CDのサンプリング周波数44.1kHzは、どのような経緯で決まったのでしょうか?
PCの世界は2進数が多いので、44,100Hzという中途半端な数値に決まったのはなぜか気になります。

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A 回答 (4件)

いろんな説がありますが、私の知っているのを一つ挙げます。



CDが出てくるちょっと前の話です。
デジタル音楽(PCM)というものが世の中に出始めたのは'70年代ですが
この時、サンプリング周波数をいくつにすべきなのかは、
人の聴覚的な感覚に左右されるので、工学的や数学的には決められませんでした。

欧州ではサウンドマイスターなどがブラインドテストなどを通じて32kHzを主張していました。
そしてとりあえずこの値を叩き台としました。
さて、実際にアナログ音をA/Dコンバータにかけデジタルデータを作成したとして
何に記録したらよいでしょう。

当時それほどの高密度データ記録を行え、かつ容易に入手可能な機械の代表は
ヘリカルスキャンを採用したビデオデッキでした(高価でしたが)
そこでソニーは自社製のUマチックに記録する事にしたのです。
Uマチックとは'70年頃に登場したソニーのビデオテープレコーダです。

このUマチックに、映像の代わりにデジタルデータを記録するのですが
ご存知の通り、ビデオデッキはリニアに記録しているのではなく
磁気テープ上に、細い線状の領域を斜めに数多く並べ、
1本の細い線に1フレーム(1画面)のデータを記録しています。
従って、この細い線が物理的に記録する最小単位になります。

では、この細い1フレーム分を記録する領域に、
何サンプルのデジタル音楽データが記録出来るのでしょうか?
ビデオデッキの水平周波数は15750Hz(30*525)です。
ヘリカルスキャンは回転ヘッドの切り替えタイミングが垂直同期信号付近にあるので
安定動作のため、適当なマージンをとってこの部分に記録するのを避けています。
数値的には垂直ブランキング付近の上下を総数35本を避けています。
35本にしたのは、(525/15)で割り切れる数だったからそうです。
つまり全体の1/15をマージンとしていたという事で
525-35=490ラインにデジタルデータが記録出来る事になります。
細い1フレーム分を記録する領域に
1サンプルを記録すると仮定すると(490/525)*15750*1=14700
2サンプルを記録すると仮定すると(490/525)*15750*2=29400
となり、2サンプル以下では欧州の要求した32kHzを下回ります。
そこで3サンプルを記録する事にして(490/525)*15750*3=44100
から44.1kHzが生まれました。
そしてそのサンプリング周波数を採用したPCMレコーダが、
記録手段としてビデオデッキを流用する事を前提に
アタッチメントという形で発売されました。

ちなみに同時期に日本コロンビアが発売したPCMレコーダは、
上記のマージン領域も全て記録用にしていまししたので
(525/525)*15750*3=47250
という、これまた中途半端なサンプリング周波数になっています。
ソニー=44100Hz、日本コロンビア=47250Hz ですね。
ソニーは44100Hzのデコーダを量産しましたので、提唱したCDの規格もそのようにしました。

もし仮にCD規格が日本コロンビアから出ていたとしたら、CDのサンプリング周波数は
47.25kHzになっていたかもしれませんね。

その後、DATの時代になり、当時32kHzを主張していた欧州に配慮して
48kHz/32kHzを策定しました。48kHzは32kHzからの変換が容易なためです。

余談ですが、もう一つの代表的な中途半端規格数である
カラーTVの29.97frameですが、途中を省略しますが
4500000/286/525=29.97・・・
からきています。
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この回答へのお礼

ありがとうございました。
全てはビデオデッキが生んだ規格ということでしょうか?

お礼日時:2011/02/24 19:04

サンプリング定理というものがありますが、


その定理では、
信号の周波数の最大に対して2倍以上の周波数の信号でなければ、
サンプリングすることができないということです。

44.1kHzの値に関しては、色々と言われ方がされておりますが、
ベートーベンの9番をCD化するときに、その機器の都合上、44.1にした。
ということらしいです。
しかも、そうすることで、容量に関して都合が良かったということでした。
さらに、人間の可聴域帯をギリギリサンプリングすることができる周波数でした。
まぁ、偶然でしょうな。
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この回答へのお礼

ありがとうございました。お礼が遅れてすみませんでした。

結局、当時の制約に合わせた仕様だったのでしょうか?

