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次の行列が定める線形写像の核と値域を求めよ。
|1 -1|
|     |
|2 -2|

核の方は
|1 -1||x| |0|
|     | |  |=| |
|2 -2||y| |0|

を計算して
y=xとなると分かったのですが、値域の方が分かりません。
かなり基本的な内容だとは思いますが、どなたか教えてください。

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A 回答 (2件)

変換行列の各列を縦ベクトルとみなし、行列とは縦ベクトルを並べたものであると考えるのが有効です。


 n次正方行列の各列をv1, v2,…vnとします。ここでviはn次元縦ベクトルです。この行列で
|x1|
|x2|
| : |
|xn|

というベクトルを変換してみるとx1v1+x2v2+…+xnvn となります。すなわち、この行列の像(値域)はv1, v2,…vnの線形結合で表わされる空間です。ここでv1, v2,…vnが一次独立ならば値域はn次元空間になります。ところが、一次従属の場合は値域はn次元より小さくなります。
|1 -1|
|2 -2|

という行列の場合も二つの列が一次従属のため値域は2次元ではなく,
|1|
|2|
のスカラー倍という1次元空間になります。そのためv1, v2,…vnのうち一次独立なものだけを残す必要があるのです。例えばvnが他のベクトルに一次従属であれば他のベクトルの一つをスカラー倍してvnに加える操作を何回かすればvnは消去できる(0にできる)はずです。これを行列の形のまま行うのが列についての基本変形です。列についての基本変形は次の3種の操作からなります。
 (1) ある列に0でない数をかける。
 (2) ある列に別の列をスカラー倍したものを加える。
 (3) 二つの列を入れ替える
変換行列の列についての基本変形を繰り返して可能な限り多くの列を0にします。残った0にできない列を表わす縦ベクトルをv'1, v'2,…v'p とします。ここでv'1, v'2,…v'pは一次独立なので「線形写像の値域は?」という問いには「v'1, v'2,…v'pが張る空間」と答えれば良いのです。この数pを行列のrankと呼んでいます。いくつかの例をあげましょう。左側に元の行列,右側に列の基本変形で簡単にした行列とrankを示します。
|1 -1|   |1 0|  rank 1
|2 -2|   |2 0|

|1 2 3|    |1 0 0|  rank 1
|1 2 3|    |1 0 0|   
|1 2 3|    |1 0 0|

|1 0 1|    |1 0 0|  rank 2
|1 1 2|    |1 1 0|   
|0 1 1|    |0 1 0|

|1 0 0|    |1 0 0|  rank 3
|1 1 0|    |0 1 0|   
|1 1 1|    |0 0 1|

n次正方行列が逆行列を持つための必要十分条件はrankがnとなることです。
    • good
    • 1
この回答へのお礼

ようやく分かりました。
丁寧な回答をありがとうございました。

お礼日時:2003/07/18 13:27

|1 -1||x|


|     | |  |
|2 -2||y|
を計算してみると値域は
|1|
| |
|2|
というベクトルの(x-y)倍、すなわち上記のベクトルで張られる部分空間であることがわかります。これをもとめるには変換行列の各列を縦ベクトルと看做したとき一次独立なベクトルを求めることにより得られます。それには
|1 -1|
|     |
|2 -2|
を列について基本変形して
|1 0|
|   |
|2 0|
とすれば求められます。
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    • 0
この回答へのお礼

早速の回答、どうもありがとうございます☆
しかしながらまだよく分かりません。
もう少し教えてもらえないでしょうか。

お礼日時:2003/07/12 13:31

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Q線形写像のImfの基底

大学の数学なのですが、この問題が解けずに困っています。

写像f:R*5→R*5を、f(x)=Axで定める。(Aは5×5行列)このとき、Imfの基底を求めよ。
Aは、具体的な値を与えられていますが、ここでは書けないので省略させていただきます。

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

行列式を、基本変形する
    ↓
列が単位行列のようになる部分が出てくるはず。
(ここでは横書きですが、|10000,01000,00100|のような形)
    ↓
その部分と、元の式との対応する部分がImfだと思います。
(例えばR*3の時、元の行列式が |101,211,-11-2|だとする)
  ↓基本変形して
|100,010,-310|
となったら,Imfは、{(101),(211)}の次元2。
全部行列式が、横に書いてあるんですけど、縦書で・・・。
こんなんで分かるでしょうか??
ものすごい分かりにくくてすいません・・・。
参考になれば・・・

