Gを群とする.
「Gの正規部分群Nに対し,NとG/Nがともに可解群ならば,Gもまた可解群である.」
この証明なのですが,途中がわかりません.
(∵)
G/Nは可解群だから,G/Nの正規列
G/N=G_0/N⊃G_1/N⊃…⊃G_m/N=N/N
であって,同型定理より,商群
(G_(i-1)/N)/(G_i/N)≒G_(i-1)/Gi
(≒は同型の記号としてください)
がアーベル群となるものが存在する.
このとき「G_iはG_(i-1)の正規部分群」であることに注意する.…(?)
また,Nが可解群だから,Nの正規列
N=G_m⊃G_(m+1)⊃…⊃G_r={e}
であって,商群
G_(j-1)/G_j
がアーベル群となるものが存在する.このとき,
G=G_0⊃G_1⊃…⊃G_m=N⊃G_(m+1)⊃…⊃G_r={e}
はGの正規列であって,その商群はアーベル群よりなる.
よってGは可解群である.
Q.E.D
とあったのですが,途中の(?)の部分がわかりません.
なぜ「G_iはG_(i-1)の正規部分群」となるのでしょうか?
詳しい方お願いします.
No.3
- 回答日時:
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
「G_iがG_(i-1)の正規部分群なのはどうしてか」ということですか。
これは、明らかだと思います。G_(i-1)から、G_(i-1)/N への自然な同型写像を、
φ:G_(i-1)→G_(i-1)/N
としたとき、第一同型定理より、G_(i-1)/Nの正規部分群G_i/Nの逆像は、
φ^[-1](G_i/N)=G_i
となり、しかも、G_iはG_(i-1)の正規部分群となります。
第一同型定理はいろいろな場面でよく使われる、重要な定理です。
No.1
- 回答日時:
( G_{i-1} / N ) / ( G_i / N ) が存在して、それが可換群だからでは?
つまり、ほんとは下のように書くべきだったのでは?
[...]
( G_{i-1} / N ) / ( G_i / N ) が可換群となるものが存在する。
可換性により、G_i は G_{i-1} の正規部分群。
第3同型定理により
( G_{i-1} / N ) / ( G_i / N ) は G_i / G_{i-1} に同型。
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