線形代数で部分空間かどうかの判定

R^2内の次の直線、曲線がR^2の部分空間かどうか判定せよ。

(1) y=3xを満たすベクトル[x;y]の全体
(2) y=2x+1を満たすベクトル[x;y]の全体
(3) y=x^2を満たすベクトル[x;y]の全体

…という問題で、本の答えはそれぞれ、

(1) 部分空間
(2) 部分空間ではない
(3) 部分空間ではない

…となっています。しかし、例題が載っていないので
どうやって解いたのかいまいち理解できていません。

多分、次の定理を使うんだと思います:
ベクトル空間Vの部分集合Wが部分空間であるための必要十分条件
(1) W=Φ
(2) a, b∈W ⇒ a+b∈W
(3) a∈W, λ∈R ⇒ λa∈W

Aをm×n行列とするとき、
W={x∈R^n | Ax=0}
はR^nの部分空間である。

…ここからは推測ですが、
(1)はyと3xが比例しているような関係で
「xのちょうど3倍がyになる」から部分空間なのですか？

(2)は+1があって原点を通らないので
部分空間じゃないのですか？
もし、y=2xだったら部分空間ですよね？
+1や-1が付くような場合はすべて
「部分空間じゃない」と考えてもいいですか？

(3)は原点は通っていても
yがxの二乗に比例しているので
部分空間じゃないんですよね(倍数では表せないので)？

宜しくお願いします。

No.1 回答者： koko_u_u 回答日時： 2009/12/12 22:38

>…となっています。

しかし、例題が載っていないので

例題は今まさに貴方が見ているこの問題ですよね。

>多分、次の定理を使うんだと思います:

多分違います。
まずは「部分空間」の定義を復習して下さい。

この回答への補足

残念ですが、質問の答えになっておりません。

>例題は今まさに貴方が見ているこの問題ですよね。

では、この問題に解き方が書いてありますか？
それが解からないから質問しているということが読み取れるでしょうか？

部分空間の定義は
「ベクトル空間Vの部分集合Wが、Vにおける和とスカラー倍の演算によってベクトル空間になるとき、WをVの部分空間、または部分ベクトル空間という。」
です。はい、正直、この意味もよく解かっていません。
「だからこそ」ここで質問しているのですが。

補足日時：2009/12/12 22:54

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2009/12/12 22:54

それぞれがベクトル空間かどうかを定義に従ってきちんと示していけばいい.

ところで, その「必要十分条件」はどう読めばいいんでしょうか?

この回答へのお礼

ありがとうございます。
まず、訂正しておきます:
(1) W=Φ → (1) W≠Φ

「必要十分条件」を私なりに読むと
(1) W≠Φ
部分集合Wは空ではない
ここで既に躓いてます。
問題(1)の場合、xとyの係数1,3があるので空ではない、ということで良いのでしょうか？

(2) a, b∈W ⇒ a+b∈W
Wに属すa, bを足した数もWに属す
これもさっぱりです、「例題がありませんので」。
問題(1)の場合、1+3=4で4もWに属している、ということで良いのでしょうか？

(3) a∈W, λ∈R ⇒ λa∈W
aがWに属し、λが実数であれば、aのλスカラー倍もWに属す
このλって3のことですか？ ←多分違うと思いますけど

お礼日時：2009/12/12 23:13

No.3 ベストアンサー 回答者： yoejpjp 回答日時： 2009/12/12 23:24

まず、質問者さんが「次の定理」と呼んでいるのは多分「定理」じゃなくて「定義」です。

定理と定義の違いは重要です。
（1）は W = Φ じゃなくて、W ≠ Φ と言いたいのを間違えたんですよね？
問題に与えられた３つの図形は明らかにΦじゃありません。
では、問題に与えられた各図形が
(2) a, b∈W ⇒ a+b∈W
(3) a∈W, λ∈R ⇒ λa∈W
を満たすかどうか考えて見ましょう。
良いですか？　どちらか片方じゃなくて両方満たさなくては部分空間とは言えないんですよ。
逆に言うと、どちらか片方でも満たさなければ部分空間ではないわけです。

まず(1)の図形：
二つのベクトル a = (x_1,y_1) と b = (x_2,y_2) が W の元だとしましょう。これは、y_1 = 3x_1, y_2 = 3x_2 が成り立つという事です。
では、a + b = (x_1 + x_2,y_1 + y_2) はどうでしょう？
もし、
y_1 + y_2 = 3(x_1 + x_2)
が成り立てば、性質(1)が満たされる訳ですが、成り立たないときは満たされない訳です。
次に、性質(2)はどうでしょう。
λa = (λx_1,λy_1) ですから、
λy_1 = 3(λx_1)
が成り立てば、性質(1)が満たされ、成り立たない場合は満たされないわけです。

