最速下降線での線上の速度について

高低差の違う二点が曲線で結ばれていて、その線上を物体が滑り落ちるときに最も所要時間が少ないのはどんな曲線かという問題で、物体の速度は√（2gx） 「xは物体が落ちた距離」であらわされます。確かに位置エネルギーと運動エネルギーの保存則からこの値は導き出せました。しかしこれは物体の鉛直下向きの速度だと思うのですが、これをそのまま曲線上の速度としてもいいものなんでしょうか？
なにぶん高校で物理を取っていなかったもので、もしかしたら基本的な事が抜けているのかも知れませんが、よろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： noname#137826 回答日時： 2011/02/03 21:06

x は曲線にそっての移動距離ではなく、滑り落ちたことによる高さの差ですよね？

その場合、√（2gx）は、鉛直下向きの速度ではなく、速さ(あるいは、速度の絶対値)です。

運動エネルギー mv^2/2 の v は、物体の速度であり、速度の鉛直下向き成分ではありません。したがって、エネルギー保存則 mv^2/2 = mgx から求められる |v| = √（2gx） は物体の速さ(速度の絶対値)です。

物体は曲線に沿って滑り落ちているのですから、速度は曲線に沿って(接線方向)います。ですから、上で求めた速さは曲線に沿った速度(の絶対値)になっています。

この回答へのお礼

ありがとうございます。確かにおっしゃるとおりですね。もしも、仮に今回もとまった速度が鉛直下向きの成分だとしたら、水平方向の運動も当然あるわけで、それも合わせたら、運動エネルギーが位置エネルギーからの変換分より多くなってしまいますね(^^;)

お礼日時：2011/02/07 23:40

No.2 回答者： ddtddtddt 回答日時： 2011/02/05 12:56

　一番地道にやろうとしたら、最速降下線に束縛された運動方程式を解く事だ、というのは想像できると思います。

で、それが、嫌になるくらい面倒で複雑な手順になるであろう事も、想像できると思います。

　これは歴史ある問題なので、こういう場合大抵は、過去の研究によりショートカットが用意されています。運動方程式に関する代表的な保存則は、3つあります。

　　(1)力学的エネルギー保存則．
　　(2)運動量保存則．
　　(3)角運動量保存則．

　これらは俗に、微分方程式である運動方程式の「積分」と言われ、計算技術的には計算手順を省略する、ショートカットです。ただしショートカットなので、適用条件も決まっています。

　今の場合は(1)で、適用条件は、「作用力は保存力で摩擦などが無い」です。保存力とは物体の位置のみで決まる力で、今の場合の重力は、高さ（場所，位置）によらず一定なので、保存力の一番簡単な場合です。摩擦などが無いは、「線上を物体が滑り落ち」、滑るだけなので「摩擦無し」です。

　という訳で、(1)を適用可能です。速度の方向は#1さんの仰るように、最速降下線に沿った方向です。こういう速度などにも適用可能なのが、(1)～(3)の便利さです。

この回答へのお礼

ありがとうございます。もとの問題文にあったなめらかな曲線というのは、摩擦が無いという宣言だったんですね。

お礼日時：2011/02/07 23:43