ベクトル空間の生成系と線形独立

ベクトル空間の生成系と線形独立の問題がわかりません。

Vをベクトル空間とし、ｘ1,ｘ2,…,ｘｎ∈VはVの生成系であるとする。これらｎ個のベクトルｘ1,ｘ2,…,ｘｎから任意の１個を取り除いた残りのｎ－１個のベクトルはVの生成系をなさないとする。このとき、ｘ1,ｘ2,…,ｘｎは線形独立であることを示せ。


よろしくお願いします。

No.1 回答者： noname#101087 回答日時： 2009/04/22 18:32

(A) x1, x2, ...., xn が一次従属な生成系であるとする。

(B) x1, x2, ...., xn から任意の 1 個を取り除いた残りの (n-1) 個のベクトルは生成系をなさない。

その任意の 1 個を x1 としよう。
(A) より、
　x1 = c2*x2 + ..... + cn*xn
と書けるが、これは (B) と矛盾。
よって、x1, x2, ...., xn は一次独立。

何か、ウサン臭い？
　

No.2 回答者： reiman 回答日時： 2009/04/22 18:41

n=4としx1=x,x2=y,x3=z,x4=uとする。

x,y,z,uが独立でないとすると
すべては0でない数a,b,c,dが存在して
0=ax+by+cz+du
となる。仮にa≠0とする。
wをVの任意のベクトルとするとwに応じて定まる数A,B,C,Dについて
w=Ax+By+Cz+Duとなるが
A=0の場合はwはy,z,uにより生成され
A≠0の場合であっても
w=Ax+By+Cz+Du
=(Ax+By+Cz+Du)-0
=(Ax+By+Cz+Du)-(ax+by+cz+du)A/a
=(B-Ab/a)x+(C-Ac/a)+(D-Ad/a)
となりwはy,z,uにより生成される。
よってVの任意の元はy,z,uにより生成されるので矛盾する。

4からnへの一般化は表現が見にくいだけですぐにかける。

No.3 回答者： reiman 回答日時： 2009/04/22 18:44

編集ミス修正

n=4としx1=x,x2=y,x3=z,x4=uとする。

x,y,z,uが独立でないとすると
すべては0でない数a,b,c,dが存在して
0=ax+by+cz+du
となる。仮にa≠0とする。
wをVの任意のベクトルとするとwに応じて定まる数A,B,C,Dについて
w=Ax+By+Cz+Duとなるが
A=0の場合はwはy,z,uにより生成され
A≠0の場合であっても
w=Ax+By+Cz+Du
=(Ax+By+Cz+Du)-0
=(Ax+By+Cz+Du)-(ax+by+cz+du)A/a
=(B-Ab/a)y+(C-Ac/a)z+(D-Ad/a)u
となりwはy,z,uにより生成される。
よってVの任意の元はy,z,uにより生成されるので矛盾する。

4からnへの一般化は表現が見にくいだけですぐにかける。

No.4 回答者： noname#101087 回答日時： 2009/04/22 18:55

#1 は確かに NG 。

ver.2 を。

(A) x1, x2, ...., xn が一次従属な生成系であるとする。
(B) x1, x2, ...., xn から任意の 1 個を取り除いた残りの (n-1) 個のベクトルは生成系をなさない。

(A) より、{x1, x2, ...., xn} のうちの少なくとも 1 つ xk は、
　xk = c1*x1 + c2*x2 + ..... + cn*xn　　ただし、xk の項を欠く。
と書けるが、これは (B) と矛盾。
よって、x1, x2, ...., xn は一次独立。

まだ、ウサン臭い？