素因数分解をこの問題でどう使うのか？？

問題
「a、b、cは自然数とする。
2^3a×3^2b×5^cで表せる６桁の数があり、その中央の４桁は０７３６であることがわかっているとき、a,b,cの値を求めよ。」

これは中学生の問題です。私は家庭教師をしているのですが、情けないことにこの問題がわかりません。この問題のテーマは「素因数分解の利用」ということなのですが、どう素因数分解を利用するのかわかりません。

～私の解法（素因数分解の利用なし）～
3^2b＝９の倍数なので、９の倍数の性質と２×５＝１０を利用して６桁の数が「２０７３６０」とわかったのですが、素因数分解を利用していないので、この解法ではないと思います。そもそも９の倍数の性質を知らないと解けない問題自体見たことがありません。

素因数分解を利用する解法がわかる方はぜひ教えて下さい。お願いします。

No.1 回答者： mojitto 回答日時： 2008/10/14 13:11

問題は「a,b,cを求めよ」ですから

207360＝2^3a×3^2b×5^c
の、a,b,cを求めるときに素因数分解を使えばいいと思います。
（「207360」だけでは、まだ問題は解けていません）

とはいえ、単純に素因数分解するのではなく、8,9,5で分解したほうが手っ取り早くa,b,cが求まりそうですね。

>そもそも９の倍数の性質を知らないと解けない問題自体見たことがありません
そうですね。僕も同感です。
ただ、数的な直感から９の倍数の性質に気づけるかどうかが、問題の狙いなのかもしれませんね。

No.2 回答者： rogarr 回答日時： 2008/10/14 13:20

中央が０７３６なので５は１個だけ

Ｘ０７６３＝２＾（３ａ－１）＊９＾ｂ
ａが１だとすると
Ｘ０７６３は３６で割り切れるので
１０７３６～９０７３６を割ってみる

なので元の数は２０７３６０
これなら素因数分解を使ってるともいえるのでは？

No.3 回答者： don9don9 回答日時： 2008/10/14 14:41

2^3a×3^2b×5^cは変形すると8^a×9^b×5^cになります。

よって6桁の数は「360の倍数」と言えます。
よって一の位は「0」となります。
後は、十万の位に1～9を当てはめて、360で割り切れる数を探す。
該当する数字が分かったら、それを素因数分解する。

あまりスマートではありませんが、9の倍数の性質を
知らないと仮定すると、このような解き方になると思います。

ただ、早く解くためのコツとして、9の倍数の性質や
・設問の段階で、c=1であることは分かる。
（cが2以上の場合、8の倍数×25の倍数＝200の倍数となり、下2桁が"00"になるはず）
・本来は2,3,5で割っていくのが正しいが、a,b,cを求めるだけなら8,9,5で割っていった方が早い。
といったことは、補足として説明してもよいかと思います。

No.4 回答者： cipher_roy 回答日時： 2008/10/14 14:53

問題は６ケタの数が決まった後のa, b, cの値の方ですから、この部分

には素因数分解を使わないと求まらないと思います。立派な素因数分解の
問題でしょう。

・a, b, cが自然数（即ち0乗はあり得ない）ため、２×５＝10が含まれ、
このため６ケタの数は10の倍数、従って１の位は０。

・3^2bであるため９の倍数の法則が使え、Ａ０７３６０（Ａは１０万の
位を表す１～９の数字）の各桁の数字を足してＡ＋０＋７＋３＋６＋０が
９の倍数になる→Ａ＝２。

の２点は、あくまで途中の段階の条件の一つにすぎません。
９の倍数の法則を使わなくても、０７３６を含む６ケタの数であること
から、Ａが１～９の自然数にしかならないところまでは十分たどり着きます。
９の倍数の法則は、計算時間を短縮する手法の一つにすぎません
（９の倍数の法則が学校の中１数学で習わない範囲であった場合はまだ
習っていない内容を使わないという縛りで点をくれない可能性はあり
（塾だったら中学のうちからでも高校・大学レベルの法則を叩き込む
ところはいくらでもあるので使えて当たり前位な感覚でしょう））。

この後さらに１番目の条件から、１の位が０なのは分かっているので、
５桁の数Ａ０７３６で2^(3a-1)×3^2b×5^(c-1)を満たすものを探す
事もできます。この時点での１の位（本来の10の位）が５でないため、
５の倍数はもう含まれていないことになり、c=1はここで求まり、後は
2^(3a-1)×3^2bで５桁の数Ａ０７３６を素因数分解して・・・という
手順でa, bも順次求められます。

No.5 回答者： info22 回答日時： 2008/10/14 15:28

2^3a×3^2b×5^c=(8^a)×(9^b)×(5^c)

で６桁の数が８，９，５の倍数であることから
以下の倍数の性質
---------------------------------------------
９の倍数の性質：各位の数字の和が９の倍数である。
８の倍数の性質：下３桁が８の倍数である。
５の倍数の性質：下１桁が０か５である。
---------------------------------------------
を利用する。
６桁の数は
100000p+7360+q (pは1≦p≦9の正整数,qは0または5)
とおける。
上の性質から
(1)q=0,p+16=9n,360=8m (1≦p≦9) ⇒ p=2,(n=2,m=45)
または
(2)q=5,p+21=9n,365=8m (1≦p≦9) ⇒365が8の倍数にならないので不適

したがって,p=2,q=0の場合しか存在しない（これば必要条件です）。
この時、６桁の数は
207360
これを素因数分解すると
207360＝(2^9)・(3^4)・(5^1)=(8^3)・(9^2)・(5^1)
　　　＝(8^a)・(9^b)・(5^c)
故に
a=3,b=2,c=1
こうすれば素因数分解を利用して求めたことになるでしょう。

参考URL：http://www.shinko-keirin.co.jp/kosu/mathematics/ …

No.6 ベストアンサー 回答者： hatake333 回答日時： 2008/10/14 15:28

　　2^(3a)*3^(2b)*5^c = d * 10^5 + 736 * 10 + e

とおくと，
　　736 * 10 = 2^6 * 5 * 23
また，左辺は，
　　2^(3(a-1)) * 3^(2(b-1)) * 5^(c-1) * 2^3 * 3^2 * 5
a ≧ 1 , b ≧ 1 , c ≧ 1 より，a-1 ≧ 0 , b-1 ≧ 0 , c-1 ≧ 0 より，
　　e = 0
∴2^(3(a-1))*3^(2(b-1))*5^(c-1) * 2^3*3^2*5
　= d * 10^5 + 2^6 * 5 * 23
　= 2^6 * 5 * ((625/2)*d + 23)　　← 2^5でくくるべきだが，3a乗よりOK
したがって，d は2の倍数である．d = 2 , 4 , 6 , 8 を代入して，9の倍数になるのは
　　d = 2
のときだけであり，このとき，((625/2)*d + 23) = 648 = 3^4 * 2^3
よって，a = 3 , b = 2 , c = 1

素因数分解をメインに使ってみましたが，9の倍数の性質を使いたいですね．

No.7 回答者： arrysthmia 回答日時： 2008/10/15 10:29

問題を作る際に「素因数分解の利用」をした

ということではないでしょうか？
質問文中の解法が、スマートだと思います。
最後に、２０７３６０を素因数分解するのを
忘れずに。