→      →
ベクトルaの大きさを|a|と表しますよね?でもわざわざ大きさを表すのに絶対値記号をつけて表さなくても、そのままで大きさが表せれているように思えるのですが・・・
問題を解く際に考える必要も無いことなのかもしれませんがとっても気になるんです!!教えてください!!

このQ&Aに関連する最新のQ&A

A 回答 (10件)

#6~#9です。


>ベクトルの大きさ・・・始点から終点までの距離・・・点Aと始点の距離のことでいいんですよね?
そういう事です。ベクトルに絶対値をつける事の意味は分かりましたか?
ベクトルと絶対値は違うものなのです。(あえて言うなら次元を減らしている)
始点から終点までの長さと思っていれば、何も問題はありませんが、点Aと原点との距離と思っていると、間違いがあるかもしれません。中には点Aと点Bの距離なんてものもありますので。位置ベクトルが(→b-→a)の点Cと原点の距離と思えるのなら、いいですが。始点から終点までの長さと思っておく方が無難です。

ちなみに「点Aと始点の距離」とありますが、点Aと比べるのは原点の方が自然かと。別に数学的な理由があるわけではなく、間違っているわけではありませんが、「始点」に対応するのは「終点」であるような気がするので。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

わかりました!!何度も質問してしまいまして・・ありがとうございます!!これからも宜しくお願いします!!

お礼日時:2002/11/16 09:05

#6~#8です。


#8の1行目に「二方向」とありますが、「2つの向き」として下さい。
2or3行目に「ベクトルは平面であるため」とありますが、「ベクトルは平面(2次)以上の次元であるため」として下さい。

ベクトルが2次であれば平面ですが、3次であれば空間になります。4次ならば、4次元空間になります。(少なくとも直線(1次元)にはなりません、1次元はスカラー(実数など)ですから、向きがなくなります。)2次のみを考えるのなら、「平面であるため」のままでかまいません。

絶対値が「中身が正でも負でも結果が正になるようにする」ためなら、絶対値の中見が負の時に掛けるのが-1である必要はありませんね。別に-2でも-0.0001でも正になるのですから。

この回答への補足

えーと・・#8の補足にも書いたのですが・・ベクトルの大きさというのは、そのベクトルの始点から終点までの距離のこと、もしくは位置ベクトルが→aの点Aと支点の距離のこと!!でいいんですよ・・ね??何度も何度もすみません・・

補足日時:2002/11/15 21:59
    • good
    • 0

>向きに正、負がないのなら、どうしてベクトルに絶対値をつけるのでしょうか?


正負というのは正と負の二方向しかなく、直線上でなければ正負という概念はありません。しかし、ベクトルは平面であるため、方向が無限にあります。そういう意味で"正負はない"という意味で書きました。

>絶対値は中身が正でも負でも結果が正になるようにするときにつかいますよね?
この解釈が違います。正でも負でも正になるように絶対値をつけているのではなく、絶対値をつけると、結果として(実数の場合は)正でも負でも正になるのです。

「絶対値」とはもともと「原点からの距離」です。距離だから、0以上となるのです(距離が負になる事はありえません)。
実数に絶対値をつけると、(実数と原点(0)の距離を考えると)正の場合はそのまま、負の場合は-1を掛けた形になるのです。例えば、-2と0の距離は2です。だから、|-2|=2となります。結果だけ見ると-2に-1を掛けた形になっています。
複素数はもう習いましたか?習ったのならば、複素数の絶対値も複素平面上で原点からの距離となっていますね。

「原点からの距離」を応用して「点と点の距離」とも考えるようになりました。
例えば-3と2の距離を求めるのに|(-3)-2|=5とします。
複素数の場合も、複素数z,w間の距離を求めるために|z-w|とします。

ベクトルの場合の絶対値も同じ事が言えます。
→aに絶対値をつけた|→a|は距離を表します。「原点との距離」で考えるなら、始点が原点にある思って、原点(始点)と終点の距離を表します。あるいは、位置ベクトルが→aの点Aと原点の距離を表しているとも考えられます。「点と点の距離」で考えるなら、始点と終点の距離です。 

この回答への補足

では、ベクトルの大きさというのは、そのベクトルの始点から終点までの距離のこと、もしくは位置ベクトルが→aの点Aと支点の距離のこと!!でいいんですよ・・ね??たびたびすみません・・