お礼日時:2011/02/27 12:08

はじめまして♪



当時のPCM理論ではサンプリング周波数の1/2まで記録出来ると考えられていました。

そこで、人間の可聴帯域とされる高域上限の20KHzを記録する為に40KHz以上で、録音時のハイカットフィルター(上限以上の周波数成分は折り返しノイズになるため)から1割り増の22KHzを考慮し、推奨発進素子の分周率から選定されました。

当時の考え方と実際の技術限界から生まれたものですね。

のちの、DATはCDをコピー出来ないように整数倍のサンプリングを避けた仕様になて居ます。

同じサンプリング対応したMDは音声圧縮が前提で、全く同じコピーが出来ないという前提で登場してますが、当時の欧米で日本製のCD録音機が販売されていました。
(日本国内だけ、著作権保護団体がクレームを付けたため、プロ機以外は販売されず、民生用機器は日本マランツが製造してオラダのフィリップス社ブランドが口火を切って日本販売開始です。)

オランダのフィリップス社はカセットテープの規格を、SONYはすでに劣勢だったβマックスを教訓として、フィリップス社と共同開発と言う形でCDを造りました。

まぁ、歴史背景から、こんなところでしょうかね。
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この回答へのお礼

ありがとうございました。

結局、2進数を捨てたこの値が、CDの容量的にいいということだったのでしょうか…

お礼日時:2011/02/24 19:02

CDの開発当初の最長記録時間は74分42秒で、第九が入る長さとして


決められたという話は有名です。
規格化する際は容量先行で、この分数が収められる中で音質を保てる
フォーマットとして16bit 44.1kHzというものに決まったのです。
ですから周波数的にきりがいいかどうかは関係ありません。

ソニーのCD開発談をみると詳細がわかります。
「「レコードに代わるものはこれだ」 <コンパクトディスク>」
http://www.sony.co.jp/SonyInfo/CorporateInfo/His …
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この回答へのお礼

ありがとうございました。
44100自体は平方数ですが(210^2)、あまりにキリが悪いため気になっていました。

お礼日時:2011/02/24 19:00

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QCD音質と音楽ファイルのビットレート

こんにちは。
CD音質と音楽ファイルの音質について疑問を持ったため有識者の方ご回答のほうどうかよろしくお願いいたします。

1.CD音質と音楽ファイル音質について
CD音質は44.1kHz/16bitですが、MP3やWAVなどの音楽ファイルの音質はkbpsという単位で表されます。
この単位が違うのでCD音質と音楽ファイル音質を数字的に比較することはできないのではないでしょうか?

2.CD音質は44.1kHz/16bitですから、どんな高いビットレートで取り込んだとしてもそれより高音質にはならないわけですよね。
ということはCD音質と同程度になる数字で取り込むのがもっとも効率的だと思います。
具体的にそれはどれぐらいの数字になるのでしょうか?

3.私は128kbpsと320kbpsではなんとなく臨場感が違うかなぐらいしか差を感じないのですが(つまりほとんどわかりません)、普通はどれぐらい違いを感じられるものなのでしょうか?
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上記3点についてどうかご解答のほうよろしくお願いします。

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というこ...続きを読む

Aベストアンサー

まず、「44.1kHz/16bit」は、ビットレート(kbps)ではありませんので勘違いしないでください。
音楽CD(CD-DA)にもビットレートはありますが、「44.1kHz/16bit」ではなく、「1411.2kbps」です。
http://ja.wikipedia.org/wiki/CD-DA#.E4.BB.95.E6.A7.98

