高校数学II：剰余定理の問題

問題：
整式f(x)は x-1 で割ると余りが3である。
またf(x)を x^2+x+1 で割ると余りが 4x+5 である。
このとき、f(x)を x^3-1 で割ったときの余りを求めよ。

解答：
f(x)を x^3-1 で割ったときの商をQ、余りを ax^2+bx+c とすると、f(x)=Q(X^3-1)+ax^2+bx+c　だが、
f(x)をx^2+x+1で割った余りは 4x+5 なので　（ふむふむ・・）
f(x)=Q(X^3-1)+a(x^2+x+1)+4x+5
となる。（えっ、どうして？どういう意味？？？）
従ってx=1のとき、
f(1)=Q・0+a(1+1+1)+4+5=3a+9
問題文よりf(1)=3 なので
3a+9=3を解いて、a=-2
従って、余りは、-2(x^2+x+1)+4x+5 = -2x^2+2x+3
ということなんですが、上記に書いたように
f(x)=Q(X^3-1)+a(x^2+x+1)+4x+5　となる、というところが
分かりません。
その前と、それ以降の計算の意味は分かるのですが。
この問題は、そこがポイントのような気がするのですが
肝心なところが分かりません。

No.2 ベストアンサー 回答者： naniwacchi 回答日時： 2009/12/06 19:25

まず、（余りとなる整式の次数）≦（割る式の次数）ー１となります。

a* x^2+ b* x+ cの中にも、x^2+ x+ 1が含まれている（まだ割ることができる）ということになります。
そのことを式の上で表すと、質問のようになるということです。


このことは整式だけではなく、普通の数の場合でも同じです。
「ある数を 3で割ると 1余る。また、4で割ると 3余る。
この数を 12で割ったときの余りはいくつになるか？」

ある数を 12q+ pとおいたとき、pは 0≦ p＜ 12を満たす整数となりますが、
もし p= 5であれば、まだ 3で割ることもできれば 4で割ることもできます。
つまり、p= 3m+ 1と表すことができ、
また p= 4n+ 3とも表すことができるということになります。

この回答への補足

回答ありがとうございます。
なるほど、そういうことですか。
分かりました。

補足日時：2009/12/06 21:16

No.1 回答者： f272 回答日時： 2009/12/06 18:07

x^3-1はx^2+x+1で割り切れることに気がついていれば、

f(x)=Q(X^3-1)+a(x^2+x+1)+4x+5
となることが当たり前と思えるでしょう。

この回答への補足

早速のご回答ありがとうございます。
x^3-1=(x^2+x+1)(x-1) であることは気が付いていますが
それでも、どうして
f(x)=Q(X^3-1)+a(x^2+x+1)+4x+5
となるのか分かりません。
なんか関係ありそうだなぁという気はするのですが・・・

補足日時：2009/12/06 19:12