大学の数学の問題です。

「アルキメデスの定理をワイエルシュトラスの定理を使って証明せよ。ただし、デデキンドの定理は使ってはならない。」

こんな問題でした。
デデキンドの定理を使う証明ならできるのですが、これはどうしたらいいのか分からなくて・・・
ワイエルシュトラスの定理を使おうとしても、どうしてもデデキンドの定理の話になってしまいます。
だれか分かる方がいたらよろしくお願いします。

ちなみにここで言うアルキメデスの定理とは「どんな実数xに対してもx<nとなるようなnが存在する」、ワイエルシュトラスの定理とは「有界な集合は上限、下限をもつ」ということです。

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A 回答 (6件)

その背理法の方針でいけるように思います。


>すべての自然数nに対してn<=x」となるようなxが存在すると仮定します。
そのようなxの集合をB、Bの補修合をAとします。
そうすると(A、B)は切断となり、Aは上に有界なのでワイエルシュトラスの定理より上限(最小上界)が存在し、それをsとおきます。

Aが自然数全体を含んでいることが容易にわかります。(ある自然数で抑えられる実数はBに入らないので。n<n+1より)これより、sはAの上界なのでBに属します。任意のnに対しn<=s より、n<n+1<=s とすることによって不等式から=をはずすことができます。(自然数全体の、真の上界になっているということ)

ここでs-1を考える。Bの任意の要素はAの上界となるので、s-1はAの要素となる。(s-1がBの要素とすると、sが最小上界であることに矛盾)よって、ある自然数Nがあって s-1<=N 、即ち s<=N+1 となる。一方、先の議論より、N+1<s なので、これは(実数が全順序であることに)矛盾。

要はsが無限大の数のようなものになってしまい、おかしいということだと思います。切断した時、自然数がどちらに入ってるかがポイントではないでしょうか。解析は専門でないので、あまり詳しいことは知りませんが・・
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この回答へのお礼

えっと大体分かった気がします。
要はほとんど要領は同じ感じで解けるということですね。
助かりました。
ありがとうございました。

お礼日時:2009/05/30 00:14

確認しました。


No.2 は、陳謝の上、撤回します。スミマセン。

何でか、(W)⇔(C) のような気がしてましたが、
間違いでした。 ___orz
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この回答へのお礼

いえ、気にしていないのでかまいませんよ。
むしろ間違っていたとしても早く回答してもらえたのは、なんか嬉しかったです。
どうもありがとうございました。

お礼日時:2009/05/30 00:23

確認させてください。

考えている順序体をRとかくこととして、
(A)アルキメデスの定理
と、
(D)デデキントの切断
はいいとして、
「ワイエルシュトラスの定理」とは
(W)Rの空でない部分集合Aが上に有界であれば,上限(=最小上界) supAがRの中に存在する。(言葉を下に有界、下限(=最大下界)、inf Aで置き換えてもよし)
だったでしょうか?それとも
(M)「単調増加で、上に有界な実数列は収束する」
  (言葉を単調減少、下に有界で置き換えてもよし)
を指していますか?

手元の本を開くと
(D)から出発して、それを使って
(W)を証明し、その系としてついでに(M)を示し、
補題(supの必要十分条件)
「s=sup A ⇔(i)「a∈A⇒a≦s」かつ(ii)「Rの元sよりちょっとでも小さいRの元をとってみれば、それは必ずそれより大きいAの元が存在する」
を使って、背理法によって、(W)⇒(A)を証明するという筋書きになっています。
背理法の概略は、(A)でないとすると、上界をもつ集合Aが作れるから(W)の仮定が使えて、上限s=sup Aを決めることができる。ところが、その上限sは、上の補題の必要十分条件(i),(ii)と、(A)の否定の3つを同時に満たすことはできない。という筋書きでした。

