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大学の数学の問題です。

「アルキメデスの定理をワイエルシュトラスの定理を使って証明せよ。ただし、デデキンドの定理は使ってはならない。」

こんな問題でした。
デデキンドの定理を使う証明ならできるのですが、これはどうしたらいいのか分からなくて・・・
ワイエルシュトラスの定理を使おうとしても、どうしてもデデキンドの定理の話になってしまいます。
だれか分かる方がいたらよろしくお願いします。

ちなみにここで言うアルキメデスの定理とは「どんな実数xに対してもx<nとなるようなnが存在する」、ワイエルシュトラスの定理とは「有界な集合は上限、下限をもつ」ということです。

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A 回答 (6件)

その背理法の方針でいけるように思います。


>すべての自然数nに対してn<=x」となるようなxが存在すると仮定します。
そのようなxの集合をB、Bの補修合をAとします。
そうすると(A、B)は切断となり、Aは上に有界なのでワイエルシュトラスの定理より上限(最小上界)が存在し、それをsとおきます。

Aが自然数全体を含んでいることが容易にわかります。(ある自然数で抑えられる実数はBに入らないので。n<n+1より)これより、sはAの上界なのでBに属します。任意のnに対しn<=s より、n<n+1<=s とすることによって不等式から=をはずすことができます。(自然数全体の、真の上界になっているということ)

ここでs-1を考える。Bの任意の要素はAの上界となるので、s-1はAの要素となる。(s-1がBの要素とすると、sが最小上界であることに矛盾)よって、ある自然数Nがあって s-1<=N 、即ち s<=N+1 となる。一方、先の議論より、N+1<s なので、これは(実数が全順序であることに)矛盾。

要はsが無限大の数のようなものになってしまい、おかしいということだと思います。切断した時、自然数がどちらに入ってるかがポイントではないでしょうか。解析は専門でないので、あまり詳しいことは知りませんが・・
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この回答へのお礼

えっと大体分かった気がします。
要はほとんど要領は同じ感じで解けるということですね。
助かりました。
ありがとうございました。

お礼日時:2009/05/30 00:14

確認しました。


No.2 は、陳謝の上、撤回します。スミマセン。

何でか、(W)⇔(C) のような気がしてましたが、
間違いでした。 ___orz
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この回答へのお礼

いえ、気にしていないのでかまいませんよ。
むしろ間違っていたとしても早く回答してもらえたのは、なんか嬉しかったです。
どうもありがとうございました。

お礼日時:2009/05/30 00:23

確認させてください。

考えている順序体をRとかくこととして、
(A)アルキメデスの定理
と、
(D)デデキントの切断
はいいとして、
「ワイエルシュトラスの定理」とは
(W)Rの空でない部分集合Aが上に有界であれば,上限(=最小上界) supAがRの中に存在する。(言葉を下に有界、下限(=最大下界)、inf Aで置き換えてもよし)
だったでしょうか?それとも
(M)「単調増加で、上に有界な実数列は収束する」
  (言葉を単調減少、下に有界で置き換えてもよし)
を指していますか?

手元の本を開くと
(D)から出発して、それを使って
(W)を証明し、その系としてついでに(M)を示し、
補題(supの必要十分条件)
「s=sup A ⇔(i)「a∈A⇒a≦s」かつ(ii)「Rの元sよりちょっとでも小さいRの元をとってみれば、それは必ずそれより大きいAの元が存在する」
を使って、背理法によって、(W)⇒(A)を証明するという筋書きになっています。
背理法の概略は、(A)でないとすると、上界をもつ集合Aが作れるから(W)の仮定が使えて、上限s=sup Aを決めることができる。ところが、その上限sは、上の補題の必要十分条件(i),(ii)と、(A)の否定の3つを同時に満たすことはできない。という筋書きでした。

