等エントロピー過程における温度変化

1モルの理想気体を等エントロピー下で圧力P(0)をP(1)まで減圧し膨張させた。
その時の温度をP(1)、P(0)、T(0)、R、Cvを用いて表わせ（R：気体定数、Cv：等積比熱）
という問題なのですが、答えがいまいちパッとでません・・
等エントロピーということはΔQ=0、
となり第一法則は、ΔU+PΔV=0
となるとおもいます。これをCvΔT＝-PΔV
に変形し、さらにCvΔT=-RTΔV/V
そしてさらに、CvΔT/T=-RΔV/Vにして
T　T(0)→T(1)
V V(0)→V(1)とし、両辺積分しました。
すると、F(T(0),T(1))=G(V(0),V(1))
の等式が得られ、この式のV(1)部分に
V(1)=RT(1)/P(1)を代入し、T(1)を求めたのですが、
答えが非常に煩雑な答えになってしまいました。
自分の解答は合っているのでしょうか？
もっと、簡単に求める方法がありそうな気がしてなりません。
よろしくお願い致します。

No.1 ベストアンサー 回答者： jamf0421 回答日時： 2009/08/21 22:20

(Cv/T)dT=-(R/V)dV

までは問題ないですね。これを積分すると
Cvln(T1/T0)=-Rln(V1/V0)=Rln(V0/V1)...(1)
となりますね。Cv/R=cと書くことにすれば
(T1/T0)^c=V0/V1...(2)
となります。ところでP0V0=RT0, P1V1=RT1から
V0/V1=(T0/T1)(P1/P0)...(3)
ですから
(T1/T0)^c=(T0/T1)(P1/P0)
(T1/T0)^(c+1)=P1/P0...(4)
となります。ところで
Cp-Cv=R
Cp/Cv-1=R/Cv=1/c
即ち
γ-1=1/c
よって
1/(c+1)=1-1/γ
だから
T1/T0=(P1/P0)^(1-1/γ)
でないですか？1-1/γという書き方がよくないならもどして
1-1/γ=1-Cv/Cp=1-Cv/(Cv+R)=R/(Cv+R)
となりますが...

この回答へのお礼

ご解答ありがとうございました。
すごいですね！ポアソン比使うことで
ずいぶんスッキリとした形になるんですね。
ちょっと感動しました
自分の過程も、そこまでそれてない事が分かり安心しました。
ありがとうございました

お礼日時：2009/08/21 23:12