この証明には、途中に(D)を使うことなく(W)のことだけから(A)を導いていますから、質問のことを示すには、これも一つの方法であると思います。

蛇足ですが、(A)の帰結として有理数がRの中で稠密であることがいえて、これにRの極限値の存在を保証する公理((C)コーシー列、あるいは(K)区間縮小法)を加えること、いわゆる完備化を行えば、逆に、(W)や(D)を示すことができます。
もう一つ、(B-W)ボルツァノ・ワイエルシュトラスの定理を基礎にしてもRが構成できることが知られています。
まとめると、
(D)⇔(W)⇔(M)⇔(K)&(A)⇔(BW)⇔(C)&(A)
上に述べたことは大学1年の微分積分の最初のほうでならうことであって、上級になるともっと細かい条件の相互関係があると聞きます。

ちなみに(A)の成り立たない非アルキメデス順序体(例えば有理関数体)であっても、その順序に関し完備化(QからRを作ったように)はできることはできるんでしょうけど、そもそもlimの意味がもはや実数や有理数の場合と全然違うものになってくるでしょうし、一体(W)のようなことが本当にいえるのか、浅学にして知りません。

詳しくは岩波数学辞典の「実数」の項や
このへんを簡潔にまとめたサイトを参考にしてください。
http://www2.rikkyo.ac.jp/web/hoshi/2008/top7.pdf

例によって、的外れな回答だったらごめんなさい。

この回答への補足

先に方針を述べてくれたsettheoryさんのほうにポイントを多くつけたいと思いますので、ご了承ください。

補足日時:2009/05/30 00:25
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この回答へのお礼

わざわざコーシー列や区間縮小法のことまで書いてくださってありがとうございます。
この問題以外の同値関係なども知ることができてよかったです。
どうもありがとうございました。

お礼日時:2009/05/30 00:21

>なのでこの問題を考えるとき、


>「ワイエルシュトラスの定理⇒デデキンドの定理⇒アルキメデスの定理」
>のように考えてしまうのです。

だから、それを補足に。
多分、あなたは教科書に書いてある証明を読んだだけで、考えてはいません。
人に答えを聞いても頭は柔らかくならないですよ。

この回答への補足

えっと・・・

背理法を用いたいので「すべての自然数nに対してn<=x」となるようなxが存在すると仮定します。
そのようなxの集合をB、Bの補修合をAとします。
そうすると(A、B)は切断となり、Aは上に有界なのでワイエルシュトラスの定理より上限が存在し、それをsとおきます。
sがAの要素ならA=(-∞、s]、B=(s、∞)となります。
またsがBの要素ならA=(-∞、s)、B=[s、∞)になります。
(ここまでがデデキンドの定理)

どちらにせよ、s-1はAの要素なのでs-1<nとなるようなnが存在します。
また、s+1はBの要素なのですべてのnに対しn<=s+1となります。
しかし1番目の式両辺に2を足すとs+1<=n+1となり、n+1という自然数について2番目の式が成り立ちません。
よって矛盾するので「どんな実数xについてもx<nとなる自然数nが存在する」ということになります。

こんな感じの証明になりますが、デデキンドの定理を使わないとなるとどうしたらいいのかわかりません・・・

補足日時:2009/05/28 23:28
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この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時:2009/05/30 00:24

その証明は、無理っぽい。



確か、
有理形関数の体 { Σ[k = -m → +∞] (c_k)(x^-k) | c_k は皆実数 } に
辞書式順序を入れたものは、非アルキメデス的完備順序体だったはず。

ということは、この体では、ワイエルシュトラスの定理は成り立つが、
アルキメデスの定理は成り立たない…ということだ。

このような実例がある以上、実数にせよ、他のどんな体にせよ、
ワイエルシュトラスの定理からアルキメデスの定理を証明することは
できない。

だから、アルキメデスの公理は、実数の定義の一部なんじゃないのか。
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この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時:2010/07/16 10:45