この証明には、途中に(D)を使うことなく(W)のことだけから(A)を導いていますから、質問のことを示すには、これも一つの方法であると思います。

蛇足ですが、(A)の帰結として有理数がRの中で稠密であることがいえて、これにRの極限値の存在を保証する公理((C)コーシー列、あるいは(K)区間縮小法)を加えること、いわゆる完備化を行えば、逆に、(W)や(D)を示すことができます。
もう一つ、(B-W)ボルツァノ・ワイエルシュトラスの定理を基礎にしてもRが構成できることが知られています。
まとめると、
(D)⇔(W)⇔(M)⇔(K)&(A)⇔(BW)⇔(C)&(A)
上に述べたことは大学1年の微分積分の最初のほうでならうことであって、上級になるともっと細かい条件の相互関係があると聞きます。

ちなみに(A)の成り立たない非アルキメデス順序体(例えば有理関数体)であっても、その順序に関し完備化(QからRを作ったように)はできることはできるんでしょうけど、そもそもlimの意味がもはや実数や有理数の場合と全然違うものになってくるでしょうし、一体(W)のようなことが本当にいえるのか、浅学にして知りません。

詳しくは岩波数学辞典の「実数」の項や
このへんを簡潔にまとめたサイトを参考にしてください。
http://www2.rikkyo.ac.jp/web/hoshi/2008/top7.pdf

例によって、的外れな回答だったらごめんなさい。

この回答への補足

先に方針を述べてくれたsettheoryさんのほうにポイントを多くつけたいと思いますので、ご了承ください。

補足日時:2009/05/30 00:25
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この回答へのお礼

わざわざコーシー列や区間縮小法のことまで書いてくださってありがとうございます。
この問題以外の同値関係なども知ることができてよかったです。
どうもありがとうございました。

お礼日時:2009/05/30 00:21

>なのでこの問題を考えるとき、


>「ワイエルシュトラスの定理⇒デデキンドの定理⇒アルキメデスの定理」
>のように考えてしまうのです。

だから、それを補足に。
多分、あなたは教科書に書いてある証明を読んだだけで、考えてはいません。
人に答えを聞いても頭は柔らかくならないですよ。

この回答への補足

えっと・・・

背理法を用いたいので「すべての自然数nに対してn<=x」となるようなxが存在すると仮定します。
そのようなxの集合をB、Bの補修合をAとします。
そうすると(A、B)は切断となり、Aは上に有界なのでワイエルシュトラスの定理より上限が存在し、それをsとおきます。
sがAの要素ならA=(-∞、s]、B=(s、∞)となります。
またsがBの要素ならA=(-∞、s)、B=[s、∞)になります。
(ここまでがデデキンドの定理)

どちらにせよ、s-1はAの要素なのでs-1<nとなるようなnが存在します。
また、s+1はBの要素なのですべてのnに対しn<=s+1となります。
しかし1番目の式両辺に2を足すとs+1<=n+1となり、n+1という自然数について2番目の式が成り立ちません。
よって矛盾するので「どんな実数xについてもx<nとなる自然数nが存在する」ということになります。

こんな感じの証明になりますが、デデキンドの定理を使わないとなるとどうしたらいいのかわかりません・・・

補足日時:2009/05/28 23:28
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この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時:2009/05/30 00:24

その証明は、無理っぽい。



確か、
有理形関数の体 { Σ[k = -m → +∞] (c_k)(x^-k) | c_k は皆実数 } に
辞書式順序を入れたものは、非アルキメデス的完備順序体だったはず。

ということは、この体では、ワイエルシュトラスの定理は成り立つが、
アルキメデスの定理は成り立たない…ということだ。

このような実例がある以上、実数にせよ、他のどんな体にせよ、
ワイエルシュトラスの定理からアルキメデスの定理を証明することは
できない。

だから、アルキメデスの公理は、実数の定義の一部なんじゃないのか。
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この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時:2010/07/16 10:45