補足日時:2002/11/15 18:57
    • good
    • 0

#6です。


>そのベクトルの大きさを表すとき負も正も関係ないように絶対値をつける
違います。ベクトルには正とか、負とかはありません。もともと、正も負も関係ありません。(仮に正負があったとして、正の向きに対して10°ずれたベクトルは正?負?、直角なのは正?負?)、一直線上のベクトルを考えるのなら、その解釈でもいいと思います。

→aと→bは大きさが等しい。
この事をどう表しますか?ベクトルの等号が成立するためには向きも等しくないといけませんが、向きが等しいかどうかは分からないので、→a=→b、とは表せません。|→a|=|→b|とすれば、向きは分からないが大きさは等しいと表せます。


→aは大きさと向きを表しています。ある証明で、向きはどうでも良く、大きさのみを考えたいとします。つまり、→aの"向き"の要素が邪魔なわけです。邪魔なら、その要素を消せばいいのです。絶対値をつければ大きさのみを表します。つまり、絶対値をとれば、向きの要素はありません。
要するに、ベクトルの向きを考えたくないときに絶対値を使うのです。

それから、→aはベクトルですが、|→a|はスカラーです。(スカラーとは大きさのみのもの)本質的に全く違うものです。

この回答への補足

そうなんですか・・向きに正、負がないのなら、どうしてベクトルに絶対値をつけるのでしょうか?絶対値は中身が正でも負でも結果が正になるようにするときにつかいますよね??  ベクトルに絶対値をつければその大きさをあらわすというのは1+1がなぜ2になるのかがそれ以上説明できないのと同じようにそれ以上説明できないものでそれをそのまま覚えるしかないのでしょうか??   なんだか変なことばかり聞いてしまって・・ごめんなさい・・

補足日時:2002/11/14 22:32
    • good
    • 0

>>→v1, →v2=-(→v1) のとこがわかんないです。


これは→v1, →v2という2つの速度ベクトルがあって、→v2=-(→v1) とする、
という意味です。

例えばベクトルの足し算では、東に10キロ、北に10キロ移動すると北東に14キロぐらい進んだ事になります。
一方、ベクトルに絶対値をつけて足し算した場合では10キロ+10キロで、20キロ進んだ事になります。
この例だと、ベクトルの足し算は"距離"、絶対値をつけると"道のり"を表します。

ベクトルは"大きさ"も表してはいるのですが、同時に"向き"も表しています。ベクトルの"向き"の要素を消すために絶対値をつけます。


→a=(2,14)と→b=(9,11)はどちらが大きいのか見ただけで分かりますか?
この大きさを比べるために絶対値をとって
|→a|^2=2^2+14^2=200
|→b|^2=9^2+11^2=202
これを比べて、(9,11)の方が大きいと分かるのです。
また、(2,14)が(10,10)と同じ大きさだという事もこの2つのベクトルを見ただけで分かりますか?

ベクトルを見ただけでは、分からないから、絶対値をとって、分かるようにしているのです。

この回答への補足

ベクトルの方向は、正となる方向をきめて、それに対して向きが逆か、同じ方向かで、負か正でその向きを表すので、そのベクトルの大きさを表すとき負も正も関係ないように絶対値をつける・・ということでしょうか?

補足日時:2002/11/14 19:31
    • good
    • 0

こんにちは!


ベクトルって、方向があるよね?
例えば、(1,0)というベクトルと、(-1,0)というベクトルは
全く反対方向を向いている。
でも、これらの大きさは、√(1^2+0^1)=1なんだよね。


(1,1)というベクトルだったら、x座標もy座標も正です。
大きさは√2だけど、ベクトルが正の方向(ということにすると)を
向いているときは、イメージてきに分かりますよね。
(-1、-1)というベクトルではどうですか?
負の方向を向いています。しかし、大きさは√2で同じです。

もし、(1,1)も(-1、-1)も、大きさをあらわしているとすると、
二つのベクトルの和は2√2になるのでは??

実際は(1,1)+(-1、-1)=(0,0)
となります。
大きさは、|(1,1)|=√2
     |(-1、-1)|=√2です。

このように、ベクトルは方向という要素があるので、ただの線分とは違うのです。
だから、大きさを表すには、絶対値をベクトルにつけないといけないのです。

ご理解いただけましたでしょうか?
    • good
    • 0
この回答へのお礼

ありがとうございました!!参考になりました!!

