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留数について

f(z)=1/z^2のz=0における留数がなんで、0になるのか教えてください。

留数=1/2πi∫周回積分f(z)dz
です。
1/z^2の積分は、-1/zですよね?
周回積分は0~2πですよね?
∞に発散してしまうんですが、なにか考え方が間違っているんでしょうか?

A 回答 (1件)

>f(z)=1/z^2のz=0における留数がなんで、0になるのか教えてください。


留数の定義は、f(z)をローラン展開したときのz^(-1)の項の係数です。

f(x) = 1/(z^2)
    = 1/(z^2) +0*(1/z) +0 +0*z +0*z^2 +...
と見ると、z^(-1)の項の係数は0ですね。


>留数=1/2πi∫周回積分f(z)dz
>周回積分は0~2πですよね?
>∞に発散してしまうんですが、なにか考え方が間違っているんでしょうか?

発散しません。
周回積分のところで、
  ∫[0~2π]{f(z)}dz
を計算していませんか?

周回積分の正しい計算は
  ∫[c]{f(z)}dz  (c:|z|=1)
です。

|z|=1より、z=exp(i*t) (0≦t<2π)と書けます。
z=exp(i*t)と変数変換すると、
  dz = i*exp(i*t)*dt
  ∫[c]{f(z)}dz = ∫[0~2π]{f(exp(i*t))*i*exp(i*t)}dt
右辺を計算すると0になります。

周回積分の計算方法を確認してください。
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この回答へのお礼

勉強不足なので全然わかりません。
今後もっと勉強を深めていきたいと思います。
ありがとうございました。

お礼日時:2010/07/30 18:38

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Q複素解析 留数って何ですか?

こんばんは、大学2年生です。現在、複素解析を授業でやっているのですが留数って何ですか?授業中に

f(z)=e二乗/(z-1)(z-2) (z=2)について証明しろと問題が
出されたのですが理解できず困ってます。

アドバイスお願いします。

Aベストアンサー

留数とは
Res[f,a]=1/2πi*∫f(z)dz  …(1)

の積分によって求められる値が留数だ!ってまず覚えてください。
この式は領域D内にある、特異点を含む単一曲線を示していると考えてください。

(z=2)は特異点ですよね?
ローラン展開しないとf(z)は分母が0になっちゃいますよね?
それが特異点なのです。だからz=1も特異点です。
ここでまた大事なのが特異点の極といわれるものです。この式の場合はどっちも(z-1)^1(z-2)^1なのでどっちも1位の極です。
    (z-1)^2(z-2)^1ではz=1では2位、z=2では1位の極となります。極は一般にはk位の極などといいます。
f(z)の特異点における留数を求めたい場合は、f(z)と求めたい特異点の極を求める必要があります。


Res[f,a]=1/2πi*∫f(z)dz  
    =1/(k-1)!*lim(z→a) d^(k-1)/dz^(k-1)[(z-a)^k*f(z)]
に極、f式を代入して簡単に求められます。

Q複素解析で、極の位数の求め方

無限積分の値を求めるのに留数定理を使用するので、その際留数を求めることになりますが、
http://www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/12cmplx/100cmp.html
によると、留数を求めるのに極の位数が必要だと書いています。

極は分数関数の分母を0にするような変数の値だと習いましたが、位数の求め方がわかりません。位数はどのようにして求めることができるのでしょうか?

Aベストアンサー

>極は分数関数の分母を0にするような変数の値だと習いましたが、
>位数の求め方がわかりません。
極がaのとき、分母をq(z)とおくと、q(z)を因数分解したとき
(z-a)^m
を因数として持つとき(q(z)=0がm重解を持つとき)
mを位数といいます。
位数mを求めるにはz=aが何重解かを求めればそれがmになります。

Qexp(1/z)の原点のまわりでローラン展開について質問です。

exp(1/z)の原点のまわりでローラン展開について質問です。
私の見た書籍やwebページでは、exp(z)のマクローリン展開に、zの代わりに1/zを入れて
exp(1/z)=1+1/1!z+1/2!z^2+…
と展開できるという説明がされているんですが、このことで腑に落ちないところがあります。あくまでexp(1/z)のz=0での展開を考えているわけですから、例えば1/z=uとかおいて考えるのならば、z=0に対応するのはu=∞のはずです。だからexp(u)の展開に帰着させたいなら無限遠点の周りの展開を考えなければならない、ということにはならないのでしょうか?疑問に思っているのはここです。
しかしテイラー展開は円板状の領域内で使えるものであって、無限遠点まわりで、というわけにはいきませんよね。それで1/z=uとおき直してみるという作戦は結局上手くいかないのかなぁ、などと悩んでしまって…
どなたかお助けください。

