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社会人になってから問題を解いてますが、回答 解説がなく困ってます。
y=x^2+(k-2)x+k^2のグラフを考える。
1.このグラフの頂点が第一象限内にある時のkの範囲を示しなさい。
2.このグラフがx軸およびy=2x-5と接するときのkの値を求めなさい。
3.このグラフが2点A,Bでx軸と交わるとき、線分ABの長さが2以上になる場合のkの範囲を求めなさい。
*自己回答*
y=ax^2+bx+cにおいて D=b^2-4ac とする。
また、頂点は(-b/2a,-b^2-4ac/4a)
1.D<0より-2<k<2/3
頂点は共に0以上よりk<2,k<-2 2/3<k
この連立が真逆になってしまいます。計算間違いでしょうか?考え方が間違ってるのでしょうか?
2.D=0より k=2/3,-2
3.D>0より k<-2,2/3<k
B-A>=2より k<=-4,k>=0
二つを合わせ k<=-4,2/3<k
どなたか よろしくお願いしますm(_ _)m
No.3
- 回答日時:
問題の3について、いい加減な回答をしている者がいるので、正解を書いておく。
y=x^2+(k-2)x+k^2とy=0 (x軸)とが異なる2点で交わるから、連立したxの方程式:x^2+(k-2)x+k^2=0が 2つの異なる解 α、β(α>β)を持ち、条件から α-β≧2である。
よって、判別式>0 (実は、これは結果として不要なんだが)、α-β≧2 → (α-β)^2=(α+β)^2-4αβ≧4.‥‥(1)
これに、解と係数から α+β=2-k、αβ=k^2 を代入すると (2次不等式くらいは 解けるだろう)
-4/3≦k≦0 となる。
判別式=(α+β)^2-4αβ>0は (1)から保証されているから、不要になる。
この回答への補足
解答ありがとうございます。
また少し質問なのですが、[α+β=2-k] [αβ=k^2]となるのが分かりません(*_*)
とても初歩的なんだとは思いますが、教えて下さいm(_ _)m
No.1
- 回答日時:
> y=ax^2+bx+c において D=b^2-4ac とする。
> また、頂点は ( -b/2a, -b^2-4ac/4a )
この部分が、話をずいぶん解り難くしている。
a, b, c とか、ワザワザ置き換えないほうがよい。
(あと、分数の書き方もちょっと変だし、
計算の内容自体も少し間違っている。)
y=x^2+(k-2)x+k^2 のまま平方完成して、
頂点を ( -(k-2)/2, -{(k-2)^2-4k^2}/4 ) と求めたほうがよい。
1. 正しく「D<0 より -2<k<2/3」としておきながら、
後で「k<-2, 2/3<k」と逆にしてしまった理由が書かれていない。
貴方が何を考えて余計なことをしてしまったのか解らない。
質問文中のように頂点の y 座標の条件から -2<k<2/3 とし、
頂点の x 座標の条件から出る k<2 と併せて
答えを「k<2 かつ -2<k<2/3」とすればよい。
条件を整理して結局「-2<k<2/3」だけになるが。
2. それだけでは、グラフが x 軸と接する条件しか使っていない。
求まった k=2/3, k=-2 の各々について、
y=2x-5 と接するかどうか調べる必要がある。
3. 方針はそれでよいが、「B-A>=2 より k<=-4, k>=0」となる理由
を書くことを要求されている問題だと思われる。
この回答への補足
早速の回答ありがとうございます。
PC上での表現が不慣れで申し訳ありません。
1.頂点のy座標3/4k^2+k-1は第一象限内なので0以上となり、それを解くとk<-2,2/3<kとなってしまったのですが どこで間違ってしまったのでしょう?
2.k=2/3,-2 をy=2x-5と接するかどうか どう確かめたらいいですか?
k=2/3の時
[y=(x-2/3)^2]となり[(x-2/3)^2=2x-5]を解くと[(x-5/3)^2+25/9=0]
交点のx座標は5/3
k=-2の時
[y=(x-2)^2]となり[(x-2)^2=2x-5]を解くと[(x-3)^2=0]
交点のx座標は3
このような式は出てきたのですが、最終的にどうしたらいいのか分かりません。
初歩的な感じだと思うのですが、ブランクがだいぶあり困ってます。 よろしくお願いします。
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