お礼日時:2002/11/16 09:07

簡単かどうかしらないけど、


大きさが同じでも方向が違えば、別のものになります

(例)・・・
●同じ力でボールを蹴っても、左から蹴るのと右から蹴るのでは違う方向に進んでいく。
●同じ速度で走るくるまでも、東へ向かうくるまと西へ向かう車は違うところにたどり着く
・・・
などです。


a について考えてみます。

仮に....

a を”東”に進む”時速100キロメートル”の車  とすると・・・

 →
|a| = ”時速100キロメートル” というふうになります。

絶対値記号をつけると方向(ここでは”東”)がどちらかという意味はもたなくなるのです。

ベクトルに絶対値記号をつけると「大きさのみ」表し、ベクトル自体だと「大きさと方向」を表すことになるんです。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

ありがとうございます!!参考にさせていただきました。

お礼日時:2002/11/16 09:08

具体例がいいでしょう.


速度(ベクトル)→vと速さ|→v|の関係が分かり易いかも知れません.

速度→vはベクトル量で, 大きさと向きの両方の情報を持っているのに対し,
速さ|→v|は大きさだけです.

特に違いがはっきりするのは, 和の時で,
例えば, 逆向きの速度ベクトル →v1, →v2=-(→v1) があるとき,
ベクトル和は (→v1)+(→v2)=→0 で, 零ベクトル(大きさは0)になってしまい,(絶対値 |→0 |=0 で, 両辺とも実数です.)
速さの和 |→v1|+|→v2|=2|→v1| とは全く異なります.

風を考えても, 速度(向きと速さ)と速さは意味が違います.
ただし,日常語だとかなり混同して使われているので, 気をつける必要があります.

この回答への補足

>速度ベクトル →v1, →v2=-(→v1) があるとき,
ベクトル和は (→v1)+(→v2)=→0 で, 零ベクトル(大きさは0)になってしまい,(絶対値 |→0 |=0 で, 両辺とも実数です.)
速さの和 |→v1|+|→v2|=2|→v1| とは全く異なります.
の、特に>→v1, →v2=-(→v1) のとこがわかんないです。理解力が無くって・・ごめんなさい・・

補足日時:2002/11/12 07:10
    • good
    • 0
この回答へのお礼

ありがとうございました!!今後ともよろしくお願いします!!

お礼日時:2002/11/16 09:09

3次元ベクトルは三つの成分をもっています。


a=(a1,a2,a3)

ですが、aの大きさは
|a|=sqrt(a1**2+a2**2+a3**2)
のようにスカラー量、一次元の量です。です。

{sqrt()はルートです。**2は2乗の意味です}


a・a=|a||a|ですが

a・b=a1*b1+a2*b2+a3*b3

|a||b|=sqrt(a1**2+a2**2+a3**2)*sqrt(b1**2+b2**2+b3**2)
であり、

a・bは|a||b|と等しくありません。


計算するのに、aベクトルの大きさを使うので
それを簡単に表記するための物だと思います。


cosθ=a・b/(|a||b|)
{θはaとbの間の角度}

高校数学で、微積分を習うとおもいますが、
そこで
cos(mθ)cos(nθ)
積分が mとnが等しいときは、値を持ち、
その他のときは、ゼロになる
というものを計算するとおもいます。
その発展で、フーリエ変換とうものがあります。
(高校の授業ではおしえてくれない。)
フーリエ変換は、おもしろいです。
コンポで、音をならしたとき、
どの周波数の音がでているか、表示されますよね。
その計算に、うえの積分の応用が使われています。

大学の教養数学や、工学系の教科書にのっています。
高校生でも、理解できると思います。
僕は、フーリエ変換をしって、はじめて、
高校でcos,sin の積分をやったのは、これを教えたかったんだぁと思いました。

・・・でも、高校の先生は、一言もいってくれなかったけど・・・・・・・( ̄。 ̄ )ボソ...
    • good
    • 0
この回答へのお礼

ありがとうございました!!大変参考になりました!

お礼日時:2002/11/16 09:13

う~ん、


自信はないのですが、
→                                  →
aというのは正の力であって逆向きの負の力を表すときは-a
と表しますよね?
              →
それもまとめて「力」を|a|と書くのだと思います。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

ありがとうございました!!