>ワイエルシュトラスの定理を使おうとしても、


>どうしてもデデキンドの定理の話になってしまいます。

まずは、それを補足にどうぞ。

この回答への補足

すみません、これでは何が言いたいのか分かりませんね。

えっと、私はワイエルシュトラスの定理からデデキンドの定理を証明する方法は知っているのです。
また書いた通り、デデキンドの定理からアルキメデスの定理を証明することもできるのです。
なのでこの問題を考えるとき、「ワイエルシュトラスの定理⇒デデキンドの定理⇒アルキメデスの定理」のように考えてしまうのです。
論理的に間違ってはいませんが、これは結局デデキンドの定理を使った証明と何も変わりませんし、そもそもデデキンドの定理は使ったらいけないので・・・
ですがどうしてもデデキンドの定理を使った証明が頭から離れなくて困っているという状況です。
もっと頭が柔軟ならいいんですけど・・・

補足日時:2009/05/28 22:36
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この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時:2010/07/16 10:45

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Q教えて。アルキメデスが湯船に入った理由

古代ギリシャのアルキメデスは王様に「王冠が純金かどうか」という宿題を出され,悩んでいたとき,
湯船につかって自分の身体で水がこぼれるのを見て,アルキメデスの原理を発見したと言われています。
 さてここからが質問なのですが,
当時,ギリシャ人は身体にお湯をかけて済ませるのではなく,湯船につかる習慣が本当にあったのでしょうか。
それとも湯船につかるのは,とくに寛ぎたいときなど例外的だったのでしょうか。
 湯船につかる習慣があるなら,アルキメデスは日常的動作の中で原理を発見したことになります。
これなら,「アルキメデスはどんなときでも頭をつかっていた人なんだ」というイメージが湧きます。
また例外的なら「いろいろい悩んだが分からないから,ちょっと気分発散に風呂にでもつかろうか」
という人間的なイメージが膨らみます。

Aベストアンサー

古代ギリシャの、と言ってしまうと少し語弊があり
アルキメデスは古代ギリシャ人が今のイタリア南部に
移住し建国した国のひとつ、シラクサの住人です。

シラクサはローマと戦争状態にあり、アルキメデスも最終的には
その戦争で命を落としました。彼の発明した兵器は
対ローマ戦で活躍したと伝えられています。
(後に一部ローマ軍に接収され、活用されています)


さて、古代世界でローマが強かった理由は"インフラの整備"でした。
特に重視したのは街道と水道の整備。特に"水"に関しては人間が生きる
上で必要なものですが、この供給を恒常的に行える"大規模水道"は
ローマの秘匿技術の一つです。仕組みとしては微妙な傾斜によって
水を流すだけ、ですがこの傾斜とサイフォンを作るための計算には
水平の確保など様々な知恵が必要とされました。


当時の哲学者の"知っておくべき基礎的な素養"の中にも幾何学があり
こういった幾何学を行える人間は、すでに当時の流体の専門家であると
同時に"論理的な思考ができる"と重用されていたわけです。

アルキメデスも、普通のおっさんが風呂に入って唐突に計測法を思いついた
というよりはすでにエウレカ!に至る素養があったようです。





さて、同じくギリシア移民の多かった都市として火山に埋もれた街、
ポンペイがあります。時代が結構後になってしまいますが、
ここから発掘された公衆浴場を見ると意外なことがわかります。
建物に比べて湯船がとても小さいんです。

公衆浴場の存在はギリシャでも様々な場所で確認されています。
ですがローマに水道技術があったとはいえ、やはり完全な供給は難しかったのでは
ないでしょうか。今ですらインフラ整備は国の課題になるくらいですからね。
まして、その前の時代のローマと対立関係にあったシラクサ王国です。
おそらくは雨水を利用した、小規模の公衆浴場しか作れなかったのでは
ないでしょうか。特にこの件に関しては古書に『公衆浴場に時間制限があった』
という記述もあります。やはり、水は貴重だったと考えられます。


気分転換に風呂に行った、という人間的な部分は確かにありますが、
一方で、時間を無視してだれも居ない時間に貴重な風呂に入る王様の親戚。
ローマ兵に踏み込まれても研究を続け、そのまま切り殺される。
まぁ、普通のおっさんではないですよね。

