No.2ベストアンサー
- 回答日時:
極性ベクトル(普通のベクトル)と軸性ベクトル(擬ベクトル)の説明って、ちゃんとされないと思うんですよね。
しかもそれに数学の線形代数のベクトルの(線形空間の)定義が重なって、余計わけわかんなくなる・・・。まず#1さんの方法は、最も簡単なものです。
次に・・・、次に出す言葉でびびらないで下さいね。
・軸性ベクトルとは、2階の反対称テンソルの省略記法です.
2階のテンソルとは、添え字の足2つという事で、たんなる行列です。反対称なんだから、2階の反対称テンソルとは反対称行列の事です。
3次元の場合の反対称行列を考えると、対角成分全部0に固定で、独立な成分は、非対角成分の上半分か、下半分の3個です。
独立成分3個である事を強調して、「3個で3次元だから、ベクトル形式で表すと便利だよなぁ~」という事で、軸性ベクトルが導入されます。
この反対称行列Rは、回転行列をA(θ),単位行列をE,(極性)ベクトルをx、回転によるベクトル移動をδxとして、
δx=(A(θ)-E)x
を考え、θ→0の1次の項だけ考慮して、R=A(θ)-Eで定義されるので、結局回転移動を表しています。ここらあたりは、ゴールドスタインの古典力学に、明快な説明があります。
極性ベクトルxと軸性ベクトルrの違いは、ベクトルと行列の変換性の違いです。Sを基底変換行列とすれば、ベクトルと行列はそれぞれ、
x'=Sx
R'=S^(-1)RS(≠Sr)
という変換を受けるので、「違うにきまってるじゃないか!」となります(Sが直交変換の時は、=Srになりますが)。
特にSを座標反転だとすれば、x'にはSのー符号が作用して反転しますが、S^(-1)RSだと(-)×(-)=+1で反転しない事になります。
さらに事情を悪くしているのが、線形代数におけるベクトルの定義です。軸性ベクトル全体を集めて集合V'をつくると、なんとV'はベクトル空間の公理を全て満たして、ベクトル空間になってしまうんですよね。なので線形代数の立場では、軸性ベクトルもベクトルです。
「ベクトルの外積A×Bは軸性ベクトルであることを証明せよ」で本質的に問われている事は、以下です。
極性ベクトルのベクトル空間Vを考えたとき、それを土台にして定義された軸性ベクトルのベクトル空間V'は、果たして、もとのVと同じものか?
です。
この回答へのお礼
お礼日時:2008/10/30 20:03
とても詳しい解説ありがとうございます。
確かに、軸性ベクトルってなに?って思ってました。
軸性ベクトル理解してから、証明問題を解いてみたいと思います。
ありがとうございます。
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