複素数の積分

次の積分を求めよ。積分路は、下端と上端を結ぶ線分とする。
(1) ∫(e^(iz)) dz （z＝0～π/2）
(2) ∫cosz dz （z＝0～π+i )
(3) ∫z / (z+1) dz (z＝0～1+i )

No.3 ベストアンサー 回答者： alice_44 回答日時： 2010/12/09 23:53

何を迂遠な。

∫(e^(iz))dz = (1/i)e^(iz) + (積分定数)
より、
∫[z=0～π/2](e^(iz))dz = (1/i)e^(iπ/2) - (1/i)e^0　　←ここまでで止めてもよい。
= (1/i)i - (1/i)1
= 1 + i。

∫(cos z)dz = (sin z) + (積分定数)
より、
∫[z=0～π+i](cos z)dz = sin(π+i) - sin(0)　　←ここまでで止めてもよい。
= { e^i(π+i) - e^-i(π+i) }/(2i) - 0
= { e^(iπ)e^(-1) - e^(-iπ)e^1 }・(-i/2)
= { (-1)(1/e) - (-1)e }・(-i/2)
= { (1/e) - e }・(i/2)

∫[z=0～1+i] { z/(z+1) }dz
= ∫[z=0～1+i] { 1 - 1/(z+1) }dz
= ∫[z=0～1+i] dz - ∫[z=0～1+i] dz/(z+1)
= [ z ]_(z=0～1+i) - [ log(z+1) ]_(z=0～1+i)
= { (1+i) - 0 } - { log(2+i) - log(1) }
= 1 + i - log(2+i)　　←この log の枝選択に、先述の考察が要る。

No.2 回答者： info22_ 回答日時： 2010/12/09 23:13

(1)

z=x
e^(iz)=cos(x)+isin(x)
I=∫[0,π/2]cos(x)dx+i∫[0,π/2]sin(x)dx
=sin(π/2)-sin(0)-i(cos(π/2)-cos(0))
=1+i

(2)
z=x+iy
cos(z)=cos(x+iy)=cos(x)cosh(y)-isin(x)sinh(y)
I=∫[0,π]cos(z)dz+∫[π,π+i]cos(z)dz
=∫[0,π]cos(x)dx-i∫[0,1]cosh(y)dy
=0-isinh(1)
=-i(e-(1/e))/2

(3)
I=∫[0,1] x/(x+1)dx+i∫[0,1] (1+iy)/(2+iy)dy
=∫[0,1] (1-1/(x+1))dx+i∫[0,1] (2+y^2+iy)/(4+y^2)dy
=1-ln(2)-∫[0,1]y/(y^2+4)dy+i∫[0,1](1-(2/(y^2+4)))dy
=1-ln(2)-(1/2)(ln(5)-2ln(2))+i(1-tan^-1(1/2))
=1-(1/2)ln(5)+i(1-tan^-1(1/2))

◆自分で計算して合っているかチェックしてみて下さい。

参考URL：http://www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/12cmplx/050 …

No.1 回答者： alice_44 回答日時： 2010/12/09 22:11

(1)(2)は、被積分関数が整関数だから、

不定積分して、両端での値の差を求めるだけ。
どちらも、不定積分がよく知られた関数だし。

(3)は、= ∫{ 1 - 1/(z+1) }dz と分解すればよい。
∫{ 1/(z+1) }dz の部分を計算するときに、
積分路を考慮して log(z+1) の枝を選ぶ必要が生じる。
複素平面を、実軸正部分で切開しておけば十分と思う。

やり方は書いたから、計算は自分でね。