古代ギリシャの、と言ってしまうと少し語弊があり
アルキメデスは古代ギリシャ人が今のイタリア南部に
移住し建国した国のひとつ、シラクサの住人です。

シラクサはローマと戦争状態にあり、アルキメデスも最終的には
その戦争で命を落としました。彼の発明した兵器は
対ローマ戦で活躍したと伝えられています。
(後に一部ローマ軍に接収され、活用されています)


さて、古代世界でローマが強かった理由は"インフラの整備"でした。
特に重視したのは街道と水道の整備。特に"水"に関しては人間が生...続きを読む

Qnを自然数とするとき、n^5/5+n^4/2+n^3/3-n/30が自然数であることを証明せよ。

高校数学の教科書の数列のところの一番最後の一番難しい章末問題で
nを自然数とするとき、n^5/5+n^4/2+n^3/3-n/30が自然数であることを証明せよ。
って問題なんですが、とりあえず数学的帰納法で解くんだろうけど全然解けそうにないです。
月曜日までにやってこないとやばいので、だれか助けてください!!

Aベストアンサー

因数分解すると
n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)/30
=n(n+1)(2n+1){3n(n+1)-1}/30
n、n+1のどちらかは必ず2の倍数

n,n+1のどちらも3の倍数でないのは
n=3k+1のときで(kは整数)
2n+1=6k+2+1=6k+3=3(2k+1)
なので、このとき、(2n+1)は3の倍数。
結局、n(n+1)(2n+1)は6の倍数になる。
また、
n=5k+m(kは整数、m=0,1,2,3,4)
とおけば
3n(n+1)-1=15k(5k+2m+1)+3m^2+3m-1
m=0のとき
n=5k
m=1のとき
3n(n+1)-1=15k(5k+3)+5
m=2のとき
2n+1=10n+4+1=5(2n+2)
m=3のとき
3n(n+1)-1=15k(5k+7)+35
m=4のとき
n+1=5k+4+1=5(k+1)
となり、必ず5の因数を含む。
したがって、
n(n+1)(2n+1){3n(n+1)-1}
は30の倍数となる。

Qアルキメデスと鉄の船の関係

船が浮く原理はアルキメデスが発見したと聞きました。歴史的に船はごく最近(20世紀にはいる)まで、大から小まで全部木で作られてきたようですが、この理由として、鉄の船は(重くて)浮かないから駄目という思い込みがあったからとどこかで聞いたように思います。
(信長が巨大な鉄の戦さ船を作ってポルトガル人を驚かせたらしいですが、これはただ木造船に鉄板を貼っただけだったそうです。)ということは、アルキメデスというひとは案外近代のひとだったのか?という疑問が浮かびました。
質問をまとめて見ます。
1)鉄の船はなぜ最近まで作られなかったのか?
2)アルキメデスは本当はいつごろのひとか?
3)アルキメデスの原理とは本当は誰が発見したのか?
宜しくお願いします。

Aベストアンサー

鉄の船が造られ出したのは、19世紀始めから中頃に掛けてです。
日本に来た黒船は既に鉄船ですし、同時代の南北戦争では鉄船+鋼鉄装甲の装甲艦や鋼鉄製の潜水が登場しています。
当時は商用船は、まだまだ木造の帆船か帆と蒸気機関を利用した機帆船でした。
軍用の鋼鉄船の採用は急速に進み、幕府海軍も所持していました。
日清戦争の時代はほぼ鋼鉄船で、後方支援の目的か補助艦に僅かに木造船が残る程度でした。
日露戦争では軍艦は一部の例外を除いて鋼鉄製でした。タールでシールだとかSUS製船等という意見はトンデもです。
それなら、昔の和船は何でシールしたのでしょう。