特別な設定をせずに圧縮した場合は、ビットレートのみ変化し、「44.1kHz/16bit」は変化しません。

ちなみに、↓のページでは、あえて「44.1kHz/16bit」を「96kHz/24bit」に変換した実験結果が載ってます。(実際の音で聴けます。)
http://www.watch.impress.co.jp/av/docs/20050829/dal203.htm

音質を判断する目安として波形を参考にする事が多いのですが、波形だけで音質判断の目安にはなりません。

最終的には、自分の耳が判断材料になると思いますので、余り数値に惑わされず、ご自身が聴いて心地良いと思う設定で充分だと思います。
http://anonymousriver.hp.infoseek.co.jp/Audio-Codecs.html

まず、「44.1kHz/16bit」は、ビットレート(kbps)ではありませんので勘違いしないでください。
音楽CD(CD-DA)にもビットレートはありますが、「44.1kHz/16bit」ではなく、「1411.2kbps」です。
http://ja.wikipedia.org/wiki/CD-DA#.E4.BB.95.E6.A7.98

特別な設定をせずに圧縮した場合は、ビットレートのみ変化し、「44.1kHz/16bit」は変化しません。

ちなみに、↓のページでは、あえて「44.1kHz/16bit」を「96kHz/24bit」に変換した実験結果が載ってます。(実際の音で聴けます。)
http://www.watch....続きを読む

Q16bitはダイナミックレンジが97.8dB

16bitが表現できるダイナミックレンジが97.8dBとあります。
これはどういう理屈で導き出されているのでしょうか?

すみません、難しい計算式を理解する数学力はないので、なるべく文章でお願いします。

Aベストアンサー

 そもそも、「ダイナミックレンジ」とは、「最小音と最大音の比率」ということです。最小の音に比べて、最大何倍まで大きな音を出すことができるか、ということです。値が大きいほど「小さい音から大きな音まで、幅広く出せる」ということです。

 CD、ハイレゾ音源などは、アナログ波形の大きさ(振幅=音の大きさ)を「デジタル数値」に変換して記録、再生します。デジタル数値16ビットで表現できる最小音は2進法で「0000 0000 0000 0001」(10進法で「1」)、最大音は2進法で「1111 1111 1111 1111」(10進法で「65,535」=2の16乗 マイナス1)ということです。

 これでは値が大きいので、「3桁(1000倍)か4桁(1万倍)か」といった「桁数」に相当する「対数」で表現するようにしたのが「dB」(デシベル)という単位です。元の数値 X (たとえば「65,535」)をデシベルの値に変換するには、

  デシベル=20 × log(X)

で計算します。ご参考まで「小学生でも分かるデシベル(dB)の話」
        ↓
http://macasakr.sakura.ne.jp/decibel.html

 そもそも、「ダイナミックレンジ」とは、「最小音と最大音の比率」ということです。最小の音に比べて、最大何倍まで大きな音を出すことができるか、ということです。値が大きいほど「小さい音から大きな音まで、幅広く出せる」ということです。

 CD、ハイレゾ音源などは、アナログ波形の大きさ(振幅=音の大きさ)を「デジタル数値」に変換して記録、再生します。デジタル数値16ビットで表現できる最小音は2進法で「0000 0000 0000 0001」(10進法で「1」)、最大音は2進法で「1111 1111 1111 1111」(...続きを読む

QCDの帯域とスピーカーの帯域

 CDの周波数特性は、人間の可聴周波数帯域に基づいて4Hz~20kHzに設定されていると聞いたことがあります。一方、スピーカーの周波数特性は、高周波側が40kHzのものも普通にあります。

1)しかし、CDを再生する場合は、いくら高周波が出せても無駄なのでしょうか。実際に、高周波側が、20kHzしか出せないものと40kHz出せるスピーカーに違いはありますでしょうか?

2)40kHz出せるスピーカーは、なぜ作られているのでしょうか?今なら、SONYのスーパーオーディオCDなどがあるので意味はあると思いますが。

4)最後ですが、DVDの周波数帯域について教えてください。また、CDに取って代わる次の音楽メディアは何だと思いますか?

