万有引力が中心力であることを示せ

原点Ｏに固定されている質量Ｍの質点から、距離ｒに位置している質量ｍの質点が受ける万有引力の位置エネルギーが
Ｕ＝-GMm/r
で与えられるとき、質点の受ける力Ｆベクトルを
Ｆベクトル＝-grad Ｕ
を計算して力が距離だけの関数でしかも方向が原点を向く中心力であることを示せ。
ただしr二乗＝x二乗＋y二乗＋z二乗　である。

自分でも考えてみたんですがよくわかりません。
どうやって中心力だと示せばいいんでしょうか・・・
どなたか教えてください。お願いします

No.3 回答者： yokkun831 回答日時： 2010/02/08 06:34

F~ = -GMm/r^3 ・(x,y,z) = -GMm/r^3・r~ （「~」はベクトル）

ということですね。これで十分でしょう。

この回答へのお礼

ありがとうございました！
何度も丁寧に教えていただき、やっと理解することができました。
本当にありがとうございました。

お礼日時：2010/02/08 08:11

No.2 回答者： yokkun831 回答日時： 2010/02/07 17:29

∂/∂x(1/r) = d/dr(1/r)・∂r/∂x = d/dr(1/r)・∂/∂x{√(x^2+y^2+z^2)}

と計算すればいいのではないでしょうか？

>Ｆ＝（GMm/x^2,GMm/y^2,GMm/z^2) ＝GMm/r^2

うーん!? ^^; 微分の結果はそうならないし，(1/x^2,1/y^2,1/z^2)=1/r^2 というのもベクトルがスカラーに化けるという，奇妙な計算になっています。まずは，rによる微分とxによる偏微分をしっかりやってください。

この回答への補足

すみません、お礼のところに書いたものに間違いが
Ｆｘ＝-GMnx/r^3でした。
yとzも同様です。

補足日時：2010/02/08 01:43

この回答へのお礼

なんどもすみません・・・
dr/dx=(1/2) {2x/√(x^2+y^2+z^2 )}=x/r
Fx=-dU/dx=-GMm(1/2){2x/√(x^2+y^2+z^2)}=-GMmx/r
yとzも同様にやって、-GMmy/r、-GMmz/r
よって
F=-GMm/r^2
でしょうか？？
中心力はrベクトル/rをしめせばいいのでしょうか？

お礼日時：2010/02/08 01:10

No.1 回答者： yokkun831 回答日時： 2010/02/07 08:44

まず，F = -grad U は計算できたのでしょうか？　r^2=x^2+y^2+z^2 があらためて書いてあるということは，直交座標で計算せよということなのでしょうね？

F = (Fx,Fy,Fz)　　Fx = -∂U/∂x　etc.

によって具体的に計算してみてください。ベクトルFが位置ベクトルrに比例することをいえば十分でしょう。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
Fx = -∂U/∂xを計算するとき、
d{GMm/(x^2＋y^2＋z^2)^1/2}/dx
のｙとｚをどうすればよいかわかりません・・・
Ｆ＝（GMm/x^2,GMm/y^2,GMm/z^2)
＝GMm/r^2
となるのでしょうか？

お礼日時：2010/02/07 14:07