さて疑問に対する私なりのお答です。
1)19世紀初頭まで鉄船の採用が遅れた主な原因は、鉄の生産能力です。産業革命で始めて大量の鉄の生産が可能になりました。
したがって、信長の鉄板防御船の話を史実と認めながらも、当時の日本でそれだけの量の鉄板を生産できたか疑問視している
技術史家がいます。
いつ誰が鉄の船が浮くことに気付いたかは不明です。浮くことに気付けば、当時の「最高の」技術屋群が必要な「最高」
技術を創造して行ったと思います。

2)記録では、アルキメデス(Archimedes、紀元前287年 シチリア - 紀元前212年)は古代ギリシアの数学者、技術者となっています。
実在の人物のようですが、タイムトラベラーでは無いようです。

3)アルキメデスと言われています。ピタゴラスの定理の発見者はピタゴラスでは無く以前誰かが発見したものをピタゴラスが
纏めただけというのが定説になっています。
しかし、アルキメデスの原理に付いてはそう言う異説は無いようです。あの有名な王冠の話として伝わっています。
科学理論としてのアレキメデスの原理は約1800年後に再発見されました。これが後の鉄船の出現と関係しているように見えますが
何とも言えません。

鉄の船が造られ出したのは、19世紀始めから中頃に掛けてです。
日本に来た黒船は既に鉄船ですし、同時代の南北戦争では鉄船+鋼鉄装甲の装甲艦や鋼鉄製の潜水が登場しています。
当時は商用船は、まだまだ木造の帆船か帆と蒸気機関を利用した機帆船でした。
軍用の鋼鉄船の採用は急速に進み、幕府海軍も所持していました。
日清戦争の時代はほぼ鋼鉄船で、後方支援の目的か補助艦に僅かに木造船が残る程度でした。
日露戦争では軍艦は一部の例外を除いて鋼鉄製でした。タールでシールだとかSUS製船等という意...続きを読む

Qx[1]・x[2]・…・x[n]=1 ならば x[1] + x[2] + … + x[n] ≧ n

x[k]>0 (k=1,2,…,n)とする。

このとき、
x[1]・x[2]・…・x[n]=1 ならば x[1] + x[2] + … + x[n] ≧ n

と予想しましたが、証明できるのでしょうか?

また、
x[1] + x[2] + … + x[n] = 1 とすると、x[1]・x[2]・…・x[n] に関する何らかの不等式はあるのでしょうか?

Aベストアンサー

そのまま相加相乗平均ですね。

( x[1] + x[2] + … + x[n])/n≧(x[1]・x[2]・…・x[n])^(1/n)=1
x[1] + x[2] + … + x[n]≧n

反対も同じです。

1/n≧(x[1]・x[2]・…・x[n])^(1/n)
x[1]・x[2]・…・x[n]≦(1/n)^n

Qアルキメデスの王冠について

 浮力の話で登場するのが、アルキメデスの王冠です。
 たいていの本では、ニセモノの王冠を見破る方法を考えていたアルキメデスが入浴中に、お湯があふれるのを見てヒラメき、裸で街を走ったようなことを書いています。で、王冠を、水を満たした容器に入れてあふれた水の体積を測り、同じ重さの純金との体積の違いで混ぜ物(銀など)があることをあばいた、ということです。

 しかし、これでは、肝心の「アルキメデスの原理」が登場しない。天才アルキメデスが、水をあふれさして体積をはかる、なんて平凡なことを発見するか?
 実際にやると、表面張力が大きくて、王冠の入るような口径の器ではあふれる水の量に誤差が大きすぎ、純金みたいな高価なものはとても測れません。だいたい、アルキメデスが、風呂をあふれさせる、というような、昔、日本人が海外旅行でホテルのバスを水浸しにしてしかられたようなことをしたのか?という疑問があります。
 
 このへんの話自体は、後世のフィクションなのでしょうが、風呂をあふれさせるのは日本人の発想のように思います。
 では、海外ではどういう紹介をされているのでしょうか。また、いつ頃からこの話は伝わっているのでしょうか。ご存知の方はお知らせください。

