地盤卓越振動数の推定方法

Question

地盤卓越振動数の測定の際、なぜmaxホールドで測定をするのか。
測定中の振動レベルが最大のときの卓越している周波数をみればよいのではないか。
前者では卓越した周波数と隣の周波数帯の差が小さくなる場合が多く、別に「卓越」はしていないねってなりそう。

stomachman · Accepted Answer

> １．スペクトルの分布はどのような大きさの振動があっても変化はしない（振幅は変化する）。
> 　→よって卓越する周波数は振動の大きさに依存せず固定である。

応答が線形であれば、という仮定のもとでならそうなります。
　あまり荷重が大きくなくて、塑性変形しにくい舗装道路なら線形に近いだろう。けれど、たとえばジャリ道では、ジャリ同士がこすれ合ったり砕けたりするだろう（波形自体を見れば、いたるところに細かいギザギザが生じるだろう）ということを考えても、非線形の効果があるに違いない。その場合、周波数だけ見ていると、「いたるところに細かいギザギザ」なのか、「荷重をかけた瞬間に急激に変化した」のかの区別が付かなくなる。だから、波形そのものを観察するのは重要だと思います。

> ２．卓越する周波数が判明したとしても、それは地盤の強度を表すものではない。
> 　→１の通り卓越振動数（周波数）は振動の大小に依存しないため。

これも応答が線形であれば、という前提ですが。図をごらんあれ。
　荷重が掛かった瞬間、あるいは荷重が取り除かれた瞬間に急激に変化が起こるとすると、グラフの立ち上がりやピークにカドが立つ。このカドになったところが高周波成分を生み出すんです。だから、変化が急激なら高周波成分が強く発生しますし、ゆっくりならそうはならない。たとえば、50Hz（可聴域！）なんて高い周波数成分が強く出るのなら（卓越するとは限らないが）、それは1/20秒以内の急激な変化があるということ。（もしかしたらジャリによる細かいギザギザなのかもしれないが。）一方、1〜2Hzなんてのばかり出るなら、そりゃジワっとへこんでジワっと戻るということ。

> ３．地盤の強度を測定することが目的であるならば、実際のその地盤で観測され得る振動（振幅）の最大をみるべきである。
> 　→観測された振幅が小さいのであればその地盤は強固である？

これは道路工学でどう考えるかによると思います。ですが、まずフツーに考えれば最大振幅は変形の大きさを表し、変形が大きいのはやっぱしユルイってことでしょう。でもそれとは別に、低周波成分ばっかりが出るということならば、それは荷重を受けた土壌の深いところで力が分散しているためにユルユルと変形できるのだ、ということに違いなく、だから掘り返して地盤改良する必要がある、という指標になるのだろうとも思います。

ところで、低周波成分は、図からもお分かりのように、車輪が通過する時間間隔が決定的に重要になる。そんなもん見てたってしょうがないだろうから、キャタピラで走る荷重で測る方が適切なんじゃないか、と思います。

stomachman · Answer

地盤の変位を単純なバネとダッシュポッドの線形モデルで考えると、何をやっているのがもう少し読み解ける気がします。
　荷重が一定時間だけ掛かって解除された、というプロセスを考える。時刻t=-t₁から一定の荷重が掛かり、時刻t=t₁でそれが解除され、塑性変形はないものとすると、変位yのフーリエ変換は
　　Y(ω) = sinc(2t₁ω) F(ω)
という形になり、ここにsinc(ω) = sinω / ωです。で、F(ω)は「一次遅れ」と呼ばれる応答関数
　　f(t) = A exp(-t/T) (t>0), 0 (t<0)
のフーリエ変換、すなわち
　　F(ω) = AT / (1 + i Tω)
になるでしょう。Aが沈み込みの大きさ、Tが反応の速さを表す時定数です。複数の車輪がある場合には、いくつかのy(t)を時間遅れdを伴って（つまりY(ω)にexp(-iωd)を掛け算したものを）足し合わせるだけ。パワースペクトルは|Y(ω)|²です。
　そうしますと、Aに比例して振幅は大きくなるわけですが、Y(ω)や|Y(ω)|²の形は変わらない。だからパラメータAは、どの成分が卓越する、ということとは関係ありません。
　成分のバランスを変えるのはもっぱらパラメータTであり、Tが小さいと高周波成分の割合が大きくなる。Tが小さいというのは、変形の応答が速いということで、荷重が乗ったらすぐに変形し、解除されたらすぐ戻る。逆に、Tが大きければフワフワである、ってことです。

stomachman · Answer

> ある1つの測定点で得られたデータよりは、測定時間において観測された各周波数の最大の振幅で比較して卓越振動数を求める

そんなところだと思います。
どれが「卓越」かどうかはたいして重要じゃなく、「主要な（いくつかの）成分」に興味があるに違いないでしょうが、でも、一番強いやつに比べて数dB低いものはもうあんまり重要ではない、というわけで、結果的にその中で一等賞を取ったのを「卓越成分」と呼ぶだけのことだろうと思います。

