テイラー展開に関連する問題

＜物理学と経済学のための、
　テイラー展開およびマクローリン展開を利用する練習問題・・・。＞

ということで以下の問題があるのですが、途中で行き詰って
しまいます・・・。

「exp(ix)＝　cos(x)　+　i・sin(x)　であることを示し、
　そのあとこのことを利用して三角関数の　加法定理　を証明せよ。
　（iは虚数単位とする）」
という問題です。

テイラー展開の公式から x=aのとき
exp(ix)＝exp(ia) + i・exp(ia)(x-a) + ・・・
　　　　　　　　　　　　　+ i^n ・ exp(ia)(x-a)^n + ・・・
とまでしかできない情けない状態です・・・。
e(ネピア数)の式が　sin cos関連の式に書き表す糸口が全然
浮かばないのです。


詳しい方お教えください・・・。よろしくお願いしますｍｍ
　

No.4 ベストアンサー 回答者： KI401 回答日時： 2009/04/21 21:58

(#1補足)

> x＝aは、「xが何であっても成り立つように・・・。」と思って
> x＝aから始めてみたのですが・・・。

おけ、やっぱ予想通り勘違いしてる。

テイラー展開の公式ってのは、x=aで展開しようがx=0で展開しようが
展開した式は全てのxについて成り立つんだ。
だから、「xが何であっても成り立つように・・・。」ってのは杞憂。
んで、展開した式が簡単になるよう、a=0を選ぶといいわけね。

ちなみにあえて言うなら、x=aの周りで「収束が早く」なる。
物理や経済だと、こっち(誤差判定・収束速度)の方が重要かもね。

# テイラー展開可能かどうか、とかの話ははしょっておいたけど、
# 数学的には「可能か否か」って重要なとこだから頭の片隅に入れて置いてくれると嬉しい、うん。

まぁ解答の方針は#2さんの通りなので。頑張って理解してください。
ではでは

この回答への補足

y＝log x をx＝０でテイラー展開（マクローリン展開）しろという問題で、分母に０がでてきて、これは定義されないことより展開不能・・・。
というものに出会ったことがあります・・・。（間違ってたりして・・・汗）

公式の意味がいまいち分かってないみたいです。よく読みなおしてみます。確かにx＝０とすればsin やcos　のテイラー展開がうまく
x - (1/3!)x^3 + (1/5!)x^5 - (1/7!)x^7 + …などにできました。

えっと・・・
もともとテイラー展開って、「使うと、ある関数f(x)を多項式で表せます」って意味ですか・・・？
まずどんな関数も、f(x)＝f(a)+1/1 ! ・・・　とできて、
x＝0のときをマクローリン展開とよぶ・・・。
と思っていたのですが。。。

x＝０で展開してもｘ＝aで展開しても同じ・・・というのがいまいち
分かってない・・・。
（すみません。教科書を持っているわけでないので・・・）

補足日時：2009/04/21 22:06

No.6 回答者： arrysthmia 回答日時： 2009/04/21 22:31

計算だけしても、証明になってないよ。

No.5 回答者： info22 回答日時： 2009/04/21 22:21

>テイラー展開の公式から x=aのとき

>exp(ix)＝exp(ia) + i・exp(ia)(x-a) + ・・・
　　　　　　　　　　　　　+ i^n ・ exp(ia)(x-a)^n + ・・・
>exp(z)のマクローリン展開を使う
exp(z)=1+z+(z^2)/2!+(z^3)/3!+(z^4)/4!+(z^5)/5!+ ...
z=ixとおくと
exp(ix)=1+ix-(x^2)/2!-i(x^3)/3!+(x^4)/4!+i(x^5)/5!- ...
={1-(x^2)/2!+(x^4)/4!- ...}+i{x-(x^3)/3!+(x^5)/5!- ...}
↑
cos(x),sin(x)のマクローリン展開
と比較してみて下さい。そうなっているでしょう。

exp{i(x+y)}=cos(x+y)+i sin(x+y)…(■)
一方
exp{i(x+y)}=exp(ix)exp(iy)={cos(x)+i sin(x)}{cos(y)+i sin(y)}
この右辺を展開し(■)と
実部同士、虚部同士を比較して見てください。

