表すことが出来る。
三角形APQは三角形ABCの1/2だから、これを利用して等式を作って整理すれば
(1/2)AB・AC=AP・AQ

No.3 回答者： sc348253 回答日時： 2017/04/13 15:35

確かに、点Pから、x=3に降ろした点、及び 点Aから、x=3に降ろした点と、点P、点C

となす三角形が相似だから、点P(2,4)となるね！

点A(ー1,1) 点B(2,0) 点C(3,5)とからなる三角形の面積は、
点A(ー1,1)点(3,5)点(ー1,0)点(3,0)とからなる台形の面積ー
点A(ー1,1)点B(2,0)点(ー1,0)とからなる三角形の面積ー
点B(2,0)点C(3,5)点(3,0)とからなる三角形の面積
=(1+5)・(3+1)/2 ー (2+1)・1/2 ー (3ー2)・5/2 =12ー1.5ー2.5=8 より
△APQの面積は、△ABCの半分なので、8/2=4 となればいい！ …(1)

次に、直線ACを求めると
点A(ー1,1)点C(3,5)を通り、傾き(5ー1)/(3+1)=1の直線だから、y=x+mとおくと
代入して、y=x+2 となるから、

△APQにおいて、AP=3 でその面積も 4 なので、高さが4・2/3=8/3になればいいので、

貴方が求めた点Qから、直線AC: y=x+2 への距離の公式より8/3になれば求められるでしょう！

No.2 回答者： USB99 回答日時： 2017/04/13 13:46

QをAB上の点して、ABをt：1-tに内分する点とすると

△APQの面積＝△ABCの面積＊3/4＊t
であるから
△APQの面積が△ABCの半分の面積ならば、3/4＊ｔ＝1/2　　∴t=2/3

よって、点Qは線分ABを2:1に内分する点

そこで線PQの方程式をだしてもいいかも

No.1 回答者： Zincer 回答日時： 2017/04/13 12:56

質問者さんの方針をそのまま継続する方法ですと

１．△ABCの面積を求める
２．その半分の面積となる△AQPとなる点Qを算出する
（但し、条件を満たす点Qが存在するとして）
３．直線PQ（＝直線ｌ）の方程式を求める
となりそうです。

ここは素直に
１．△ABCの重心の座標を求める
２．点Pと重心を通る直線ｌの方程式を求める
の方が楽そうですよ。
ちなみに、重心の求め方は
http://manapedia.jp/text/2973

参考にしてください。