お礼日時:2002/11/16 09:06

このQ&Aに関連する人気のQ&A

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人が検索しているワード

このQ&Aと関連する良く見られている質問

Q応力による力のベクトルについての質問です。 ガラス基板に酸化物薄膜を成膜したときに引っ張り応力なら下

応力による力のベクトルについての質問です。
ガラス基板に酸化物薄膜を成膜したときに引っ張り応力なら下に凹、圧縮応力から上に凸になりますが、それぞれ力のベクトルはどう働くのでしょうか?
上方向か下方向か?教えてください。お願いします。

Aベストアンサー

話を簡単にするために順番を逆にしています。
A:基盤(黒線)とちょっと長い皮膜(青線)があったとします。
B:破膜を圧縮して短くします。
この状態では皮膜に圧縮応力
C:基盤と(圧縮された)皮膜を接合し、皮膜にかけていた応力を開放します。

Cの状態では上に凸となることは理解できますね。
これが皮膜に圧縮応力が残留している状態です。

実際には皮膜形成時に応力が発生し、基盤と接合されているために開放できない残留応力です。
熱膨張率が違う場合などは、加熱や冷却時に発生する場合もあります。

Qベクトルの大きさの表記、これでは|a→|=|(a1,a2)|だめですか?

例えば、
a→=(2,1)
とします。
その大きさは
|a→|=√(2×2+1×1)
と表記しますよね。
それを
|a→|=|(2,1)|=√(2×2+1×1)
と表記するのは駄目ですか?
確認したいのは
|a→|=|(2,1)|
この上の式の表記です。
ベクトルの成分の横に大きさの記号をつける表記です。
どの教科書にも、参考書にも書かれていません。
しかし、意味は分かると思います。
この分野に関して詳しい方、分かる方、解答を
よろしくお願いします。
申し訳ないですが、お分かりでしたら、お願いします。

Aベストアンサー

かまいません.

>どの教科書にも、参考書にも書かれていません。
まえの同じような質問の回答にもあったように
なんらかの理由によってあえて
教科書には書かないことがあります.

この場合,
・教科書は初学者向け
なので
・「座標に絶対値をつける!?」という誤解を避ける
というようなことでしょう
#ちなみに「成分表記で絶対値」とか「成分表記で内積」は
#それなりの参考書や問題集を探せばでてるはず

前の質問にも通じますか,
教科書や参考書に書いてあることなど
ごくごく一部です.
そして,高校程度の数学は,数学の極めて一部の
そのさらに初等的な部分にすぎません.
さらにいうと,数学そのものだって
最重要な部分を担ってはいるけども科学の一部にすぎないのです.

だから「教科書にのってない」から駄目とか
そういう発想は捨てましょう.
正しいのに書かれてなければ何か理由が,
それが正当なもの,単なる打算や妥協の産物なにかは別として,
あるものです.

Q「力のつりあい」はベクトル量でなくスカラー量?

画像の図の力のつりあいにて、
P=P0+ρSg
となってますが、「力」ではなく「力のつりあい」ならベクトルは関係無いんですか?

Aベストアンサー

 「圧力」は、「面に垂直な力」です。「面」を考えずに「圧力」は存在しません。「風船」を考えれば、表面の全ての垂直方向に「圧力」が働いています。
 「圧力のつりあい」は、あくまで「その面」についてのつりあいであり、「その面に垂直なベクトル」と考えれば「ベクトル」です。

 図でいえば、Sという平面は、水面に平行な面である必要はありません。船の底のように、垂直でも斜めでもかまいません。
 その平面の深さ h の位置の圧力が

   P=P0+ρ*h*g

ということです。考える「面」によって方向が変わります。

 たとえば、水面に垂直な面を考えて、上端が深さ h1 、下端が深さ h2 、幅が W であれば、

  上端の圧力 P1 = P0+ρ*h1*g
  下端の圧力 P2 = P0+ρ*h2*g
  平均の圧力 Pa = P0+ρ* [(h2 + h1)/2] *g

で、この面に働く力は、

   F = W * (h2 - h1 ) * Pa

の「横向き」になります。(考えている「水面に垂直な面」の垂直な方向である、水平方向)

 水没して、まだ中が空気である自動車で、ドアが水圧で開かずに脱出できない、というのは、こういうことです。

 「圧力」は、「面に垂直な力」です。「面」を考えずに「圧力」は存在しません。「風船」を考えれば、表面の全ての垂直方向に「圧力」が働いています。
 「圧力のつりあい」は、あくまで「その面」についてのつりあいであり、「その面に垂直なベクトル」と考えれば「ベクトル」です。