Qヒントください。

R^(4)の線形変換φを
φ(x_1,x_2,x_3,x_4)=(x_1+x_2,x_3+x_4,x_1+x_2+x_3+x_4,x_1+x_2-x_3-x_4)
と定めるとき、Ker(φ),φ(v)の基底をそれぞれ1組求めよ。

という問題なのですが、解き方がよく分かりません。
線形変換の基本基底における表現行列などは求められるのですが、それらのやり方とは少し違うような気がしますし・・・
Ker(φ)が0(ゼロ)になるということも分かります。
ぜひとき方教えてください。
ヒントでも十分です。

Aベストアンサー

まずKerを求めるために
φ(x_1,x_2,x_3,x_4)=(0,0,0,0)
とおいてみましょう。
x_1+x_2=x_3+x_4=x_1+x_2+x_3+x_4=x_1+x_2-x_3-x_4=0
がわかりますが、これは
x_1+x_2=x_3+x_4=0
と同値です(後半の式はこれから出る)。
従ってKer(φ)の元は
(a,-a,b,-b)
の形のベクトル全体です。a,bは任意の実数。
従ってKer(φ)の基底を1組あげると
{(1,-1,0,0),(0,0,1,-1)}
となります。これはKer(φ)の任意のベクトルがこの基底の1次結合でかけるという意味です。

次にimage(φ)=φ(R^4)の基底を考えるために、R^4の標準基底{(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)}を線型写像φで写してみます。するとそれぞれ(1,0,1,1),(1,0,1,1),(0,1,1,-1),(0,1,1,-1)になります。φ(R^4)の任意のベクトルはこれらの1次結合でかけますので、(1,0,1,1),(0,1,1,-1)は明らかに1次独立ですからφ(R^4)の基底を1組求めると{(1,0,1,1),(0,1,1,-1)}となります。

ちなみに次元公式からkerとimageの基底の個数(この問題ではそれぞれ2つずつでした)の和は元の空間の次元(この問題ではR^4だから4)になります。

まずKerを求めるために
φ(x_1,x_2,x_3,x_4)=(0,0,0,0)
とおいてみましょう。
x_1+x_2=x_3+x_4=x_1+x_2+x_3+x_4=x_1+x_2-x_3-x_4=0
がわかりますが、これは
x_1+x_2=x_3+x_4=0
と同値です(後半の式はこれから出る)。
従ってKer(φ)の元は
(a,-a,b,-b)
の形のベクトル全体です。a,bは任意の実数。
従ってKer(φ)の基底を1組あげると
{(1,-1,0,0),(0,0,1,-1)}
となります。これはKer(φ)の任意のベクトルがこの基底の1次結合でかけるという意味です。

次にimage(φ)=φ(R^4)の基底を考えるために、R^4の...続きを読む

QKer(核)やIm(像)の意味がわからない。

Aはm×n行列、xはn次ベクトル、bはm次ベクトル
このとき
KerA={x∈Rn|Ax=0}
ImA={Ax∈Rm|x∈Rn}と定義する。
※Rn,Rmのn,mはRの右肩にあります。

この定義のいみがよくわかりません。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

ベクトルxは、
  b=Ax
という対応によって、別のベクトルbにうつされます。
このとき、b=0になるのはどんな場合かを考えてみます。
x=0の場合は、b=0です。
しかし、Aの中身によっては、x≠0なのに、b=0
になる場合があるでしょう?
b=0になるような、xをすべて集めた集合を考え、
その集合をKer(A)と書いているのです。

こんどは、Imのほうですが、bを好き勝手に決めたとして、
 b=Ax
となるような、xがいつでもきめられるでしょうか?
どんなbに対しても、連立一次方程式が問題なく解ける場合
(解が一通りしかない場合)もありますが、解がない場合だって
ありますよね? これも、Aの中身によります。
そこで、xをいろいろ変えてみて、でてくるbを
すべて集めてできた集合を、Im(A)とかきます。