次に(2)の図形…
a = (x_1,y_1), b = (x_2,y_2) が(2)の図形にあるのは、
y_1 = 2x_1 + 1 と y_2 = 2x_2 + 1
が満たされるときです。このとき、
a + b が性質(1)を満たすとは、
y_1 + y_2 = 2(x_1 + x_2) + 1 が成り立つという事です。
これは本当ですか？

(3)の図形も同じように考えてみましょう。

ところで、質問者さんは例題が本に載っていないと仰いますが、先生は授業中に例題を見せてくれませんでしたか？

＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
＊＊本当に授業を真面目に聞いていましたか？＊＊
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊

それから、次回こういう質問があったらネットで聞いたりしないで、先生のところに聞きに行きましょう。
必ず、よろこばれますから。
先生って、質問に来てくれる学生はかわいいもんです！

この回答へのお礼

非常に解かりやすい説明、ありがとうございます。
はい、W≠Φと書きたかったのですが、ついつい書き直すのを忘れてしまいました。

自分なりに具体的な数字で検証・反証してみますね(一般化は割愛させてください(^^ゞ)。
まず(1)の図形:
a=(1,3), b=(2,6)
3=3(1)
6=3(2)

(2) a, b∈W ⇒ a+b∈W
3+6 = 3(1+2)
9 = 9

(3) a∈W, λ∈R ⇒ λa∈W
λ=5:
5(3) = 3{5(1)}
15 = 15
…よって、(1)の図形は部分空間

次に(2)の図形:
a=(1,3), b=(2,5)
3 = 2(1)+1
5 = 2(2)+1

(2) a, b∈W ⇒ a+b∈W
3+5 = 2(1+3)+1
8 ≠ 9
…よって、(2)の図形は部分空間ではない

最後に(3)の図形:
a=(1,1), b=(2,4)
1 = 1^2
4 = 2^2

(2) a, b∈W ⇒ a+b∈W
1+4 = 1+2
5 ≠ 3
…よって、(3)の図形は部分空間ではない

現在は独学で勉強しているので先生は居ません。
線形代数の授業を取っていたのは随分前になります。
先生はもちろんたくさんの例題を見せてくれたはずです。
当時使っていた教科書も丁寧に書かれたものでした(実家にあります)。
授業は一応真面目に聞いていましたが、特別な環境下で勉強していたのと
他の授業が忙しいのとで予習・復習は怠ってました。
それでも成績は平均よりは良くて、なんとかパスできました。
その後、線形代数の知識が必要となることがさほどなく、
完全に忘れてしまってから、多変数微分積分に出会いました。
それで焦って勉強している次第です。
ありがとうございました！

お礼日時：2009/12/13 17:38

No.4 回答者： Tacosan 回答日時： 2009/12/13 00:20

部分空間の前にベクトル空間をやるはずなんだけど, そこは困らなかったんでしょうか?

部分空間というのは「あるベクトル空間の部分集合であるようなベクトル空間」です. だから #2 ではあえて「ベクトル空間」と書いた.

この回答へのお礼

>ベクトル空間をやるはずなんだけど, そこは困らなかったんでしょうか?

もちろん、困っています(現在進行形)。
一つ不明な点がありますので、別件で質問させていただきます。m(__)m
ありがとうございました。

お礼日時：2009/12/13 17:41

No.5 回答者： koko_u_u 回答日時： 2009/12/13 01:03

>では、この問題に解き方が書いてありますか？

>それが解からないから質問しているということが読み取れるでしょうか？

なるほど、あなたは模範解答込みの問題を「例題」と称しているのですね。

>はい、正直、この意味もよく解かっていません。

よーし。意味を理解するべく、再度問題に挑戦だ。

この回答へのお礼

>模範解答込みの問題を「例題」と称しているのですね

その通りです。それがないとほぼ手も足も出ません。
稀に自分一人で3日間くらいかけて解いたりもしますが…。
現在使っている教科書は抽象的な表現が多すぎて理解不能な部分があります(良書ではあるんですが)。
また質問することがあると思いますが宜しくお願いします。
ありがとうございました。

お礼日時：2009/12/13 17:49