二つの囲まれた楕円の共通の面積を求める問題なのですが・・

二つの楕円(0<b<a)
x^2/a^2+y^2/b^2=1・・・(1)
x^2/b^2+y^2/a^2=1・・・(2)　　　　
の共通部分の面積を求めよ
という問題なのですが途中で分からなくなります

＜私の途中までの考え方＞
第一象限での共通面積S'の4倍＝求めるべき共通面積
よってS=4S'
第一象限において二つの楕円の交点を（s,t)とする。
(1)を整理して
y=(b/a)√(a^2-x^2)
(2)を整理して
y=(a/b)√(b^2-x^2)
S'＝∫[b→s](a/b)√(b^2-x^2)dx+∫[s→0](b/a)√(a^2-x^2)dx
ここでsがab/√(a^2+b^2)という所までは分かりました。

∫[b→ab/√(a^2+b^2)](b/a)√(a^2-x^2)dxを
x=bsinθと置いて
範囲は
x;b→ab/√(a^2+b^2)
θ;π/2→？

ここのab/√(a^2+b^2)＝bsinθとした時のθが分からず詰まってしまいました。
初歩的なことなのかもしれませんが・・・どなたか教えていただけないでしょうか？
もしかすると”x=bsinθと置いて”の部分からすでに違うのでしょうか？

ちなみに答えは4abtan^-1(b/a)です。

No.1 ベストアンサー 回答者： info22 回答日時： 2008/07/24 11:31

a≧b>0の場合は

> S'＝∫[b→s](a/b)√(b^2-x^2)dx+∫[s→0](b/a)√(a^2-x^2)dx

S'＝∫[s→b](a/b)√(b^2-x^2)dx+∫[0→s](b/a)√(a^2-x^2)dx
[積分の下限→積分の上限]の形式で書くようにして下さい。

> ∫[b→ab/√(a^2+b^2)](b/a)√(a^2-x^2)dxを
∫[ab/√(a^2+b^2)→b](b/a)√(b^2-x^2)dx
と訂正すれば
> x=bsinθと置いて
この置き方でOK。
> 範囲は
> x;b→ab/√(a^2+b^2)
x:vab/√(a^2+b^2)→b
> θ;π/2→？
θ:tan^-1(a/b)→π/2
です。

なお、a≧b>0の場合は
S=8*∫[0→ab/√(a^2+b^2)] {(b/a)*(a^2-x^2)^(1/2)-x}dx
で計算できます。
この場合の変数変換はx=a*sinθ、θ：0→tan^-1(b/a)です。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。前回の質問にも回答していただいた方ですね。
ご指摘ありがとうございます。次からは[積分の下限→積分の上限]の形式で書こうと思います。

ab/√(a^2+b^2)＝asinθを整理し、
θ＝tan^-1(b/a)を出すことは出来ました！

そのまま
S=8*∫[0→ab/√(a^2+b^2)] {(b/a)*(a^2-x^2)^(1/2)-x}dx
この積分で解いていったところ
Ｓ＝
4ab*tan^-1(b/a)+2ab*sin{2tan^-1(b/a)}+2a^2*cos{2tan^-1(b/a)}-2a^2
となったのですが。答えが4ab*tan^-1(b/a)なので
2ab*sin{2tan^-1(b/a)}+2a^2*cos{2tan^-1(b/a)}-2a^2
この部分は０になるということですよね？
このsin{2tan^-1(b/a)}と
cos{2tan^-1(b/a)}の展開が出来ません。

お礼日時：2008/07/24 20:37

No.2 回答者： info22 回答日時： 2008/07/24 21:41

A#1の補足質問の回答

> この部分は０になるということですよね？
そうなります。

計算プロセスは下に書いておきます。
α=tan^-1(b/a)と置き換えると考えやすいですね。
α=cos^-1{a/√(a^2+b^2)}=sin^-1{b/(a^2+b^2)}
ですから
cosα=a/√(a^2+b^2),sinα=b/(a^2+b^2)です。

[おまけの公式]
tan^-1(a/b)+tan^-1(b/a)=π/2
cos^-1(x)+sin^-1(x)=π/2
これも覚えておく（導けるようにしておく）と役立つでしょう。

質問の件の計算プロセス
> このsin{2tan^-1(b/a)}と
> cos{2tan^-1(b/a)}の展開が出来ません。
sin{2tan^-1(b/a)}=2sin{tan^-1(b/a)}cos{tan^-1(b/a)} ←２倍角の公式
=2{b/√(a^2+b^2)}{a/√(a^2+b^2)}=2ab/(a^2+b^2)

cos{2tan^-1(b/a)}
=[cos{tan^-1(b/a)}]^2-[sin{tan^-1(b/a)}^2 ←２倍角の公式
={a^2/(a^2+b^2)}-{b^2/(a^2+b^2)}=(a^2-b^2)/(a^2+b^2)

> 2ab*sin{2tan^-1(b/a)}+2a^2*cos{2tan^-1(b/a)}-2a^2
=2ab*{2ab/(a^2+b^2)}+2a^2{(a^2-b^2)/(a^2+b^2)}-2a^2
=(4a^2*b^2+2a^4-2a^2*b^2-2a^4-2a^2*b^2)/(a^2+b^2)
=0

この回答へのお礼

ありがとうございます！
できました！
α=cos^-1{a/√(a^2+b^2)}=sin^-1{b/(a^2+b^2)}
cosα=a/√(a^2+b^2),sinα=b/(a^2+b^2)
これが思いつかなかったようです。これをみて理解し、あとは自力で０を導けました！

tan^-1(a/b)+tan^-1(b/a)=π/2の導き方もわかりましたよ！
tan^-1(a/b)＝α、tan^-1(b/a)＝β
として
cosα=sinβ=sin(π/2-α)を出し
β=π/2-α
よってtan^-1(a/b)+tan^-1(b/a)=π/2ですね！
それでは失礼します

お礼日時：2008/07/25 04:06