なれないうちは、
Ker(A)は、連立方程式Ax=0の解xの集合、
Im(A)は、Ax=bが解ける場合のbの集合
とでも理解しておけばいかがですか?
本当は、方程式ではなくて、ベクトル空間の概念ですけども。

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という対応によって、別のベクトルbにうつされます。
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x=0の場合は、b=0です。
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になる場合があるでしょう?
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Q偏微分の記号∂の読み方について教えてください。

偏微分の記号∂(partial derivative symbol)にはいろいろな読み方があるようです。
(英語)
curly d, rounded d, curved d, partial, der
正統には∂u/∂x で「partial derivative of u with respect to x」なのかもしれません。
(日本語)
ラウンドディー、ラウンドデルタ、ラウンド、デル、パーシャル、ルンド
MS-IMEはデルで変換します。JIS文字コードでの名前は「デル、ラウンドディー」です。

そこで、次のようなことを教えてください。
(1)分野ごと(数学、物理学、経済学、工学など)の読み方の違い
(2)上記のうち、こんな読み方をするとバカにされる、あるいはキザと思われる読み方
(3)初心者に教えるときのお勧めの読み方
(4)他の読み方、あるいはニックネーム

Aベストアンサー

こんちには。電気・電子工学系です。

(1)
工学系の私は,式の中では「デル」,単独では「ラウンドデルタ」と呼んでいます。あとは地道に「偏微分記号」ですか(^^;
その他「ラウンドディー」「パーシャル」までは聞いたことがあります。この辺りは物理・数学系っぽいですね。
申し訳ありませんが,あとは寡聞にして知りません。

(3)
初心者へのお勧めとは,なかなかに難問ですが,ひと通り教えておいて,式の中では「デル」を読むのが無難かと思います。

(4)
私はちょっと知りません。ごめんなさい。ニックネームは,あったら私も教えて欲しいです。

(2)
専門家に向かって「デル」はちょっと危険な香りがします。
キザになってしまうかどうかは,質問者さんのパーソナリティにかかっているでしょう(^^

*すいません。質問の順番入れ替えました。オチなんで。

では(∂∂)/

Q像と核の基底と次元を求める問題がわかりません。

f(x、y)=(x-2y、2x+y、3x-y)
という問題です。
基本変形をして

|1 -2|   |1 -2|
|2  1 |→ |0  5|
|3 -1|   |0  5|

となりImf=<t(1,2,3)> 次元=1
であってるか分かりませんが、Kerfが分からないので求めてください。

Aベストアンサー

質問文中で、階段化はできていますよね?
これを見れば、表現行列の rank は 2
であることが判ります。

像の次元は、rank と等しいので、2。
行列の列数が 2 で、次元と同じですから、
像の基底は、列を取り出して並べるだけ。
何も考える必要がありません。

核の次元は、行列の行数-rank なので、1。
一次元だから、核の基底は、行列を掛けて零
になる列ベクトルを一つ求めればよく、
それらが一次独立かどうかを気にせず済みます。
単に、連立一次方程式を解くだけです。

Q行列の正定・半正定・負定

行列の正定・半正定・負定について自分なりに調べてみたのですが、
イマイチ良くわかりません。。。
どなたか上手く説明していただけないでしょうか?
過去の質問の回答に

>cを列ベクトル、Aを行列とする。
>(cの転置)Ac>0
>となればAは正定値といいます。
>Aの固有値が全て正であることとも同値です。

とあったのですが、このcの列ベクトルというのは
任意なのでしょうか?
また、半正定は固有値に+と-が交じっていて、
負定は固有値が-のみなのですか?