No.3 回答者： arrysthmia 回答日時： 2009/04/21 21:54

「物理学と経済学のため」と冠して証明を出題するのは、

企画に最初から無理があると思うのだけれど…
講義では、計算方法しか習わないのでしょう？

まず、「exp(ix) = cos(x) + i・sin(x)　であることを示」
すためには、そこに現われる exp, cos, sin の定義が必要。
これにはイロイロ流儀があるから、どれを採ったか示さないと
証明が正しいかどうか、判定することもできない。
極端な話、加法定理そのものが三角関数の定義という流儀さえ
ある。

例えば、ベキ級数展開を使って、
exp(z) = 1 + z + (1/2)z^2 + (1/3!)z^3 + (1/4!)z^4 + …
sin(x) = x - (1/3!)x^3 + (1/5!)x^5 - (1/7!)x^7 + …
cos(x) = 1 - (1/2!)x^2 + (1/4!)x^4 - (1/6!)x^6 + …
を定義とするなら、これらの級数が絶対収束することから、
Σするときに項の順序変更が許されて、z = ix を代入すれば
exp(ix) = cos(x) + i・sin(x) と言える。

これと exp の指数法則を組み合わせて、
cos(x+y) + i・exp(x+y)
= exp(ix+iy)
= exp(ix)・exp(iy)
= { cos(x) + i・sin(x) }{ cos(x) + i・sin(x) }
最右辺の { } を展開整理すれば、加法定理が得られるが、
ここで指数法則を使うためには、上記の exp の定義に基づいて
指数法則を証明しておかなければならない。

No.2 回答者： spring135 回答日時： 2009/04/21 21:28

exp(ix)＝　cos(x)　+　i・sin(x)　について。

exp(ix)をテーラー展開し、実数部と虚数部に分けておきます。
cos(x)、sin(x)をテーラー展開し、exp(ix)のテーラー展開の実数部と虚数部と比較すると直ちに出てきます。

三角関数の加法定理の証明は
exp(i(x+y))=cos(x+y)　+　i・sin(x+y)　（1）
であるとともに
exp(i(x+y))=exp(ix)×exp(iy)=(cos(x)+i・sin(x))×)=(cos(y)+i・sin(y))これを実数部と虚数部にわけ（1）と比較すると直ちに出てきます。

この回答への補足

すばやいご回答ありがとうございます。

見直してみると、テイラー展開の公式の使い方が理解できていなくて、
sin cos　がうまく展開できていませんでした。

補足日時：2009/04/21 22:12

No.1 回答者： KI401 回答日時： 2009/04/21 21:17

> テイラー展開の公式から x=aのとき

> exp(ix)＝exp(ia) + i・exp(ia)(x-a) + ・・・
> 　　　　　　　　　　　　　+ i^n ・ exp(ia)(x-a)^n + ・・・

x=aのとき？何か勘違いしてない？
「x=aの周りでテイラー展開する」というのが正しい。
…と、一般のn項の所、何か抜けてるよ？公式を読みなおしませう。

で、x=0の周りでテイラー展開（別名マクローリン展開）すれば、目的の式が出る。
つまり、cos,sinをx=0の周りでテイラー展開した形の式ね。
無限和だから、ホントは無造作にそこからexp(ix)=cos(x)+i*sin(x)へ帰着するのはよかないけど、
物理学・経済学云々書いてあるしまぁそこまで厳密なギロンは不要でせう。

この回答への補足

失礼しました。n項のところ、「１/n!」がないですね・・・。
x＝aは、「xが何であっても成り立つように・・・。」と思って
x＝aから始めてみたのですが・・・。

補足日時：2009/04/21 21:18