 ちなみに、にせ王冠を見破るならば、純金と王冠を天秤でつりあわせたまま、天秤ごと水に沈めれば一発です。

 浮力の話で登場するのが、アルキメデスの王冠です。
 たいていの本では、ニセモノの王冠を見破る方法を考えていたアルキメデスが入浴中に、お湯があふれるのを見てヒラメき、裸で街を走ったようなことを書いています。で、王冠を、水を満たした容器に入れてあふれた水の体積を測り、同じ重さの純金との体積の違いで混ぜ物(銀など)があることをあばいた、ということです。

 しかし、これでは、肝心の「アルキメデスの原理」が登場しない。天才アルキメデスが、水をあふれさして体積をはかる、なんて平凡...続きを読む

Aベストアンサー

考えたことありませんでしたが,面白いですね.
話自体は後世のフィクションですかね.
アルキメデスは eureka! (I have found it!) と叫びながら
裸でシラクサの町を走り回った(ストリーキングですな),
ということですが...

さて,archemedes,eureka で検索してみました.
たとえば
http://home.istar.ca/~wkrossa/brin8~1.htm
http://www.quango.net/verdict/part7.htm
http://www.warwick.ac.uk/~maves/geom4.html
にはそういうことがちょっと載っていますので,
風呂とストリーキングの伝説は日本だけではないようです.
やはり欧米(?)からの輸入みたいですね.

とりあえず,おしらせまで.

金より比重が大きいものが当時手に入れば,
アルキメデスもお手上げだった?

Qx^n-1とx^n+1の因数分解(複素数係数、実数係数、有理数係数、整数係数)

x^n-1とx^n+1の因数分解(複素数係数、実数係数、有理数係数、整数係数)
において、その方法や結果や性質が載っているサイトがあれば教えていただけないでしょうか?

初歩的なことは知っています。

Aベストアンサー

とことん因数分解すれば結局、

x^n - 1 = Π[k=0,n-1]{x-cos(2kπ/n)-i*sin(2kπ/n)}
x^n + 1 = Π[k=0,n-1]{x-cos((2k+1)π/n)-i*sin((2k+1)π/n)}

となりますよね。これが整数か、有理数か、無理数かは三角関数の
性質を調べたほうがいいのでは?

Qアルキメデスの原理

アルキメデスの原理について教えてください。

もうだいぶ前の話になりますが、小学校の理科の授業でアルミホイルを様々な形にして水の中に入れるという実験を行いました。
すると丸くしたものは沈み、そのままの形にしたものは浮くことが分かりました。
先生はこのことを「アルキメデスの原理だ」と言っていて、アルミホイルが押しのける水の量がなんとかって言っていたのは覚えているのですが、あまり納得できませんでした。
なぜアルミホイルは形状を変えると浮き、そのままにすると沈んでしまうのでしょうか。
わかりやすく説明してくださる方がいらっしゃれば是非お願いします。
また、アルキメデスの原理についても教えていただきたいです。

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

たとえば、体積が100cm^3の石を水に沈めた場合、その石には
100cm^3の水に働く重力と同じ大きさの力が上向き(水に浮かべよう
とする力、浮力)が働きます。ところがこの石は100cm^3の水よりも
重いので、石が浮かんでくることはありません。もしこれが木だったら、
100cm^3の木は100cm^3の水よりも軽いので、浮かんでくることに
なります。

このように、水の中にある物体(実は水に限ったことではないのですが)
には、押しのけた水に働く重力と同じ大きさの浮力が働きます。

アルミホイルをくしゃくしゃっと丸めたものを水に中に入れると、
押しのける水はアルミ自体の体積とほぼ同じです。同じ体積で比べると
アルミは水よりも重いので、上記の仕組みによりアルミは沈みます。
ところがアルミを舟形にしてやるとアルミ自体の体積よりもはるかに
大きな体積の水を押しのけることになるので、大きな浮力が働いて
船が水に浮くことになります。水に浮いている船の断面を考えてみると、
水面下にある部分はアルミと空気であることが判ると思います。
この空気の分だけ多い体積の水を押しのけているのです。