Aベストアンサー

よい点に気づかれたと思います。
ローラン展開といっても、極を中心とする展開ならば、
テイラー展開とあまり変わりがありませんが、
真性特異点を中心とするものは難しいことが多く、
関数によっては、どうやって展開したらよいか
解らないこともあります。

今回の問題で exp u のマクローリン展開に
u = 1/z を代入してよい理由は、
exp のマクローリン展開が収束半径 ∞ を持つからで、
そのために、z がどれだけ 0 に近づいても
exp u の級数表示が意味を持っているからです。

Qテイラー展開とローラン展開

テイラー展開とローラン展開の問題の解き方がよく分かりません。どちらにもマクローリン展開を用いるようなのですが・・・。例えば、z=-iを中心に関数f(z)=1/zをテイラー展開及びローラン展開するにはどうすれば良いのでしょうか?式をできるだけ詳しく説明して頂けると助かります。

Aベストアンサー

遅くなったかもしれませんが、補足の説明です。

>z=aにおいて正則な関数f(z)についてはテイラー展開という考え方でいいのでしょうか?

先に点z=aを考えるのではなく、領域から考えたほうがよいのでは?
関数f(z)がどの領域(z平面や与えらている領域D)で正則なのかという風に・・・。

>関数f(x)がz=aで極もしくは真性特異点をもつ場合にはローラン展開、という考え方でいいのでしょうか?

除去可能な孤立特異点、(p位の)極、孤立真性特異点はローラン展開した後で判別するものですから、ローラン展開も領域を意識したほうがいいと思います。
例えば、環状領域は0<|z|<+∞、0<|z-1|<1などと表されます。

>また、ローラン展開をする際は必ずマクローリン展開(u=z-aとおく等してz=0でテイラー展開)を用いるのでしょうか?

必ずしもそうとは言えません。与えられた関数によるでしょう。
例として

f(z)={(z^2)-1}/{(z+1)(2z-1)}の0<|z-(1/2)|<(1/2)
でのローラン展開を求めると、
f(z)=(z-1)/(2z-1)=(1/2)*{1-1/(2z-1)}=(1/2)-(1/4)*{1/(z-1/2)}
従って、f(z)=(1/2)-(1/4)*(z-(1/2))^(-1)

というように、テイラー展開を用いなくてもローラン展開が出来るものもあります。
(途中の計算は確認してください。)

また、領域を意識する必要性は#1のローラン展開の例で領域を0<|z-1|<1
に変えると当然一意性があるので違ったローラン展開になります。(g(z)=-1/zとおいて計算する。)

自分の授業の話ですが複素解析学ではマクローリン展開と言わなかったような気がします。(教授の好みかもしれません。)

それでは頑張って下さい。

遅くなったかもしれませんが、補足の説明です。

>z=aにおいて正則な関数f(z)についてはテイラー展開という考え方でいいのでしょうか?

先に点z=aを考えるのではなく、領域から考えたほうがよいのでは?
関数f(z)がどの領域(z平面や与えらている領域D)で正則なのかという風に・・・。

>関数f(x)がz=aで極もしくは真性特異点をもつ場合にはローラン展開、という考え方でいいのでしょうか?

除去可能な孤立特異点、(p位の)極、孤立真性特異点はローラン展開した後で判別するものですから、ロ...続きを読む

Q留数定理の問題です!!

∫(0→∞]1/(x^2+1)^3 dx という問題なのですが、どんな本にもこのような形のものがなく、どのような答えになるかわかりません。
よろしかったらどなたか解法を教えてください。

Aベストアンサー

No.1 です。
「なぜ留数定理なのかわからない」と書いたのは、「どんな本にもこのような形のものがなく」と言われるので、実積分ではできないか特殊なものと思われているのだろうと考えたためです。留数を使って解くなら教科書に載っている複素積分の例題演習程度の易しい問題なので、お答えするならこれも実は難しくない部類の実積分を示そうと考えたわけです。回答としては片手落ちの形ですね。
ご質問としては丸投げの形と取られるかもしれないので削除される可能性がありますから、以下の補足が役に立つならセーブされることをお勧めします。