>ワイエルシュトラスの定理を使おうとしても、


>どうしてもデデキンドの定理の話になってしまいます。

まずは、それを補足にどうぞ。

この回答への補足

すみません、これでは何が言いたいのか分かりませんね。

えっと、私はワイエルシュトラスの定理からデデキンドの定理を証明する方法は知っているのです。
また書いた通り、デデキンドの定理からアルキメデスの定理を証明することもできるのです。
なのでこの問題を考えるとき、「ワイエルシュトラスの定理⇒デデキンドの定理⇒アルキメデスの定理」のように考えてしまうのです。
論理的に間違ってはいませんが、これは結局デデキンドの定理を使った証明と何も変わりませんし、そもそもデデキンドの定理は使ったらいけないので・・・
ですがどうしてもデデキンドの定理を使った証明が頭から離れなくて困っているという状況です。
もっと頭が柔軟ならいいんですけど・・・

補足日時:2009/05/28 22:36
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この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時:2010/07/16 10:45

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ガウス分布に使いますね。
やりかたですね。一般的なものを参考程度までに、

xy座標の第一象限で原点を通る一辺aの正方形
と正方形に接する半径aの(1/4)円とr半径√2aを考えるんですね。
正方形の領域□でe^-x^2 をx方向に積分すると、
∫[0→a]e^-x^2dx
正方形の領域だからe^-y^2 をy方向に積分しても
同じ値になりますね。だから
∫[0→a]e^-x^2dx=∫[0→a]e^-y^2dy
ということは、x,yは独立に考えられるので、
∫[0→a]e^-(x^2+y^2)dxdy
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Q電源 200V単相と3相の違い

電源 200V単相と3相の違いについて教えてください。
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電気のことはぜんぜん分からないので詳しくお願いします。

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> 電源200V単相と3相の違い…

すでに三人の方から回答があるとおりですが、まだ出ていないことを補足します。
(なお、既出の一部に明らかな誤解もあるようですが、それを指摘することは、規約違反となり、削除対象とされるので控えます。)
電気の理論には、「対地電圧」という考え方があります。大地に対する電圧です。単相200Vの対地電圧は、100Vしかありません。それに対し、三相200Vの対地電圧は、173Vまたは200Vあります。この違いは、万が一感電した場合の人体に及ぼす危険性に影響します。このため、住宅の屋内では原則として、三相200Vを使用することができません。ご質問は、会社ということですから、この点はクリヤされますが、そのサーバーが、対地電圧150V以上に耐える設計がなされているかどうかを、確認する必要があります。

> あと、200V30A(単相)と書いてるサーバを、200V30A(3相)から電源をとると…

前項の問題がクリヤしたとして、次に、質問者さんの会社が、低圧受電か高圧受電かによって、この答えは変わってきます。
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> 200V30A(単相)と書いてるサーバを、200V50A(3相)から電源をとると…

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> 電源200V単相と3相の違い…

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Q社会福祉と聞いてイメージすること

現在、介護職の勉強をしていて、授業で「社会福祉について」というテーマの課題が出ました。
講師は、高齢者介護問題にとらわれず、虐待や生活保護、他いろいろ・・・を含んだ福祉全般の中から様々なレポートを提出して欲しいようです。

そこで、この場を借りてみなさんに質問なのですが、社会福祉と聞いてイメージすること、不思議に思うことがあれば教えていただけませんか?

どんなことでも構いません。レポート作成のヒントにしたいので、宜しくお願いします。

Aベストアンサー

「福」も「祉」もどちらも「幸い」という意味の漢字です(中国語では同じ意味の字を二つ続けて語を構成することが多いそうです)。
よって、福祉ということばは「人間の幸せ」という意味です。

社会福祉、ということばをいうときに、2つの側面があります。

1.事業としての福祉

これには、介護保険による「老人福祉」、福祉事務所などによる措置制度に基づく「障害者福祉」「児童保育」などがあります(老人福祉にも一部措置はのこっているようです)。
また、「生活保護」も措置のひとつですね。