Aベストアンサー

全てのご質問にはお答えできませんが、CDの周波数特性は20Hz~20kHzですよね。しかし、これは理論上の限界?みたいなものであり、実際人間が聞き取れる高音は12~15kHz程度が限界です。FMとCDを聞き比べてあまり的確に違いを識別できないのはこのためです(ちなみにFM放送の上端は15k)。
で、耳に聞こえない高音や低音がなんの影響があるのかと言いますと、音そのものよりも、音にまつわる雰囲気(高調波やエコー成分等)の表現力に関係するからだ、と言われていました。が、私はこの説に疑問を持っています。

昔、CDが登場する前、オーディオ評論家は「可聴領域外の音があることで音に生々しさが増す」と言いつのっていました。
しかし、CDが登場してからは「可聴領域外の音を削除したところで何も影響はない」と発言が変わってきたのです。

ただ、良く録音されたアナログレコードの方が普通のCDよりも音が生々しいのは確かなんですけど...。これは周波数特性よりもサンプリングのせいですね。多分。

それでは、40Khzを出せるスピーカがなぜ必要かと言いますと、可聴帯域を余裕を持って再生するため、と思います。

スピーカの周波数特性を見ると、再生上下端では音圧レベルが下がっている、つまり再生しにくくなっているのです。スペック上は20kHzまで再生可となっていても、レベル自体は何dBも低い。しかし、その限界を拡げることで、必要な領域をよりフラットに再生することができるようになる事は考えられます。

あとは、スペック好きな日本人にとっては良いアピール材料になるから、と言うことでしょうか。

全てのご質問にはお答えできませんが、CDの周波数特性は20Hz~20kHzですよね。しかし、これは理論上の限界?みたいなものであり、実際人間が聞き取れる高音は12~15kHz程度が限界です。FMとCDを聞き比べてあまり的確に違いを識別できないのはこのためです(ちなみにFM放送の上端は15k)。
で、耳に聞こえない高音や低音がなんの影響があるのかと言いますと、音そのものよりも、音にまつわる雰囲気(高調波やエコー成分等)の表現力に関係するからだ、と言われていました。が、私はこの説に疑問を持っています。
...続きを読む

QCDのサンプリングレートが48000Hzって?

回答で、「サンプリングレートが48000HzのCDがある」というものを見つけたんですが、本当に存在するんですか?
DVDとかならともかく、一般の音楽CDの場合は44100Hz以外あり得ないと思っていましたので、もしご存じの方がいらしたら教えていただければと思います。

Aベストアンサー

その回答を私も見たことがありますが、いわゆるオーディオCDでは、44.1のはずです。そうでなければ「CDプレーヤー」と呼ばれるもので再生できません。

スタジオなどでは48kやそれ以上のサンプリングレートで録音するのが普通で、それを「音楽CD」にするときには44.1kにしているので、一般の音楽CDとして売られているもので44.1k以外の音楽CDはない!ということでよいと思います。

規格化された48kのCDが存在するとするならば、CD2とかCD48とか、従来のCDと区別して販売されていなければなりません。
ビデオCDの拡張規格として中国ではスーパービデオCDというものが普及しましたが、48kのCDがあるならこれと同じように48k対応CDプレーヤが世に出ているはずですが、そんなものは無いはずです。
ソニーが発表したまったく新しいCD規格であるスーパーオーディオCDというものは存在します。(URLを紹介します)

あくまで音楽CDは44.1kHz16bitステレオです。mentamaさんのお考えで間違いないと思います。
もし間違っていたらすみません。

参考URL:http://www.sony.co.jp/sd/products/sonyaudio/AU/sacd/index.html

その回答を私も見たことがありますが、いわゆるオーディオCDでは、44.1のはずです。そうでなければ「CDプレーヤー」と呼ばれるもので再生できません。

スタジオなどでは48kやそれ以上のサンプリングレートで録音するのが普通で、それを「音楽CD」にするときには44.1kにしているので、一般の音楽CDとして売られているもので44.1k以外の音楽CDはない!ということでよいと思います。

規格化された48kのCDが存在するとするならば、CD2とかCD48とか、従来のCDと区別して販売されていなければなりません。
ビ...続きを読む

Qカットオフ周波数とは何ですか?