どなたかお願いしますorz

Aベストアンサー

まず、行列の正定・半正定・負定値性を考えるときは、
行列は対称行列であることを仮定しています。
なので、正確な定義は、

定義 n次正方 "対称" 行列 A が正定値行列であるとは、
『ゼロベクトルではない任意の』n次元(列)ベクトル c に対して、
(cの転置)Ac>0
となることである。

です。

対称行列Aが正定値なら、その固有値はすべて正です。
(cとして固有ベクトルをとってみればよいでしょう。)
逆に、対称行列Aの固有値がすべて正なら、Aは正定値行列です。

ただし、対称行列ではないAの固有値がすべて正だからといって、
(cの転置)Ac>0とは限りません。
例えば、
A =
[ 1 4 ]
[ 0 1 ]
とすると、Aは対称行列ではなく、固有値は1です。
しかし、
(cの転置) = [ 1, -2]
とすると、
(cの転置)Ac = -3 < 0
となってしまいます。(実際に計算して確かめてください。)
なので、行列Aが対称行列であるという条件はとても重要です。

また、半正定値の定義は、上の定義で
『ゼロベクトルではない任意の』 --> 『任意の』
と書き直したものです。
このとき、半正定値行列の固有値はすべて0以上です。(つまり0も許します。)
逆に、対称行列の固有値がすべて0以上なら、その行列は半正定値です。

さらに、負定値の定義は、『ゼロではない任意の』ベクトルcに対して
(cの転置)Ac<0
となることです。
固有値についてはもうわかりますね。

まず、行列の正定・半正定・負定値性を考えるときは、
行列は対称行列であることを仮定しています。
なので、正確な定義は、

定義 n次正方 "対称" 行列 A が正定値行列であるとは、
『ゼロベクトルではない任意の』n次元(列)ベクトル c に対して、
(cの転置)Ac>0
となることである。

です。

対称行列Aが正定値なら、その固有値はすべて正です。
(cとして固有ベクトルをとってみればよいでしょう。)
逆に、対称行列Aの固有値がすべて正なら、Aは正定値行列です。

ただし、対称行列...続きを読む

Q複素解析で、極の位数の求め方

無限積分の値を求めるのに留数定理を使用するので、その際留数を求めることになりますが、
http://www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/12cmplx/100cmp.html
によると、留数を求めるのに極の位数が必要だと書いています。

極は分数関数の分母を0にするような変数の値だと習いましたが、位数の求め方がわかりません。位数はどのようにして求めることができるのでしょうか?

Aベストアンサー

>極は分数関数の分母を0にするような変数の値だと習いましたが、
>位数の求め方がわかりません。
極がaのとき、分母をq(z)とおくと、q(z)を因数分解したとき
(z-a)^m
を因数として持つとき(q(z)=0がm重解を持つとき)
mを位数といいます。
位数mを求めるにはz=aが何重解かを求めればそれがmになります。

Q固有値が複素数のときの固有ベクトルの求め方

固有値が複素数のときの固有ベクトルの求め方

( -7 -5 )
( 13 9 )

の2x2行列で固有値を求めると 1±2i になると思いますが

Av = λv の形で固有ベクトルを求めようとすると

( -8 + 2i ) x - 5 y = 0
13 x + ( 8 + 2i ) y = 0

の形になり、その先を求めることが出来ません。
何度も計算したので最後の2つの式は間違いは無いと思うのですが、
固有値が複素数の時は、Av = λv の方法で計算することは出来ないということでしょうか?
またどのように計算できるのでしょうか?
お知恵をお貸しいただければ幸いです。

Aベストアンサー

固有値は1±iになるかと…

そこから先の計算は普通に実数の時と同じ方法で計算できます.

Q面積分の問題です。

放物面S:z=x^2+y^2、(x^2+y^2<=4)について、
(1)この曲面の表面積
(2)この曲面上でのφ=zの面積分
(3)この曲面上でのベクトル場A=yi-xj+z^2kの面積分
の求め方を教えてください。

Aベストアンサー

(1)
S:{(x,y,z)|z=x^2+y^2≦4}
D:{(x,y)|x^2+y^2≦4}
z=x^2+y^2
z_x=2x, z_y=2y
S1=∬[S] dS
=∬D √{1+(z_x)^2+(z_y)^2} dxdy
=∬D √{1+4x^2+4y^2} dxdy
x=rcosθ, y=rsinθとおくと
z=r^2≦4
0≦r≦2,0≦θ≦2π
D → E:{(r,θ)|0≦r≦2, 0≦θ≦2π}
√{1+4x^2+4y^2} dxdy=√(1+4r^2) rdrdθ
であるから
S1=∬[E} r√(1+4r^2) drdθ
=∫[θ:0→2π] dθ∫[r:0→2] r√(1+4r^2) dr
=2π[(2/3)(1/8)(1+4r^2)^(3/2)][r:0→2]
={17(√17)-1}π/6 ←(答え)

