三角関数の問題

高2です。
11月進研模試の三角関数の問題で解けないのがあります。

f(x)=cos2θ-cosθで範囲が0≦θ＜2πのとき

{1}f(x)をcosθであらわし、そのときの最小値をもとめよ
{2}f(x)が最小値のときのθをaとし、
sin{θ+a}×cos{θ+a}の最大値を求めよ

{1}については一応解けましたが、{2}はさっぱりです。
お願いします。

No.1 回答者： toranekosan222 回答日時： 2008/10/26 11:53

(2)の方針

cos(θ+a)をcosθとcos(a)の式で表す。どうようにsinも。
そうすると、cosθ=x,cos(a)=yとして、sin{θ+a}×cos{θ+a}が
かける。この最大値になるようなyを求めるとxを含む関数になる。
それにより、fの最小値の時のθでaを表すことが出来る。

注意点はcosの式から、最大値を求めるときにグラフを書かないと
間違える恐れがある。

では、あとは頑張って。

No.2 回答者： take_5 回答日時： 2008/10/26 12:18

{1}より、cosa＝1/4からsina＝±√15/4.‥‥(1)

Ｐ＝sin（θ+a）*cos（θ+a）＝（1/2）*sin2（θ+a）＝（1/2）*{sin（2θ）*cos2a+cos（2θ）*sin2a}
(1)より、cos2a＝2（cosa）＾2-1＝-9/8.　sin2a＝2*cosa*sina＝±√15/8‥‥(2)
(2)より、Ｐ＝（1/16）*{－9sin（2θ）±√15cos（2θ）}≦（√6/4）*｜sin（2θ＋α）｜≦√6/4.

但し、計算はチェックして欲しい。

No.3 回答者： noname#70519 回答日時： 2008/10/26 12:38

sin{θ+a}×cos{θ+a}=(1/2)・[sin{2・(θ+a)}]

=(1/2)・[cos{(π/2)-2・(θ+a)}]
(π/2)-2・(θ+a) の範囲を (1) の結果と
0≦θ＜2π の条件から絞り込み、cos{(π/2)-2・(θ+a)}
の取り得る範囲を求めると簡単。

前に掛かっている (1/2) を忘れぬように。

No.4 ベストアンサー 回答者： take_5 回答日時： 2008/10/26 12:44

やっぱり、計算ミス。

。。。。。笑

＞(1)より、cos2a＝2（cosa）＾2-1＝-9/8.　sin2a＝2*cosa*sina＝±√15/8‥‥(2)(2)より、Ｐ＝（1/16）*{－9sin（2θ）±√15cos（2θ）}≦（√6/4）*｜sin（2θ＋α）｜≦√6/4.

　　　　　　　　　↓

(1)より、cos2a＝2（cosa）＾2-1＝-7/8.　sin2a＝2*cosa*sina＝±√15/8‥‥(2)(2)より、Ｐ＝（1/16）*{－7sin（2θ）±√15cos（2θ）}≦（1/2）*｜sin（2θ＋α）｜≦1/2.