ウィキペディアに以下のように書いてました。

遮断周波数(しゃだんしゅうはすう)またはカットオフ周波数(英: Cutoff frequency)とは、物理学や電気工学におけるシステム応答の限界であり、それを超えると入力されたエネルギーは減衰したり反射したりする。典型例として次のような定義がある。
電子回路の遮断周波数: その周波数を越えると(あるいは下回ると)回路の利得が通常値の 3 dB 低下する。
導波管で伝送可能な最低周波数(あるいは最大波長)。
遮断周波数は、プラズマ振動にもあり、場の量子論における繰り込みに関連した概念にも用いられる。


ですがよくわかりません。
わかりやすく言うとどういったことなのですか?

Aベストアンサー

>電子回路の遮断周波数: その周波数を越えると(あるいは下回ると)回路の利得が通常値の 3 dB 低下する。
>導波管で伝送可能な最低周波数(あるいは最大波長)。
>遮断周波数は、プラズマ振動にもあり、場の量子論における繰り込みに関連した概念にも用いられる。

簡単にいうと、一口に「カットオフ周波数」と言っても分野によって意味が違う。
電子回路屋が「カットオフ周波数」と言うときと、導波管の設計屋さんが「カットオフ周波数」と言うとき
言葉こそ同じ「カットオフ周波数」でも、意味は違うって事です。



電子回路の遮断周波数の場合
-3dB はエネルギー量にして1/2である事を意味します。
つまり、-3dBなるカットオフ周波数とは

「エネルギーの半分以上が通過するといえる」

「エネルギーの半分以上が遮断されるといえる」
の境目です。

>カットオフ周波数は影響がないと考える周波数のことでよろしいでしょうか?
いいえ
例えば高い周波数を通すフィルタがあるとして、カットオフ周波数が1000Hzの場合
1010Hzだと51%通過
1000Hzだと50%通過
990Hzだと49%通過
というようなものをイメージすると解り易いかも。

>電子回路の遮断周波数: その周波数を越えると(あるいは下回ると)回路の利得が通常値の 3 dB 低下する。
>導波管で伝送可能な最低周波数(あるいは最大波長)。
>遮断周波数は、プラズマ振動にもあり、場の量子論における繰り込みに関連した概念にも用いられる。

簡単にいうと、一口に「カットオフ周波数」と言っても分野によって意味が違う。
電子回路屋が「カットオフ周波数」と言うときと、導波管の設計屋さんが「カットオフ周波数」と言うとき
言葉こそ同じ「カットオフ周波数」でも、意味は違うって事です...続きを読む

Q三相交流のV結線がわかりません

V結線について勉強しているのですが、なぜ三相交流を供給できるのか理解できません。位相が2π/3ずれた2つの交流電源から流れる電流をベクトルを用いて計算してもアンバランスな結果になりました。何か大事な前提を見落としているような気がします。

一般にV結線と言うときには、発電所など大元の電源から三相交流が供給されていることが前提になっているのでしょうか?

それとも、インバータやコンバータ等を駆使して位相が3π/2ずれた交流電源2つを用意したら、三相交流を供給可能なのでしょうか?

Aベストアンサー

#1です。
>V結線になると電源が1つなくなりベクトルが1本消えるということですよね?
●変圧器のベクトルとしてはそのとおりです。

>なぜ2つの電源の和を「マイナス」にして考えることができるのかが疑問なのです。
●もっと分かりやすいモデルで考えてみましょう。
乾電池が2個あってこれを直列に接続する場合ですが、1個目の乾電池の電圧をベクトル表示し、これに2個目の乾電池の電圧をベクトル表示して、直列合計は2つのベクトルを加算したものとなりますが、この場合は位相角は同相なのでベクトルの長さは2倍となります。

同様に三相V結線の場合は、A-B,B-Cの線間に変圧器があるとすれば、A-C間はA-B,B-Cのベクトル和となりますが、C-A間はその逆なのでA-C間のマイナスとなります。

つまり、どちらから見るかによって、マイナスにしたりプラスにしたりとなるだけのことです。

端的に言えば、1万円の借金はマイナス1万円を貸したというのと同じようなものです。

QCD-R DVD-Rの最大容量

700MBのCD-R 4.7GBのDVD-Rは、最大でどのくらいの容量のデータを入れることができるのでしょうか?

