空気抵抗を考慮した自由落下の位置計算

空気抵抗を考慮した速度の式

v = -A * 1-exp(2*m*k*t/m) / 1+exp(2*m*k*t/m)
　　　ただし　A^2 = m*g/k

まではこちらのサイト
http://www14.plala.or.jp/phys/mechanics/10.html
でわかったのですが、この式を積分した位置の式がわかりません

部分積分とか置換積分とかやってみましたが無限ループにおちいってこんがらがってしまいました・・・

どのように積分計算できるのでしょうか？
自由落下のシミュレーションのプログラムを組みたいのですがここで詰まってしまいました。
ご教授のほど、よろしくお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： yokkun831 回答日時： 2009/02/14 17:19

積分定数をのぞけば，No.1さんのであっています。

ただし，次のように書き直したほうが見通しがよい結果になります。

※簡単のため，指数をγtと書きます。
v=A{e^(γt)-1}/{e^(γt)+1}=A{1-e^(-γt)}/{1+e^(-γt)}
=A[1-2e^(-γt)/{1+e^(-γt)}]
このように書くと，十分時間が経過した後に速さ（終端速度）がAになることが明らかです。

落下距離をyと書けば（dy/dt=v）
y=A∫[0～t] [1-2e^(-γt)/{1+e^(-γt)}] dt = At+m/k・ln{1+e^(-γt)}+C
y(0)=0とすれば，C=-m/k・ln2　だから，
y=At+m/k・ln[{1+e^(-γt)}/2]
となります。

この回答へのお礼

ご丁寧に距離の式まで整理していただいて感謝感激です！
落下距離の式とか欲しかったものそのものでした。

お二人ともお早い回答ありがとうございました！

お礼日時：2009/02/15 13:01

No.1 回答者： inara1 回答日時： 2009/02/14 16:42

v の式は

　　　v = -A*{ 1 - exp( 2*A*k*t/m ) }/{ 1 + exp( 2*A*k*t/m ) }
　　　　= -A/{ 1 + exp( 2*A*k*t/m ) } + A*exp( 2*A*k*t/m )/{ 1 + exp( 2*A*k*t/m ) }
と、２つの項の和に展開できます。第２項は f'(t)/f(t) の形なので積分は簡単です。第１項は s = 1 + exp( 2*A*k*t/m ) とおいてください。積分結果は
　　　( m/k )*ln{ 1 + exp( 2*A*k*t/m ) } - A*t
になるかと思います。A*k*t/m が 1 より充分大きいとき
　　　( m/k )*ln{ 1 + exp( 2*A*k*t/m ) }　≒ 2*A*t
と近似できます。

この回答へのお礼

なるほど、f'(t)/f(t)の形をとればいいんですね！
ありがとうございます！

お礼日時：2009/02/15 12:57