ちょっと気になったのは、「そのままの形にしたものは浮く」という部分
です。もし、平らなアルミフォイルが水に浮くという意味だとしたら、
それは水の表面張力の関与を無視できないからです。一円玉だって
そっとやれば水に浮くのですから(上記のように同体積で比べると
アルミは水よりも重いので、平らなアルミフォイルはアルミ自体と
同じ体積の水しか押しのけることができずに沈むはずです)。

たとえば、体積が100cm^3の石を水に沈めた場合、その石には
100cm^3の水に働く重力と同じ大きさの力が上向き(水に浮かべよう
とする力、浮力)が働きます。ところがこの石は100cm^3の水よりも
重いので、石が浮かんでくることはありません。もしこれが木だったら、
100cm^3の木は100cm^3の水よりも軽いので、浮かんでくることに
なります。

このように、水の中にある物体(実は水に限ったことではないのですが)
には、押しのけた水に働く重力と同じ大きさの浮力が働きます...続きを読む

Q高校3年の数学好きです。 フェルマーの最終定理は x^n + y^n = z^n (nは3以上の整数

高校3年の数学好きです。
フェルマーの最終定理は
x^n + y^n = z^n (nは3以上の整数)
とすると、「整数解」は自明なもの、
つまり 、xyz=0 をみたすものしかないという定理としてワイルズが最終的に証明しましたが、「有理数解」も自明なものしかないと思います。
もし以下の証明が既に存在する、もしくは間違いがあるならご指摘をよろしくお願いします。

証明

x^n+y^n=z^n (nは3以上の整数)に
非自明な有理数解、(x,y,z)=(a/b,c/d,e/f)
が存在すると仮定する(a,b,c,d,e,fは0以外の整数)。
このとき、
(a/b)^n+(c/d)^n=(e/f)^nであるから
{(ad)^n+(bc)^n}/(bd)^n=(e/f)^n
(adf)^n+(bcf)^n=(bde)^n が成り立つ。
ここでadf,bcf,bdeはそれぞれ0でない整数であるから、(x,y,z)=(adf,bcf,bde)は
x^n+y^n=z^nを満たす非自明な整数解となるが、これはフェルマーの最終定理に矛盾。
よって、nが3以上の整数のとき、
x^n+y^n=z^nを満たす非自明な有理数解(x,y,z)は存在しない。 Q.E.D.

拙い文で申し訳ありませんが、よろしくお願いします。

高校3年の数学好きです。
フェルマーの最終定理は
x^n + y^n = z^n (nは3以上の整数)
とすると、「整数解」は自明なもの、
つまり 、xyz=0 をみたすものしかないという定理としてワイルズが最終的に証明しましたが、「有理数解」も自明なものしかないと思います。
もし以下の証明が既に存在する、もしくは間違いがあるならご指摘をよろしくお願いします。

証明

x^n+y^n=z^n (nは3以上の整数)に
非自明な有理数解、(x,y,z)=(a/b,c/d,e/f)
が存在すると仮定する(a,b,c,d,e,fは0以外の整数)。
このとき、
(a/b)^n+(...続きを読む

Aベストアンサー

>もし以下の証明が既に存在する

例えば英語版 Wikipedia にあります.

https://en.wikipedia.org/wiki/Fermat%27s_Last_Theorem

"Equivalent statements of the theorem" の "Equivalent statement 2" を参照.
"it can be multiplied through by an appropriate common denominator to get a solution in Z"とありますがここを具体的に書けば kobafumi さんの証明のように (a/b)^n+(c/d)^n=(e/f)^n の両辺を (bdf)^n 倍するということになるでしょう.

※一般にいって, http://www.math.sci.osaka-u.ac.jp/~ochiai/summer.pdf の「はじめに」のように, 「(斉次式=0) という形の方程式の整数解を考える問題は, 有理数解を考えることに帰着できる」という事実は広く知られていると思います.