私の認識では、HDDなどと同様で、箱に表記されている容量より実際に入る容量は少ないと思っていたのですが
以前、PC上での表示が705MBというデータCD-ROMがあり、それを700MBのCD-Rに焼いたところ、全部問題なく入ってしまったことがありました。(そのCD-RはPC上で705MBと表示されました)

実際はどのくらいまで入るものなのでしょうか?

Aベストアンサー

2~3%増であればオーバーバーン可能と言われています、700MBメディアに740MB焼けたなんて例もありますが。

DVDの場合は表記上4.7GBでもPC上では4.37GB(小数点切捨)です。

実際メディアには規格容量+αの容量があります、この+αの領域に無理矢理書き込むことで規格以上の容量を焼くことが出来ます(+α領域がないと700MBのCD-Rに690MBしか焼けないなんて事が起こるのでこうなってます)。

Q遮断周波数のゲインがなぜ-3dBとなるのか?

私が知っている遮断周波数の知識は・・・
遮断周波数とはシステム応答の限界であり、それを超えると減衰する。
<遮断周波数の定義>
出力電力が入力電力の1/2となる周波数を指す。
電力は電圧の2乗に比例するので
Vout / Vin = 1 / √2
となるので
ゲインG=20log( 1 / √2 )=-3dB
となる。

ここで、なぜ出力電力が入力電力の1/2(Vout / Vin = 1 / √2)
となるのでしょうか?
定義として見るにしてもなぜこう定義するのか
ご存じの方いらっしゃいましたら教えて下さい。

Aベストアンサー

>ここで、なぜ出力電力が入力電力の1/2(Vout / Vin = 1 / √2)
>となるのでしょうか?
>定義として見るにしてもなぜこう定義するのか

端的に言えば、
"通過するエネルギー"<"遮断されるエネルギー"
"通過するエネルギー">"遮断されるエネルギー"
が、変わる境目だからです。

>遮断周波数とはシステム応答の限界であり、それを超えると減衰する。
これは、少々誤解を招く表現です。
減衰自体は"遮断周波数"に至る前から始まります。(-3dBに至る前に、-2dBとか、-1dBになる周波数があります)

Q標本化定理をわかりやすく教えて!

”あるアナログ的な信号をデジタルデータにサンプリングする場合、原信号に含まれる周波数成分をすべて正確にサンプリングするためには、原周波数の2倍以上のサンプリング周波数が必要となる。これを標本化定理という。”

と言うことですが、サンプリングした時点で途中の情報を捨てているのに何故完全に復元できるのか、納得できません。

出来れば絵付きでわかりやすく説明してください!お願いします。

Aベストアンサー

sin,cos もちゃんと習ったし、フーリエ展開ってのもわかった(つもり :-)、
だけど、周波数て結局何なんだ?、標本化定理の式は何を意味して
いるんだろう? というのが貴方の質問かと思います。
(小生も、理系の大学を出たものの、下記本に出会うまでは
 ちいとも理解していないことに気がついたのです。)

講談社 ブルーバックス
ディジタル・オーディオの謎を解く  天外伺朗 著
ISBN4-06 13268005 C0255 P600E

を読めば、目から鱗がとれること、請け合いです!!