(2)
S:{(x,y,z)|z=x^2+y^2,z≦4}
D:{(x,y)|x^2+y^2≦4}
z=x^2+y^2
z_x=2x, z_y=2y
S2=∬[S] φdS
=∬[D} z√{1+(z_x)^2+(z_y)^2}dxdy
=∬[D] (x^2+y^2)√(1+4x^2+4y^2)dxdy

x=rcosθ, y=rsinθとおけば
(x^2+y^2)√(1+4x^2+4y^2)dxdy
=(r^2)√(1+4r^2) rdrdθ=(r^3)√(1+4r^2)drdθ
D → E:{(r,θ)|0≦r≦2,0≦θ≦2π}
S2=∬[E] (r^3)√(1+4r^2)drdθ
=∫[θ:0→2π] dθ∫[r:0→2](r^3)√(1+4r^2)dr
=2π∫[r:0→2](r^3)√(1+4r^2)dr
=2π[(1/120)(6r^2-1)(1+4r^2)^(3/2)][r:0→2]
=(391(√17)+1)π/60 ←(答え)

(3)
S:{(x,y,z)|z=x^2+y^2,z≦4}
D:{(x,y)|x^2+y^2≦4}
z=x^2+y^2
z_x=2x, z_y=2y

S3=∬[S] A↑・n↑dS
=∬[S] (y,-x,z^2)・(-2x,-2y,1)/√(1+4x^2+4y^2) dS
=∬[D] (-2xy+2xy+x^2+y^2)dxdy
=∬[D] (x^2+y^2)dxdy

x=rcosθ, y=rsinθとおくと
D → E:{r,θ)|0≦r≦2,0≦θ≦2π}
S3=∬[E] (r^2) rdrdθ
=∫[θ:0→2π] dθ∫[r:0→2] (r^3)dr
=2π[(1/4)r^4][r:0→2]
=8π ←(答え)

(1)
S:{(x,y,z)|z=x^2+y^2≦4}
D:{(x,y)|x^2+y^2≦4}
z=x^2+y^2
z_x=2x, z_y=2y
S1=∬[S] dS
=∬D √{1+(z_x)^2+(z_y)^2} dxdy
=∬D √{1+4x^2+4y^2} dxdy
x=rcosθ, y=rsinθとおくと
z=r^2≦4
0≦r≦2,0≦θ≦2π
D → E:{(r,θ)|0≦r≦2, 0≦θ≦2π}
√{1+4x^2+4y^2} dxdy=√(1+4r^2) rdrdθ
であるから
S1=∬[E} r√(1+4r^2) drdθ
=∫[θ:0→2π] dθ∫[r:0→2] r√(1+4r^2) dr
=2π[(2/3)(1/8)(1+4r^2)^(3/2)][r:0→2]
={17(√17)-1}π/6 ←(答え)

(2)
S:{(x,y,z)|z=x^2+y^2,z≦4}
D:{(x,y)|x^2+y^2≦4}
z=x^2+y^2
z_x=2x, z_y=2y
S2=∬[S] φdS
=...続きを読む

Q零ベクトル

「零ベクトルは、すべてのベクトルと垂直」と書いてあるものを見ました。
正しくないような気がするのですが、皆さんのご意見をお聞かせください。

Aベストアンサー

数学においては、「教科書と違うことが書いてあるから正しくない」という考え方は、やめた方が良いです。
これは、なにも、「教科書も間違っていることがある」ということを言いたいのではありません。
「零ベクトルはすべてのベクトルと直交する」という説明があるテキストで、「ふたつのベクトルの内積がゼロの時、ふたつのベクトルは直交する」という定義が書かれていれば、それは間違いではありません。

教科書に、「零ベクトルは除く」という定義が書かれていて、同じ教科書に「零ベクトルはすべてのベクトルと直交する」と書かれていれば、そのときに「正しくない」と言うことになります。

実際、こういう細かい定義の差は、ある程度あるものです。
ですから、「その場所における定義はどうなっているか」「その定義に照らし合わせてその記述は正しいか?」ということが判断基準になります。


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