留数を用いる解法については、すでに他の方々が回答されているので概略だけを示せば、
被積分関数は偶関数なので、x を複素数、積分範囲を-∞~∞に拡張し、上半平面に x=i で3位の極を持つのでそれを囲むように、実軸と原点を中心とする上半平面の半円をとって半径→∞の極限を取れば、積分は結局 x=i での留数(の2πi倍)(積分範囲を拡張したのでさらに1/2倍)になります。留数は lim[x→i] [ (d^3/dx^3){ (x-i)^3/((x+i)(x-i))^3 } ]。

一般に多項式有理関数 f(x)=Q(x)/P(x) (P、Qは多項式)の実積分は初等関数で表すことができます。それには部分分数展開して分子を1次以下、分母を2次以下にしますが、そのためには分母の零点を求めて因数分解する必要があります。
複素積分でも極を定めるために分母の多項式の零点を求める必要があり、留数を求めるためには極の位数に従って微分するか、部分分数展開するので、ほとんど同じことをやる手間が必要です。
いずれでやるにせよ、多項式の零点は5次以上になると一般には(特殊な場合を除いて)代数的に求める事ができないことに注意して下さい。4次までなら代数的解の公式があります。

さて、実解析の場合ですが、上記のような多項式有理関数を部分分数展開できたならば、もっとも次数の高い項は (ax+b)/(x^2+2px+q)^n (p^2-q<0、n≧1)の形になります。これを平方完成して t=x+p と変数変換すると、結局 t/(t^2+a^2)^n と 1/(t^2+a^2)^n の形の積分の和に帰着します。

最初のものはt^2+a^2 = u と変換すれば簡単です。
次のものは、
I[n] = ∫dt/(t^2+a^2)^n (n≧1)
とおいて漸化式を求めます。ここで、
I[1] = ∫dt/(t^2+a^2) = (1/a)tan^(-1)(t/a)
は、t = a tanθ と変換するお馴染みの積分です。

n≧2 に対して、I[n-1] に部分積分を施せば、
(d/dt)(t^2+a^2)^(-(n-1)) = -2(n-1)t(t^2+a^2)^(-n)
を利用して、
I[n-1] = x/(x^2+a^2)^(n-1) + 2(n-1)I[n-1] - 2a^2(n-1)I[n]
ゆえに、
I[n≧2] = ( 1/(2a^2(n-1)) ) ( (2n-3)I[n-1] + x/(x^2+a^2)^(n-1) )

これから 1/(x^2+1)^3 の積分が求められます。部分積分は留数を求めるための微分より大変そうに見えますが、形は簡単なので慣れているかどうかだけですね。実はこれは大学4年以下の理系の実解析学で学ぶはずのものです。

No.1 です。
「なぜ留数定理なのかわからない」と書いたのは、「どんな本にもこのような形のものがなく」と言われるので、実積分ではできないか特殊なものと思われているのだろうと考えたためです。留数を使って解くなら教科書に載っている複素積分の例題演習程度の易しい問題なので、お答えするならこれも実は難しくない部類の実積分を示そうと考えたわけです。回答としては片手落ちの形ですね。
ご質問としては丸投げの形と取られるかもしれないので削除される可能性がありますから、以下の補足が役に立つなら...続きを読む

Q集積点が、まったく分かりません!!

集積点の意味がまったくわかりません。詳しく教えてください。

Aベストアンサー

MANIFESTさんがどのくらいの予備知識をお持ちなのかわからないので
答えにくいのですが、
集積点について質問されると言うことは少なくとも位相空間についての基本的な
用語くらいはご存知だと仮定して説明します。
距離空間はご存知でしょうね。

Xをある位相空間、AをXのある部分集合とします。
x∈XがAの集積点であるとは
xの任意の近傍とAの共通部分にx以外のAの点が少なくとも1つは含まれる
ような点のことです。
Xが距離空間なら、これは
「任意のεに対してxからの距離がε以下であるようなx以外のAの要素が存在するような点」
と言い替えられます。

直観的な言い方をすれば、x∈XがAの集積点であるとは
「xのどんな近くにも(x以外の)Aの点がある」
と言う条件をみたすような点のことです。

ついでに集積点との対比で孤立点も覚えてしまいましょう。
集積点とはある意味で対照的なものが孤立点です。
すなわちx∈XがAの孤立点であるとは
xがAの要素であり  …(S1)
かつxのある近傍とAの共通部分にx以外のAの点が含まれない。…(S2)
ような点のことです。
Xが距離空間なら、これは
「あるεに対してxからの距離がε以下であるようなAの要素はxだけであるような点」
となります。

