数I 数と式 工夫のいる展開

(x^2+2x-3)*(x^2-2x+3)

置き換えたいけど上手く置き換えられません。
どうすればいいでしょうか？

No.4 ベストアンサー 回答者： proto 回答日時： 2009/10/09 12:59

＞Y=2x-3

＞に－1を掛けることが理解できないです
＞どこから－1を持ってきたのか

因数分解の和と差の公式をじっくり見てみましょう
　　a^2-b^2 = (a+b)(a-b)
これの右辺です。
二つの括弧のうち、aはどちらも符号が+ですね。bは前の括弧では符号が+、後ろの括弧では符号が-ですね。bだけ符号が逆転しています。
コレこそがこの公式のポイントなのです。
a+bとa-bが掛け合わせてあるときだけ、この公式は使えます。

さて、問題の式を見直してみましょう。
　　(x^2+2x-3)*(x^2-2x+3)
のうち、2xの項と-3の項は前後の括弧で符号が違いますよね。
この符号が違う項をt=2x-3とでもして置き換えて見ましょう。
　　(x^2+2x-3)*(x^2-2x+3) = (x^2+t)*(x^2-2x+3)
ここで、後ろの括弧にある-2x+3をどうにかして-tで置き換えられ裸れたらさっきの和と差の公式が使えると思いませんか？
実際、
　　-2x+3 = -(2x-3) = -t
なので、この置き換えは可能なのです。
つまり
　　(x^2+2x-3)*(x^2-2x+3) = (x^2+t)*(x^2-2x+3)
　　　　　　　　　　　　　= (x^2+t)*(x^2-t)
-1をどこから持ってきたのか、それは-1を掛けて符号を逆にすればtを使って置き換えが出来るからです。また、和と差の公式では符号が違うbと-bが出てくることが大切でしたね。そのためでもあります。

ここまで置き換えれば、和と差の公式が使えることがすぐに分かるでしょう。aがx^2に対応して、bがtに対応します。


数学では、どうしてこのように変形するのか？どうしてこのように置き換えするのか？と思う場面があります。
その理由のほとんどは「とにかくそうすればうまくいくから」です。
昔の数学者がいろいろと知恵をしぼって、上手くいく方法を少しずつ見つけたのです。いま先生が教えてくれているのはそういう昔から知られているノウハウのようなものなのです。
では、どのようにうまくいくのか、それはあなたがそのアドバイスを参考にして素直に式をいじってみれば分かるはずです。
なるほどたしかにこう変形すればうまくいくなぁ、と、そう納得することが大切だと思います。
そのためには自分の手で計算をしてみなければいけません。

この回答へのお礼

(x^2+t)*(x^2-2x+3)
両方いっぺんに置き換えるのではなく、片方のみ置き換えてくださったのでとてもわかりやすかったです。

この式まで作って-2x+3をなんとかｔに近づけたいと思う。
-2x+3=－1を掛ければいいんじゃないかと考える
そうすると－(2x－3)になる。

なぜそうなるかは先人達の知恵を使うからですね。
変形すればうまくいくなぁと、心から感じることができました。
ありがとうございます。

お礼日時：2009/10/09 13:42

No.5 回答者： again1212 回答日時： 2009/10/10 00:33

2x-3 と -2x+3　の関係に気づけるかどうかです。

結論から言うと、これは５とー５みたいなようなものです。
つまり絶対値が同じで符号が違うだけの関係です。
でも2x-3 とか -2x+3 っていうような足し算や引き算になってると、
慣れてないうちはその関係に気づかないかもしれません。

もっと簡単な数字で考えたら理解しやすいです。
例えば、4+3 で、絶対値は変えずに符号だけ変えると、-4-3 です。なぜなら、4+3=7 ,-4-3=-7 となって成り立つことが確認できるからです。
ここで -4-3 というのは、4+3 の各項 +4 と +3 の符号をそれぞれ変えることによってできた数字だと考えられます。

このことを使うと、2x-3の各項の符号を変えると、+2x → -2x　　 -3 → +3
となり、ちゃんと-2x+3ができます。

だから、2x-3をAとおいたならば、-2x+3は-Aとおけるのです。

この回答への補足

絶対値は変えずに符号だけ変えると>>

なぜこんなことができるか理解できないです。
解答ありがとうございました。

補足日時：2009/10/10 01:07

No.3 回答者： OmMichael 回答日時： 2009/10/08 22:41

2x-3=Yと置換すれば

(与式)={x^2+(2x-3)}{x^2-(2x-3)}
=(x^2+Y)(x^2-Y)　　となって和と差の積の公式が使えるので、
=x^4-Y^2

あとはわかりますよね。
ポイントは和と差の積の形を作るっつーことでしょうか。
そのためにまず着眼する所は、括弧の中身を比べて、それぞれ対応する各項の係数が全て同じ(絶対値)であること、ですかね。そこから連想していけば和と差の積を使う、ということに気づけるかも。
逆にこれを因数分解しろって言われると大変ですね。

で、なぜそうなるのかということになると、
Y=2x-3
両辺に－1を掛けて
-Y=-(2x-3)=-2x+3
ということなので、Yと-Yで両方とも置換できます。
数学的にはイコールになったらもうその時点で置換は出来るというルールなので、あまり考えないで置き換えておくと良いでしょう。

なぜ数学ではそんなことが出来るのか？とか思ったとしても、ここらへんは只の数学的操作として深く考えないで納得しましょう。
というか、自分にはどこで理解できないでいるのかがちょっとわからないです…

なぜマイナス×マイナス＝プラス？とかそういう議論は大学行って代数学なんかで学ぶといいと思います。非常に厳密な議論をしますから納得はできるでしょう。
ちょっとだけ言うと、x・(-1)という操作は、数直線上でxを180度回転する操作と同値である、と考えてくれれば何も問題ありません。

この回答への補足

=で結べれば置き換え可能ですね。
わかりました。細かい事は大学に行ってからですね。
丁寧な回答、解説ありがとうございます。

どこで理解できないか
Y=2x-3
に－1を掛けることが理解できないです
どこから－1を持ってきたのか

補足日時：2009/10/09 07:53

No.2 回答者： -somebody- 回答日時： 2009/10/08 19:39

(x^2+2x-3)*(x^2-2x+3)

ですね？
t=2x-3としてやれば
(x^2+t)(x^2-t)
=x^4-t^2
=x^4-(2x-3)^2
=x^4-4x^2+12x-9
となりませんかね？

この回答への補足

ありがとうございます。答えが出ました。
解らない所は2x-3をtと何故置けるのか？
左の2x-3と右の-2x+3は違う物ではないのですか？

t=2x-3にマイナスを掛ければ回答者様の値がでますよね。
この部分が上手く理解できないです。
よければ教えてくださいませんか？

補足日時：2009/10/08 21:41

No.1 回答者： proto 回答日時： 2009/10/08 19:38

前後の括弧の中で、「符号が変わっている項」と「符号が変わっていない項」に注目して、それぞれをまとめてみましょう。

今回の場合、A=2x-3とでも置いてみてください。