>もし以下の証明が既に存在する

例えば英語版 Wikipedia にあります.

https://en.wikipedia.org/wiki/Fermat%27s_Last_Theorem

"Equivalent statements of the theorem" の "Equivalent statement 2" を参照.
"it can be multiplied through by an appropriate common denominator to get a solution in Z"とありますがここを具体的に書けば kobafumi さんの証明のように (a/b)^n+(c/d)^n=(e/f)^n の両辺を (bdf)^n 倍するということになるでしょう.

※一般にいって, http://www.math.sci.osaka-u.ac.jp/~ochi...続きを読む

Qアルキメデスの使い道

昨日ガチャを回したらアルキメデスが出ました
自分的には新キャラが欲しかったのですがアルキメデスが出ました
まず進化と神化どちらが良いですか?
進化の使い道と神化の使い道をアドバイスお願いします

Aベストアンサー

進化は魔族キラーEL(魔族に通常の5倍)ですが、ギミックに一切対応していません。
逆に、神化にすると、MSとDW持ちなので、連れていくことが多くなると思います。
進化は魔族の敵に対して相当強いですが、使いやすさを考えると、素材集めをしてでも神化させることをオススメします。

Q∫〔0,π〕sin^n(x)(n≧0の整数)をいくつかのnで計算せよ。

∫〔0,π〕sin^n(x)(n≧0の整数)をいくつかのnで計算せよ。
一般のnでの積分値を推測し,証明せよ。
できるだけ詳しく教えてください。

Aベストアンサー

一般に次の等式が成り立つ。証明は後回し。
∫[0,a] f(x) dx = ∫[0,a/2] { f(x) + f(a-x) } dx
この等式を使って、問題の積分の式を変形する。
∫[0,π] sin^n x dx = ∫[0,π/2] { sin^n x + sin^n (π-x) } dx
          = ∫[0,π/2] { sin^n x + sin^n x } dx
= 2∫[0,π/2] sin^n x dx
この式を使えば、n≧2 のnについては、値が求まる。
∫[0,π/2] sin^n x dx の値は数IIIの教科書に載っていたので、それを使う。
nが偶数のとき、
(n-1)/n×(n-3)/(n-2)×・・・×3/4×1/2×π/2
nが奇数のとき、
(n-1)/n×(n-3)/(n-2)×・・・×4/5×2/3×1

例えば、
n=2 のとき 2∫[0,π/2] sin^2 x dx = 2×( 1/2×π/2 ) = π/2
n=3 のとき 2∫[0,π/2] sin^3 x dx = 2×( 2/3×1)= 4/3
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
n=0のときは、直接 ∫[0,π] sin^0 x dx = ∫[0,π] 1 dx = π
n=1のときは、直接 ∫[0,π] sin^1 x dx = ∫[0,π] sin x dx = 2


一般のnでの積分値 2∫[0,π/2] sin^n x dxは、
nが偶数のとき、
2×{ (n-1)/n×(n-3)/(n-2)×・・・×3/4×1/2×π/2 }
nが奇数のとき、
2×{ (n-1)/n×(n-3)/(n-2)×・・・×4/5×2/3×1 }
となる。

一般に次の等式が成り立つ。証明は後回し。
∫[0,a] f(x) dx = ∫[0,a/2] { f(x) + f(a-x) } dx
この等式を使って、問題の積分の式を変形する。
∫[0,π] sin^n x dx = ∫[0,π/2] { sin^n x + sin^n (π-x) } dx
          = ∫[0,π/2] { sin^n x + sin^n x } dx
= 2∫[0,π/2] sin^n x dx
この式を使えば、n≧2 のnについては、値が求まる。
∫[0,π/2] sin^n x dx の値は数IIIの教科書に載っていたので、それを使う。
nが偶数のとき、
(n-1)/n×(n-3)/(n-2)×・・・×3/4×1/2×π/2
nが奇数のとき、
(n-1)/n×...続きを読む


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