残念ながら、今現在はAmazon.co.jpでもその他大手のWeb本屋でも
手に入らない可能性が大です。

ちなみに、著者名:天外伺朗(てんげ・しろう) はAIBOでおなじみのソニーの
土井さん(らしい)です。 本当に理解している人だから、こういう
素晴らしい説明が書けるものだと感心せずにはいられません。

貴方がもし、教師でしたらどんなことをしても手にいれるべき本だと
おもいます。(この本では、ほかにCDに欠かせないクロスインタリーブ
符号の原理もあっとおどろくほど明快に記述されています。)

---------------
以下、小生なりに上記バイブルの内容をまとめてみたものを投稿して
おきます。( 周波数、標本化の説明のところだけ)

(具体的説明の為、音の周波数とします。また、図がずれますので
 固定フォントにしてみてください)
さて、電波にせよ音にせよ、自然界にある波動は時間の周期関数です。
ですからその意味での周波数が定義できます。しかしこの時の周期をもって
描かれる曲線(F(t))は、いわゆるsin/con curveではない、複雑な任意の
形状をした曲線です。 そこで、人間はそういう形は複雑でも周期をもって
いる曲線をなんとかもっと分析しやすくする方法はないものかと考えた
のです。 で、フーリエさんという人が熱の伝導を研究しているときに
熱の分布の周期関数ってのはsin/conの基本周期とその倍数周期の足し合わせ
になることを証明しちゃったわけです。 つまり、周期関数ってのは
(実は周期関数でなくても任意の関数でいいのですが)sin/conの足し合わせ
で表せるということです。 これは、3次元空間の座標にたとえると、ある
任意の座標を決めるにはx,y,zという直交する座標軸を決めて、その各座標値
で示せるというのと同じです。 ちょっと違うのは周期関数の場合は座標軸に
あたるのが、sin/cos関数という関数ということです。しかも無限にある。

さて、ここで周波数のもうひとつの意味がおわかりになると思います。
そう、いわゆる周波数スペクトル(分析)の周波数というのは、こうした
sin/cos 関数の基本周期・倍周期を指しているのです。基本周期は分析対象
となる元の周期関数の周期をとります。

そしてこれで、”帯域制限”の意味もおわかりになると思います。
上記で、”無限”にあるsin/cos関数といいましたが、音の場合で
いうと20KHz(sin/cos の倍周波数)で止めても、もとの周期関数
(音)の形にはちいとも影響がないと仮定するというか、してしまう
わけです。

そうそう、あと、sin/cosと2種類の関数の足し合わせですが、実は
これはsinかcosかどっちかの関数1種類にしてしまいます。

 sin(a+b) = cos(a)sin(b)-sin(a)cos(b)  とかの公式で
 a*cos(x) + b*sin(x) = c*sin(x+d) c= sqr(a*2+b*2), d=tan(b/a)

てな具合に変形できます。 

FFT(高速フーリエ変換装置)なる機械で表示される周波数スペクトル
の棒の長さは、実はこの”c”なる定数なのです。

つまり、任意の音をFFTにかけて、その周波数スペクトルをみると
下図のように表示されるのです。 

うーん、ここで、元の音のなめらかな曲線図を書けないのがつらいですが、
どうか想像してください。 そのなめらかな周期曲線が周波数(もう、
間違わないでください、ここでいう周波数とはsin/cosという直交関数の
きれいなcurveの周波数のことです)の含み具合が表示されるということです。
 
逆に言うと、下図のとおりの割合でsin/cos curveを足し合わせれば
元のなめらかな音の周期関数が再生できるということです。

|
| *
| *
| * *
| ** *
| ******
| *******
| ********
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
20Khz

ふー、やっとここで標本化定理です。

まず、驚くべき事実をいっちゃいます。標本化では、周波数(sin/cosの
ほうでっせ)情報を失うようにおもわれますが、実際は逆なのです。
情報はうしなわれるどころか、おまけがついてきます。

ここでは、20KHzまでのsin/cosを残したいので、44KHzで標本を
取った場合(想像してください。元の音のなめからな曲線を44K個
の箇所でとったパルス上の棒グラフとすることです。)

すると、その44K個のパルス上の棒グラフを周波数スペクトル分析
(FFT)にかけるとどうなるでしょうか?

