春休みはもう終わりというのにまだ宿題が終わっていません。高2の三角関数

春休みはもう終わりというのにまだ宿題が終わっていません。高2の三角関数の問題なんですが、難しくてわかりません。教えてください。
　　cosx-1
lim ＿＿＿ ←これは分数です。読むとリミットｘ→0　xtanx分のcosx-1です。
x→0 xtanx

（2）　　π
lim （x-＿＿）tanx ←ぐちゃぐちゃですが、読むと、リミットx→2分の π（ｘ-2分の π）tanxです。
x→　π　　2
　＿＿
　　2

できれば2つ教えてほしいですが、1つでもいいのでよろしければ教えてくださいお願いします。

No.1 回答者： debut 回答日時： 2010/04/08 10:21

tanx=sinx/cosxだから、分母・分子にsinxcosxをかけて、(sinx/x)

が出てくるまで変形してみる。


x-(π/2)=θとおくと、x→π/2のときθ→０
tan{θ+(π/2)}=-1/tanθ=-1/(sinθ/cosθ)=-cosθ/sinθだから
(θ/sinθ)が出てくる。

No.2 回答者： naniwacchi 回答日時： 2010/04/08 10:36

おはようございます。

分数は「/」の記号を使うとすっきり書けますよ。＾＾
書きなおしてみますが、「こうかな？」というイメージで書いています。

(1) lim [x→0] { cos(x)- 1 }/{ x* tan(x) }

(2) lim [x→π/2] { (x- π/2)* tan(x) }


(1)は、tan(x)を sin、cosに書き換えて、「分子の有理化もどき」をおこないます。

(2)は、「x→π/2」よりは「→ 0」となる方がわかりよいので、
x-π/2= tとでも置いてみてください。「t→ 0」となり式ももうちょっとすっきりすると思います。
あとは、(1)と同様 sin, cosに書き換えてみてください。

No.3 ベストアンサー 回答者： alice_44 回答日時： 2010/04/08 12:05

x ≒ 0　のときに

sin x ≒ x
cos x ≒ 1 + (-1/2)x^2　であることは、
覚えておくと便利です。
(高校の段階では、証明には使えませんが。)

cos のほうに出てくる係数 -1/2 は、
(d/dx) cos x = - sin x　を使って
sin x ≒ x　に結びつけると、覚えやすい。

これを使うと、(1) は、
( cos x - 1 ) / ( x tan x )
＝ ( cos x - 1 ) / ( x sin x / cos x )
≒ (-1/2)x^2 / { x^2 / ( 1 + (-1/2)x^2 ) }
＝ (-1/2) ( 1 + (-1/2)x^2 )
≒ (-1/2)
で値が判ります。　　…[A]

この計算を、答案に書ける形で進めるには、
sin x ≒ x　を　(sin x) / x ≒ 1
cos x ≒ 1 + (-1/2)x^2　を　(cos x - 1) / x^2 ≒ -1/2
と捉えなおして、
lim[x→0] (sin x) / x = 1
lim[x→0] (cos x - 1) / x^2 = -1/2
という公式として使う。

lim[x→0] ( cos x - 1 ) / ( x tan x )
= lim[x→0] ( cos x - 1 ) / ( x sin x / cos x )
= lim[x→0] { (cos x - 1) / x^2 } (cos x) / { (sin x) / x }
= { lim[x→0] (cos x - 1) / x^2 } { lim[x→0] (cos x) } / { lim[x→0] (sin x) / x }
= (-1/2) 1 / 1
とすればよいです。　　…[B]

[A] と [B] のどの部分が対応しているか
も見ておくと、理解が深まります。

lim[x→0] (sin x) / x = 1　は、
教科書に必ず出ている基本公式。
lim[x→0] (cos x - 1) / x^2 = -1/2　は、
sin のほうの公式を使って示すことができます。

lim[x→0] (cos x - 1) / x^2
= lim[x→0] { (cos x - 1) (cos x + 1) } / { x^2 (cos x + 1) }
= lim[x→0] - { (sin x) / x }^2 / (cos x + 1)
= - { lim[x→0] (sin x) / x }^2 / ( lim[x→0] cos x + 1 )
= - 1^2 / (1 + 1)
です。

もうひとつ、
lim[x→0] (tan x) / x
= lim[x→0] { (sin x) / (cos x) } / x
= lim[x→0] { (sin x) / x } / (cos x)
= { lim[x→0] (sin x) / x } / { lim[x→0] (cos x) }
= 1 / 1
を公式として覚えてしまってもよい。