オイラーの公式 ｅ＾ＪＫＸ＝ｃｏｓＫＸ+ＪｓｉｎＫＸを利用して次の問い

オイラーの公式 ｅ＾ＪＫＸ＝ｃｏｓＫＸ+ＪｓｉｎＫＸを利用して次の問いに答えなさい。

問「cos3Ｘ+ｃｏｓ２ＸをｓｉｎＸ、ｃｏｓＸの関数で表しなさい」という問題があります。

答えは３ｃｏｓ＾２ＸｓｉｎＸ-ｓｉｎ＾３Ｘ+ｃｏｓ＾２Ｘ-ｓｉｎ＾２Ｘです。

なのですが、どうやってこの答えに辿りつくのかわからないです。

途中の計算式とできればちょっとした解説も交えて教えてください。

No.5 ベストアンサー 回答者： alice_44 回答日時： 2010/10/15 22:14

みんな、オイラー等式が好きだねえ。

複素 exp の全体像が凡そ解って使うのならよいのだけれど、
複素関数論抜きで、どこかで読んだ公式として使うのなら、
あまり感心しない気もする。

高校範囲の、実三角関数だけを使った解も書いとく。

加法定理より、
cos(2x) = cos(x+x) = (cos x)(cos x) - (sin x)(sin x).
sin(2x) = sin(x+x) = (sin x)(cos x) + (cos x)(sin x).
cos(3x) = cos(2x+x) = (cos 2x)(cos x) - (sin 2x)(sin x)
　　　　= { (cos x)^2 - (sin x)^2 }(cos x) - { 2(sin x)(cos x) }(sin x).
倍角公式と三倍角公式が既知であれば、これを導く手間さえ無い。

あとは、cos(3x) + cos(2x) へ上記を代入すれば終わり。
できた cos x と sin x の式を、整理したければ整理してもよいし。

No.4 回答者： drmuraberg 回答日時： 2010/10/14 18:44

オイラーの公式

cos3x=(ｅ^i3x＋e^(-i3x))/2
cos2x=(ｅ^i2x＋e^(-i2x))/2
を最大限活かすと

2(cos3x+cos2x)
={exp(i3x)+exp(-i3x)} + {exp(i2x)+exp(-i2x)}
={exp(ix)+exp(-ix)}^3 + {exp(ix)+exp(-ix)}^2
- 3exp(2ix)exp(-ix) - 3exp(ix)exp(-2ix) - 2exp(ix)exp(-ix)
=2^3*(cosx)3 + 2^2(cosx)^2 -3(exp(ix) + exp(-ix)) - 2
=8cos^3x + 4cos^2x -6cox -2

したがって
cos3x+cos2x = 4cos^3x + 2cos^2x -3cox -1

という簡単な形に成ります。

No.2の回答は
sin^2x = 1 - cos^2x と置けば上の式に還元されます。

質問者が回答として挙げている式
3cos^2xsinx - sin^3cos^2x -sin^2x は　cos^2x = 1 - sin^2x
とおくと
= 1 + 3sinx - 2sin^2x - 4sin^3x
となります。

問題の趣旨はオイラーの公式を活用することでしょうが、
答えは間違っているか中途半端です。

No.3 回答者： noname#121794 回答日時： 2010/10/14 08:23

なんで虚数がJって書くのか分からないが、

cos3x=(ｅ^i3x＋e^(-i3x))/2

cos2x=(ｅ^i2x＋e^(-i2x))/2
で分かる？

No.2 回答者： Mr_Holland 回答日時： 2010/10/14 01:14

　cos3Ｘ+cos2Ｘは　３ｃｏｓ＾２ＸｓｉｎＸ-ｓｉｎ＾３Ｘ+ｃｏｓ＾２Ｘ-ｓｉｎ＾２Ｘ　にならないと思います。

　問題か解答に誤りはありませんか？

cos3X+cos2X
={exp(i3x)+exp(-j3x)}/2 + {exp(i2x)+exp(-j2x)}/2
=(1/2) {(cosX+jsinX)^3+(cosX-jsinX)^3 +(cosX+jsinX)^2+{(cosX-jsinX)^2}
=(1/2) {(cosX)^3-3cosX(sinX)^2+(cosX)^2-(sinX)^2}

　ちなみに、この式はcosの倍角・3倍角の公式からも簡単に導かれます。

　なお、答えが　３ｃｏｓ＾２ＸｓｉｎＸ-ｓｉｎ＾３Ｘ+ｃｏｓ＾２Ｘ-ｓｉｎ＾２Ｘ　となるのは　問題が　sin3X+cos2X のときだと思います。

No.1 回答者： alice_44 回答日時： 2010/10/14 00:58

その問題を解くのに必要なのは、単なる n 倍角公式です。

n が大きくなると不案内かもしれませんが、その際は、
加法定理を繰り返し使って、n 倍角公式を自作すればよい。
高校教程の範囲で、十分できることです。

オイラーの等式と二項定理を使っても、n 倍角公式を作る
ことができますが、複素指数関数を使うことになるので、
背景知識は遥かに複雑になります。簡単なことは簡単に！