注意していただきたいのはx∈AであることはxがAの集積点であるためには
必要でも十分でもないということです。
xがAの点であってもそれが孤立点ならxは集積点ではないし、Aの点でないような
Aの集積点も存在します。
しかし孤立点と言う概念は集合Aの要素に対して与えられる概念ですから、Aに
属さない点が(S2)の条件だけ満たしてもそれをAの孤立点とは呼びません。

あとは距離空間(ユークリッド空間)での簡単な例を挙げておきますのでイメージをつかんで下さい

例(1)Xを2次元ユークリッド空間として
A={(x,y)∈X| x^2 + y^2 < 1} ∪ (2.0)
とします。つまりAは原点中心半径1の開円盤と点(2,0)の和集合です。
するとAの集積点(の集合)は
{(x,y)∈X| x^2 + y^2 ≦ 1}
すなわち原点中心半径1の開円盤とその境界となります。
点(2,0)は孤立点なので集積点ではありません。

例(2)Xを2次元ユークリッド空間として
A={(x,y)∈X| y = sin(1/x) ,x∈(0,∞) }
とします。Aの集積点(の集合)はA自身と集合
B={(0,y)∈X| y∈[-1,1] }
の和集合です。

例(3)Xを1次元ユークリッド空間として
A= { 1/n | n=1,2,…}
とします。原点{0}はAの集積点です。しかしA自身の点はすべて孤立点です。

例(4)Xを1次元ユークリッド空間として
Aは開区間(0,1)の有理点。すなわち
A= { x∈(0,1)|xは有理数 }
とします。Aの集積点(の集合)は閉区間[0,1]です。

MANIFESTさんがどのくらいの予備知識をお持ちなのかわからないので
答えにくいのですが、
集積点について質問されると言うことは少なくとも位相空間についての基本的な
用語くらいはご存知だと仮定して説明します。
距離空間はご存知でしょうね。

Xをある位相空間、AをXのある部分集合とします。
x∈XがAの集積点であるとは
xの任意の近傍とAの共通部分にx以外のAの点が少なくとも1つは含まれる
ような点のことです。
Xが距離空間なら、これは
「任意のεに対してxからの距離がε以下であるよう...続きを読む

Q【応用解析】特異点 留数 位数について

特異点、留数、位数の求め方(考え方)を教えてください。
例えば
f(z)=1/(z*sinz)
についてその3つの解説お願い特異点、留数、位数の求め方を教えてください。
自分で考えたのは
特異点はz=0,sinz=0→z=nπ(nは整数)(これもあやふや)
位数はz=0は一次なので1位、sinz=nπはよく分からない
留数は1位とk位(k≧2)の場合の公式があるのでそこに入れるらしい(あやふや)
こんな感じです。
宜しくお願いします。

Aベストアンサー

特異点・留数・極の定義からもう一度見直しましょう。そうすればわかるはずです。

こちらの関数
f(z)=1/(z*sinz)
についてですが、分母零点が特異点になるのはおわかりのようですので、大体いいと思います。しかしこれは複素関数なので、
sinz = 0 (zは複素数)
を解くときに、nπ(nは整数)以外の零点が存在しないことを確認しなければなりません。オイラーの公式を使って、sinzを指数関数で表記すればできます。

極におけるその位数とは、特異点で複素関数をローラン展開したとき、その展開がマイナス何乗の項まで存在するか、ということです。位数が無限大になる「真性特異点」というものもあります。
したがって、この関数はz=0においては1位の極ではありません。もういちどよく考えてください。

留数とは、特異点のローラン展開におけるマイナス1乗の係数のことです。求めたい留数においてそれが何位の極なのかがわかれば、その計算方法も考えればわかるはずです。
留数がわかれば複素積分に応用できるので、留数は複素関数において重要な考えの一つです。

特異点・留数・極の定義からもう一度見直しましょう。そうすればわかるはずです。

こちらの関数
f(z)=1/(z*sinz)
についてですが、分母零点が特異点になるのはおわかりのようですので、大体いいと思います。しかしこれは複素関数なので、
sinz = 0 (zは複素数)
を解くときに、nπ(nは整数)以外の零点が存在しないことを確認しなければなりません。オイラーの公式を使って、sinzを指数関数で表記すればできます。