一般のひとが「社会福祉」といった場合、そのほとんどが「事業としての福祉」をイメージしていると思います。

2.人間の幸せとしての福祉

たとえば、バリアフリー、ユニバーサルデザインによる都市計画、建築、新聞などの文字をおおきくすること、使いやすい製品、なども、人間の幸せとしての福祉ということができるでしょう。
しかしながら、現在はユニバーサルデザインや駅のエスカレータ設置などは、一般の人たちからは福祉と認識されていないでしょう。

しかしながら、事業としての福祉が成立する背後には「どのような制度を設ければ、最大幸福を実現できるだろうか」という思想があります。
ユニバーサルデザインなどが、制度、事業としての福祉となることも、非現実的なことではないと思います。


以下、私のイメージというか主張です。
どうも、大多数の人が「福祉」ということを自分とは無縁の、「弱者のためのもの」と思っているようでなりません。

たとえば「障碍」ですが、これはだれにでも、明日、訪れる可能性があります。
道をあるいていると、交通事故にあう確率はかなりあります(すごーくおおざっぱにいって1%)。
重症を負えば、半身不随になるかもしれません。
ある日、眼が見えにくいと思ったら、あっという間に網膜はく離になってしまうことだってあります。
また、年をとることによるさまざまな不便なこと(脚があがらなくなって、ちょっとした段差で躓くなど)も障碍のひとつと考えることが出来ます。

障碍だけではありません。
一家で交通事故にあって、ひとりだけ助かったが、働くことが出来ずに生活保護のお世話になる、ということだってありえます。

つまり、だれもが必ず「福祉」のお世話になるし、低くない確率で障碍をおって明日、お世話になるかもしれません。

どうしたら人間が幸せに暮らせるか、それを考えることが「福祉」とくに「事業としての福祉」の基本となって欲しいものです。
「弱者救済」などという認識は、今すぐかかわる人全員の心の中から排除して欲しいと。

「福」も「祉」もどちらも「幸い」という意味の漢字です(中国語では同じ意味の字を二つ続けて語を構成することが多いそうです)。
よって、福祉ということばは「人間の幸せ」という意味です。

社会福祉、ということばをいうときに、2つの側面があります。

1.事業としての福祉

これには、介護保険による「老人福祉」、福祉事務所などによる措置制度に基づく「障害者福祉」「児童保育」などがあります(老人福祉にも一部措置はのこっているようです)。
また、「生活保護」も措置のひとつですね。

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Q不定積分と広義積分の収束判定

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が解けません。ヒントでもよいのでお願いします。

過去にも同様の質問がありましたが回答みてもよくわかりませんでした。

収束判定するときに優関数を選ぶコツっていうのはあるんでしょうか?

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Aベストアンサー

どうもすみません。計算間違ってましたね。
2/qのところは2/pです。
そして、p→+∞とすれば0になります。

このとき、コーシーの収束条件というのは
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Q理学部数学科の就職先

ぼくは、今、理学部数学科に行こうとがんばって勉強していますが、将来どんな仕事に就けるのですか?また、どの大学の理学部に受験するのがオススメですか?難しい大学でも合格するつもりでがんばっていますので、教えてください?

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一般に理学部数学科は趣味的要素が強い学科です。知的好奇心を満たす意味合いでは、すばらしい学科ですが、大学での学習内容を職種に活かそうとするとどうしても研究者か教師かの2択となってしまいがちです。職種に活かそうとするためには、応用数学科か理工学部数学科へ進学するほうがベターです。その上で、コンピュータ系もしくは経済系への道に進むという手があります。ただ、大学での学習は興味があることに全力を尽くすことが一番重要で、それが研究心や分析力など理系に必要な素養を大いに鍛えてくれます。その上で、就職を考えての学習をする必要があれば、院に行くという手も考えられます。
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n→∞のとき、t→-0なので、
(与式)=lim(1+t)^(-1/t)   〔t→-0〕

これを変形すると、
=lim{(1+t)^(1/t)}^-1   〔t→-0〕
=e^-1
=1/e

高校の範囲なら、この証明で大丈夫です。


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