A 回答 (4件)
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No.4
- 回答日時:
#1 は確かに NG 。
ver.2 を。(A) x1, x2, ...., xn が一次従属な生成系であるとする。
(B) x1, x2, ...., xn から任意の 1 個を取り除いた残りの (n-1) 個のベクトルは生成系をなさない。
(A) より、{x1, x2, ...., xn} のうちの少なくとも 1 つ xk は、
xk = c1*x1 + c2*x2 + ..... + cn*xn ただし、xk の項を欠く。
と書けるが、これは (B) と矛盾。
よって、x1, x2, ...., xn は一次独立。
まだ、ウサン臭い?
No.3
- 回答日時:
編集ミス修正
n=4としx1=x,x2=y,x3=z,x4=uとする。
x,y,z,uが独立でないとすると
すべては0でない数a,b,c,dが存在して
0=ax+by+cz+du
となる。仮にa≠0とする。
wをVの任意のベクトルとするとwに応じて定まる数A,B,C,Dについて
w=Ax+By+Cz+Duとなるが
A=0の場合はwはy,z,uにより生成され
A≠0の場合であっても
w=Ax+By+Cz+Du
=(Ax+By+Cz+Du)-0
=(Ax+By+Cz+Du)-(ax+by+cz+du)A/a
=(B-Ab/a)y+(C-Ac/a)z+(D-Ad/a)u
となりwはy,z,uにより生成される。
よってVの任意の元はy,z,uにより生成されるので矛盾する。
4からnへの一般化は表現が見にくいだけですぐにかける。
No.2
- 回答日時:
n=4としx1=x,x2=y,x3=z,x4=uとする。
x,y,z,uが独立でないとすると
すべては0でない数a,b,c,dが存在して
0=ax+by+cz+du
となる。仮にa≠0とする。
wをVの任意のベクトルとするとwに応じて定まる数A,B,C,Dについて
w=Ax+By+Cz+Duとなるが
A=0の場合はwはy,z,uにより生成され
A≠0の場合であっても
w=Ax+By+Cz+Du
=(Ax+By+Cz+Du)-0
=(Ax+By+Cz+Du)-(ax+by+cz+du)A/a
=(B-Ab/a)x+(C-Ac/a)+(D-Ad/a)
となりwはy,z,uにより生成される。
よってVの任意の元はy,z,uにより生成されるので矛盾する。
4からnへの一般化は表現が見にくいだけですぐにかける。
No.1
- 回答日時:
(A) x1, x2, ...., xn が一次従属な生成系であるとする。
(B) x1, x2, ...., xn から任意の 1 個を取り除いた残りの (n-1) 個のベクトルは生成系をなさない。
その任意の 1 個を x1 としよう。
(A) より、
x1 = c2*x2 + ..... + cn*xn
と書けるが、これは (B) と矛盾。
よって、x1, x2, ...., xn は一次独立。
何か、ウサン臭い?
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