極におけるその位数とは、特異点で複素関数をローラン展開したとき、...続きを読む

Q留数定理が分かりません

留数定理を使って∫(cos(x))^(2n)dx 積分範囲は0から2π、nは正の整数を解けという問題です。cos(x)=(1/2)(z+1/Z)と置いてやろうと思いましたが、お手上げです。どなたか詳しい方教えてください。宜しくお願いします。

Aベストアンサー

そんな感じでいいですよ。
z=e^(ix)
と置けば、xは0から2πまで動くので、zは原点を中心とする単位円上を反時計回りに一周します。そのときの被積分関数は、dx=dz/izを忘れずに計算すれば
(1/2)^(2n) * (z+1/z)^(2n) * 1/iz
になっています。
この関数の積分路内の極はz=0だけです。
よってz=0での留数を求めるわけですが、留数は1/zの係数になっていますので上の被積分関数から実際に計算してみましょう。

Q複素関数のローラン展開

次のローラン展開の問題の解き方が分かりません。
複素関数f(z)=(1-cosz)/z^2をz=0を中心にローラン展開せよ
という問題です。
問題の途中経過まで書いてあると助かります。
どなたかお願いします。

Aベストアンサー

#1さんのやり方で良いですが、やって見ましたか?

まさかテーラー展開とかマクローリン展開が分からないとかないですよね?

通常、ローラン展開の公式等については例題があまり載っていないですが、それはテーラー展開とかマクローリン展開から簡単に導けるからです。つまり今回の
f(z)=(1-cosz)/z^2をz=0を中心にローラン展開する場合だと
分母を払った(掛けた)
(z^2)f(z)=1-cos(z)=g(z)
このg(x)のマクローリン展開、つまりx=0を中心とするテーラー展開を求めてやれば
いいです。
g(x)=1-cos(x)のマクローリン展開(x=0におけるテーラー展開)はどこにも載っているかと思います(cos(x)のマクローリン展開は参考URL参照)。
g(x)=1-Σ[n=0,∞] {((-1)^n)/(2n)!}x^(2n)
=-Σ[n=1,∞] {((-1)^n)/(2n)!}x^(2n) (|x|<∞)
このxをzに変更してz^2で割ってやれば
f(z)=g(z)/z^2=-(1/z^2)Σ[n=1,∞] {((-1)^n)/(2n)!}z^(2n)
=-Σ[n=1,∞] {((-1)^(n-1))/(2n)!}z^(2n-2)

参考URL
http://assam.iic.hokudai.ac.jp/~josch/workshop/math/Maclaurin/Maclaurin1.htm
http://www4.airnet.ne.jp/tmt/eiroad/eiroad08.pdf
http://www.u-gakugei.ac.jp/~nitta/taylor.pdf

参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%86%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%BC%E5%B1%95%E9%96%8B

#1さんのやり方で良いですが、やって見ましたか?

まさかテーラー展開とかマクローリン展開が分からないとかないですよね?

通常、ローラン展開の公式等については例題があまり載っていないですが、それはテーラー展開とかマクローリン展開から簡単に導けるからです。つまり今回の
f(z)=(1-cosz)/z^2をz=0を中心にローラン展開する場合だと
分母を払った(掛けた)
(z^2)f(z)=1-cos(z)=g(z)
このg(x)のマクローリン展開、つまりx=0を中心とするテーラー展開を求めてやれば
いいです。
g(x)=1-cos(x)のマクローリ...続きを読む

Q1/sinz

∫1/sinz dz (c: |z|=1)を留数定理を用いて解く問題なのですが。
極はz=0で答えは2πiとなっております。

まずやりかたもよくわからないのですが、極にz=nπが入らない理由もわかりません。
ぜひ教えていただきたいです。

Aベストアンサー

>まずやりかたもよくわからないのですが、

ttp://coral.t.u-tokyo.ac.jp/fujiwara/Mathematics-2/Ch5.pdf
をご覧になって勉強してください。

>極にz=nπが入らない理由もわかりません。

積分経路Cは|z|=1より原点を中心とする半径1の円周なので
1/sin(z)の極z=nπの内、この中に入る積分路Cの中に含まれる極(特異点)はz=0だけだからです。複素積分の

z=0における留数は
Res(0)=lim[z→0]z/sin(z)=1
なので、留数定理より
∮_c 1/sin(z) dz=2πi*Res(0)=2πi
と求まります。

参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/留数


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