
∫x^2√(1-x^2)の不定積分の問題なんですが,
つぎのように解いてみたんですが,
∫x^2√(1-x^2)dx
=3x^3√(1-x^2)-∫x^3[√(1-x^2)]'dx
=3x^3√(1-x^2)-∫{-2x/[2√(1-x^2)]}x^3dx
=3x^3√(1-x^2)-∫{x^4/√(1-x^2)}dx
=3x^3√(1-x^2)-∫{1-x^4-1/√(1-x^2)}dx+∫dx/√(1-x^2)
=3x^3√(1-x^2)-∫(1+x^2)√(1-x^2)dx+sin^-1x
左辺に∫x^2√(1-x^2)を移動して
2∫x^2√(1-x^2)=(3x^3-1)√(1-x^2)+sin^-1x+C
よって
∫x^2√(1-x^2)=1/2{(3x^3-1)√(1-x^2)+sin^-1x+C}
となりました。途中式・解答はあってますか?
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
細かいところで間違いがあるようです.係数の間違いなど.
1行目から,
√(1-x^2)の係数は,3 ではなく,1/3
そして,第2項の係数が抜けていて,これも 1/3
2行目以降では,上のミスは除いて指摘します.
4行目
∫{1-x^4-1/√(1-x^2)}dx ⇒ ∫{(1-x^4)/√(1-x^2)}dx
第3項の係数が抜けていて,これも 1/3
7行目
左辺 2∫x^2√(1-x^2)の係数,4/3
右辺の第1項 (3x^3-1)√(1-x^2)
⇒ (1/3)x^3√(1-x^2) - (1/3)∫√(1-x^2)dx
という風に,積分が抜けている.
答えは,
与式 = (1/8)*{x(2*x^(2) - 1)√(1-x^2) + arcsinx}
となります.微分して確認済み.
No.1
- 回答日時:
とりあえず解いてみました。
残念ながらあなたの解答は数学的に
少しおかしいところがあるように思えます。
特に「左辺に∫x^2√(1-x^2)を移動して」は
もともとこれは方程式ではないので不可能です。
また、部分積分でやろうとしてますが、
置換をしたほうがよいでしょう。
まず∫x^2√(1-x^2)dx=(予式)
において、√(1-x^2)はx=sinθ・・・(1) と置換できます。
(1)を微分してdx=cosθdθ・・・(2)
(1)、(2)より
(与式)=∫sin^2θ√(1-sin^2θ)cosθdθ
=∫sin^2θ|cosθ|cosθdθ
ここで-θ/2≦cosθ≦θ/2 であるから絶対値がはずれ
=∫sin^2θcos^2θdθ
整理して
=∫(sinθcosθ)^2dθ
ここで倍角の公式 sin2θ=2sinθcosθ を利用して
=∫(2sinθcosθ/2)^2dθ
=∫(sin2θ/2)^2dθ
=∫(sin2θ)^2/4dθ
ここで半角の公式 sin^2θ/2=1-cosθ/2 を利用して
=∫(1-cos4θ/2)/4dθ
=1/8∫(1-cos4θ)dθ
=1/8(θ-sin4θ/4)
=1/8θ-sin4θ/32+C (Cは積分定数)
だと思います。
これは数IIIの範囲での積分ですのでやや特殊ですね。
間違っていたら・・・ごめんなさい。
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