 図でいえば、Sという平面は、水面に平行な面である必要はありません。船の底のように、垂直でも斜めでもかまいません。
 その平面の深さ h の位置の圧力が

   P=P0+ρ*h*g

ということです。考える「面」によって方向...続きを読む

Q|A→×B→|=|A→B→|sinθの証明問題

A→= x_1i→ + y_1j→
B→= x_2i→ + y_2j→

とすると、A→、B→はxy平面上のベクトルである。
簡単のため、x_1,x_2,y_1,y_2は全て正であり、 y_2/x_2 > y_1>x_1 とする。
またθはA→とB→がなす角である

(a) A→×B→を計算しなさいこのベクトルの向きはどうなるか

(b) xy平面上で、原点O、および点A(x_1,y_1), 点B(x_2, y_2)を結んで作られる三角形の面積sを図のように補助線を引き、三角形と台形の面積を計算することにより求めなさい。

(c) 三角形OABの面積SがBからOAに推薦を下すことによりS=1/2 |A→||B→|sinθとなることを示しなさい

(d) (a)~(c) の結果を用いて|A→×B→|=|A→||B→|sinθであることを示しなさい。

Aベストアンサー

まず、教科書を開いて A→×B→ の定義を確認しよう。
流儀によっては、A→×B→ ⊥ A→, A→×B→ ⊥ B→,
|A→×B→| = |A→||B→|sinθ を A→×B→ の定義に
している場合だってある。定義を確認しない事には、
証明が始まらない。

Q交流回路のベクトル図と力率についてですが、 図の回路のベクトル図を書いてみました。 V1とV2は同相

交流回路のベクトル図と力率についてですが、
図の回路のベクトル図を書いてみました。
V1とV2は同相なのでV1=V2を基準とするとそれに同相成分のI2、コイルがあるので遅れたI1を書き、そのベクトル和がI3となりました。

そこで回路の力率cosθなのですが黒く書いたθか赤いθかが分かりません。
力率cosθとは回路に流れる抵抗成分と位相?成分の位相差の事だと思っていたので黒いθだと考えたのですが、赤いθが正解でした。

力率cosθはなぜ赤いθなのでしょうか。

Aベストアンサー

No.1です。

>補足の回路図で「負荷」と点線で囲ってありますがその注意書が無い質問の手書きの図面でもその考え方は同じなのでしょうか。

「同じ」ということではなく、「どこの力率か」ということで、断りがなければ「負荷の力率」でしょう。
手書きの回路図では、「抵抗+コイル」の部分を「負荷」と考えるのが普通でしょう。

もし、真ん中の「抵抗」だけの部分の力率なら、V1とI1との「電力」ですから、力率は「1」(位相角=0)です。これを問う問題は、ふつうはあり得ないでしょう。

Q平面ベクトル・(a→・b→)^2=|a→|^2・|b→|^2 この式は正しいのでしょうか?

aベクトルを a→
bベクトルを b→
と表します。また
|a→|^2 はaベクトルの長さの2乗
|b→|^2 はbベクトルの長さの2乗
a→・b→ はaベクトルとbベクトルの内積
を意味します。

本題ですが、aベクトルとbベクトルの内積a→・b→を2乗したもの
(a→・b→)^2は
(a→・b→)^2
=(a→・b→)×(a→・b→)
=a→・a→・b→・b→
=|a→|^2×|b→|^2
で合っているでしょうか?

Aベストアンサー

正しくありません。
成り立つのは
(a→)//(b→)
の時のみです。

>=(a→・b→)×(a→・b→)
>=a→・a→・b→・b→
この変形が正しくないです。
2行目が何を表すか?不可解な式です。
内積は2つのベクトルの積です。そしてその積はスカラー量(ベクトルでない単なる数値)です。別の内積間を跨いで、ベクトルの交換や順序を入れ替えることはできません。

Q力のモーメントのベクトル積の表し方

力学で習う力のモーメントの式はN=r*F(どの変数もベクトル)ですが、何故r*Fという順番で記述されないといけないのでしょうか?
N=r*Fが定義されているのですか?
もちろん上式を前提とするならば、N=F*rとしたらNの向きは逆になるってことはわかっています。
ご教授お願いします。

Aベストアンサー

>N=r*Fが定義されているのですか?