そう、下記になるのです!! 

|
| *...............* *
| *...............* *
| * *...............* ** * *
| ** *...............* **** *
| ******...........************
| *******.........**************
| ********.......****************
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
20Khz      44Khz 
             (44Khzのところを中心に
              もとの周波数スペクトルの反転パターンを      
              背中合わせにしたパターンが現れます)


標本化を44Khzと、20Khzの2倍よりはちょっと多めにしたのは
上記図で、もとのなめらかな周期関数を再生するのに十分な
周波数のかたまりと、標本化でできる余分な周波数のかたまりの
間に隙間ができるようにするためです。 そう、これがエイリアシング
(Aliasing: Alias->"別名"というのが元の意味。)を防ぐということです。

もし、30Khzとかの20Khzの2倍以下の標本化をしてしまうと
下記図のようにAliasingが発生するわけです。こうなると
次にのべる再生方法では、もとの周期関数の再生は不可となることが
わかるでしょう。

|
| *........* *
| *........* *
| * *......* ** * *
| ** *......* **** *
| ******..************
| *********************
| *********************
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
20Khz  30Khz    44Khz 


うーん、最後の説明の再生方法なんですが、これも想像してもらうしか
ないです。 なんせ連続曲線図が書けないもので。

もう、おわかりでしょう、先にも書きましたが、もとのなめらかな
周期関数曲線を得るには、標本化で得られた20Khz以下のパターンだけを
取り出せばいいわけです。 そう、20Khzまでは100%素通りさせ、20Khz
以降の周波数はカットしてしまうフィルターを通せば良いのです。
(そんな理想的なフィルターは工学的にはできないそうですが)

んで、なんで2倍なのか、3、4倍でもいいじゃないかという質問の
答えは、 2倍で十分な情報がとれるのに、そんな無駄な! ということ
です。 高周波装置ってつくるのが難しいらしいですからね。

おわり。 (一気に書いて、見直しはしておりません。あしからず。
      是非、バイブルをお読みくださいませ)

sin,cos もちゃんと習ったし、フーリエ展開ってのもわかった(つもり :-)、
だけど、周波数て結局何なんだ?、標本化定理の式は何を意味して
いるんだろう? というのが貴方の質問かと思います。
(小生も、理系の大学を出たものの、下記本に出会うまでは
 ちいとも理解していないことに気がついたのです。)

講談社 ブルーバックス
ディジタル・オーディオの謎を解く  天外伺朗 著
ISBN4-06 13268005 C0255 P600E

を読めば、目から鱗がとれること、請け合いです!!

残念ながら、今現在はAm...続きを読む

Qエクセル STDEVとSTDEVPの違い

エクセルの統計関数で標準偏差を求める時、STDEVとSTDEVPがあります。両者の違いが良くわかりません。
宜しかったら、恐縮ですが、以下の具体例で、『噛み砕いて』教えて下さい。
(例)
セルA1~A13に1~13の数字を入力、平均値=7、STDEVでは3.89444、STDEVPでは3.741657となります。
また、平均値7と各数字の差を取り、それを2乗し、総和を取る(182)、これをデータの個数13で割る(14)、この平方根を取ると3.741657となります。
では、STDEVとSTDEVPの違いは何なのでしょうか?統計のことは疎く、お手数ですが、サルにもわかるようご教授頂きたく、お願い致します。

Aベストアンサー

データが母集団そのものからとったか、標本データかで違います。また母集団そのものだったとしても(例えばクラス全員というような)、その背景にさらならる母集団(例えば学年全体)を想定して比較するような時もありますので、その場合は標本となります。
で標本データの時はSTDEVを使って、母集団の時はSTDEVPをつかうことになります。
公式の違いは分母がn-1(STDEV)かn(STDEVP)かの違いしかありません。まぁ感覚的に理解するなら、分母がn-1になるということはそれだけ結果が大きくなるわけで、つまりそれだけのりしろを多くもって推測に当たるというようなことになります。
AとBの違いがあるかないかという推測をする時、通常は標本同士の検証になるわけですので、偏差を余裕をもってわざとちょっと大きめに見るということで、それだけ確証の度合いを上げるというわけです。


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