そのとおりだと思います。
ニュートンの運動方程式は,

ベクトル方程式 dP/dt = F

で記述されますが,一方回転の運動方程式は,

ベクトル方程式 dL/dt = N

と書けます。ここで角運動量が,

L = r×P

で定義されることに伴い,力のモーメント(トルク)は

N = r×F

と定義されています。いずれも軸性ベクトルと呼ばれ,右手系でe_x × e_y = e_z(e_iはi方向の単位ベクトル)となる向きと定義されたものです。角変位,角速度も同様で,x軸からy軸方向の回転角をz軸方向のベクトルで表しています。力や速度といった極性ベクトルと違ってやや形式的なベクトルですが,これらを第3方向のベクトルと考えることで運動方程式のすべてがベクトル方程式としてエレガントに統一された形で表現できるわけです。

Q力のベクトル分解

くだらない質問になりますが、よければアドバイスをください。

添付した図のように
三角台に物体を乗せます。
すると、三角台から抵抗力を受けます(その他の力は今は関係無いので省きます)。
ここから、運動方程式であったり釣り合いの式などを立てて問題を解いていく際、
力のベクトルはもちろん水平、鉛直方向などに分けますよね。

ここで質問です。
下図を見ていただければわかると思いますが、自分は補助線などを引かないと、どうもθの位置がハッキリしないのです。
(重力mgを分解するときは、"三角台のθ=0にしたらmgになるから、これはmgconθだな。"と判断しています。)
しかし、垂直抗力に関しては、素早く分解できません。

みなさんはどのようにしてθを判断していますか。
何かアドバイスをいただけるとありがたいです。

Aベストアンサー

明らかにsinθかcosθをかける、とわかっている場合は、斜面の角度を変えた時の変化の仕方を考えればよいでしょう。

垂直抗力の水平成分は斜面が水平なとき(θ=0)に0となり、角度を大きくしていくとだんだん大きくなります。これはsinです。
垂直抗力の鉛直方向成分は斜面が水平なとき重力と等しくなり、角度を大きくしていくとだんだん小さくなります。これはcosです。

実際にわかりやすい角度でかくのもよいでしょう。30°位の斜面が考えやすいでしょう。(間違って45°にしないように。sinとcosの値が同じになります)

Q不等式 |a-b|<(1/2)|b| ならば |a|>(1/2)|b| (a,b:複素数) の証明

解析の本で
ある複素数列がある複素数に収束するとき
その逆数の数列が収束値の逆数に収束する証明で使われています。
なんか自明のように使われていました。

虫のいいお願いですが、
複素平面を利用した幾何的な証明と
代数的な(式による)証明と
いただけるとうれしいです。

Aベストアンサー

幾何的証明は図を描けば明らかなので、代数的証明を。


|a-b|≧|b|-|a|が成立すれば、
|a|≧|b|-|a-b|>|b|-(1/2)|b|=(1/2)|b|
となるので、|a-b|≧|b|-|a|を証明することにします。


a=a1+ia2、b=b1+ib2、とおくと、
(|a-b|)^2-(|b|-|a|)^2
=(a1-b1)^2+(a2-b2)^2-(a1^2+a2^2+b1^2+b2^2-2|a||b|)
=2(|a||b|-a1b1-a2b2)

ここで、
(|a||b|)^2-(a1b1+a2b2)^2
=(a1^2+a2^2)(b1^2+b2^2)-(a1^2*b1^2+a2^2*b2^2+2a1a2b1b2)
=a1^2*b2^2+a2^2*b1^2-2a1a2b1b2
=(a1b2-a2b1)^2≧0
なので、
(|a-b|)^2-(|b|-|a|)^2≧0

∴|a-b|≧|b|-|a|



なお、|a||b|-(a1b1+a2b2)≧0 は、
内積 a・b=a1b1+a2a2=|a||b|cosθ≦|a||b|
からでも証明可能です。

幾何的証明は図を描けば明らかなので、代数的証明を。


|a-b|≧|b|-|a|が成立すれば、
|a|≧|b|-|a-b|>|b|-(1/2)|b|=(1/2)|b|
となるので、|a-b|≧|b|-|a|を証明することにします。


a=a1+ia2、b=b1+ib2、とおくと、
(|a-b|)^2-(|b|-|a|)^2
=(a1-b1)^2+(a2-b2)^2-(a1^2+a2^2+b1^2+b2^2-2|a||b|)
=2(|a||b|-a1b1-a2b2)

ここで、
(|a||b|)^2-(a1b1+a2b2)^2
=(a1^2+a2^2)(b1^2+b2^2)-(a1^2*b1^2+a2^2*b2^2+2a1a2b1b2)
=a1^2*b2^2+a2^2*b1^2-2a1a2b1b2
=(a1b2-a2b1)^2≧0
なので、
(|a-b|)^2-(|b|-...続きを読む


人気Q&Aランキング

おすすめ情報