しかし、ソモソモ周波数成分に分けることにどういう意味があるんだか。単純に（高周波成分はカットして）波形全体の最大振幅を見た方が、軟弱さを推定するにはよっぽど役に立ちそうな気がするなあ。

stomachman · Answer

●未舗装道路の話であれば、高周波成分は表層の石ころがガタガタして生じている高調波に違いないので、低周波成分にしか意味がない。たとえば時速36km（秒速10m）で10秒間の計測（∴100m走行）だとして、車両の長さが10mだとすると、車両が1点を通過するのに1秒。その間に複数の車輪が地盤にのしかかって生じる変位は、車重の分布と車輪がどこにどう並んでいるかで決定的に違うだろうから、どういう車両にどういう荷重を載せてどんな速度で走らせるかをキチンと決めておかないと実験に意味がある気がしないのだけれども、ま、トニカクそう測れと決まっている、ってことなのでしょうね。

● 振動の変位を1秒間隔で10秒測ってたら、周波数分析なんかできるわけがありません。そうじゃなく、（補足なさった通り）10秒間のほぼ連続的なデータを収集して、1〜2秒間のtime windowで周波数分析しているんでしょうね。ここで「ほぼ連続的な」というのは、センサが感度を持つ最高周波数の2倍の周波数でサンプリングする必要があるからです。センサの感度域は（騒音測定は含めないとしても）少なくとも100Hz程度ぐらいはあるんじゃなかろうか。だとするとサンプリング周波数は最低でも200Hz。

●長く続く振動をwindow関数で切り出した1秒間分のデータは、window関数によってcut offが発生するせいでせいぜい2Hzの差しか区別できず、それより細かいところはわからない。2秒間分あれば、1Hzの差ぐらいまで。車両が通過するのが1秒間だとすれば、その間に生じる振動（変位）の最も重要な成分は0.5〜1Hzのはず。
> 10、12.5、20Hz
とお書きなので、10Hzと12.5Hzの違いを区別しているんだから、区別できる差は2.5Hzよりは小さい、ということでしょう（が、分解能1Hzの実力がないとなあ）。それより高い周波数は、主として車輪がどこに付いているかによって決まるでしょう。たとえば2連の後輪が1m間隔で付いていれば、これらが1/10秒間隔で通過していくんですから、10Hz程度の成分が発生するに違いない。

●10Hzと12.5Hzが区別できるようなデータがあるなら、どの帯域でも周波数の差が2.5Hzあれば（たとえば17.5Hzと20Hz、100Hzと102.5Hzを）区別できるわけだけど、そういう表示はしていないらしい。てことは、周波数軸についても対数を取っているに違いなく、高い周波数ほど広い帯域に渡って平均しているんでしょう。（そんなので測定になってるんかしらん。普通は帯域でまとめたりせずに、連続スペクトルを表示しますが。）

●  "max hold"は単に「最大値を保持する」というだけの意味ですが、どうやら仰っているのは「各周波数成分それぞれについて、振幅の最大値を保持する」ということらしい。ですが、まだはっきりしないのは、「1台の車両を1回通過させるという実験」の中での最大値の話なのか、「1台の車両を1回通過させるという実験をM回繰り返した」うちの最大値の話なのか。どっちなんでしょうかね。1回しか実験しないなんてあんまり考えられませんが。

●1回の実験で得た10秒間のデータx(t)からtime window（window関数w(t)）で切り出した
　　x[n](t) = x(t - ns)・w(t)  (0≦t＜T sec)
のデータで、1秒間隔だというのだから、たとえば n=0～9, T=2 sec, s=9/(10-T) sec ということかしらん。ともあれ、x[n](t)について周波数分析をやったパワースペクトルを p²[n](ω)としましょう。n=0は車両が数十m先から近づいているとき、n=9は数十mの彼方に去ったあと、ということに違いなく、どの周波数ωについてもp²[n](ω)はnにつれて大きくなり、最大に至り、また小さくなる。しかし、「あるnにおいてすべての周波数で一斉に振幅が最大になる」とは限らない。最大になるnは、周波数ωによって早いものもあれば、遅いものもあるだろう。ですから、どのnで最大になったかを区別しないで、ともかく各帯域について、n=0〜9のうちで一番振幅が大きかった時の値を記録するのは合理的でしょう。
　
ま、アイマイな話なので、回答もアイマイなのはご容赦を。

stomachman · Answer

経時変化の周波数分解をやるには、分析対象として切り出す経時データの時間の幅が必要で、分析で得られる周波数の分解能は、その時間の幅に反比例します。言い換えれば、

> 周波数帯

と仰る、その帯の幅は、分析対象にした時間の幅（time windowの幅)に反比例しています。ですから、時間の幅を大きくすれば、小さい周波数帯の幅に意味がある。逆に、時間の幅が小さいと、意味のある周波数帯の幅は大きくなる。　で、意味がないほど狭い「周波数帯」でスペクトルを表示すれば、たとえ単一の周波数成分しかない波形でも「隣の周波数帯」にも値が現れてしまう。
　なお、たいていの表示ではタテ軸が対数になっていますから、しばしば、見た目でちょっとの違いでも振幅は何倍も違うということがあるのには要注意です。

というわけで、

> 振動レベルが最大のとき

の瞬間だけを取り出しても、時間の幅が0ですから、周波数を区別できず周波数分解になりません。

そもそも、地震の加速度の周波数成分を調べるのは、それが構造物の固有振動数と一致することで生じる共振を心配したいからで、何も卓越振動数だけが共振を起こすわけではない。けれども大きい振幅を持つ（いくつかの）成分に注目して検討するのはおかしなことではないでしょう。ですから、「ほんとに卓越しているかどうか」なんてこと、気にする必要はないんですよ。

なお、加速度の経時変化の測定に際して

> maxホールド

つまり最大値を記録しておく、ということをやっても別に悪くはないでしょうが、これは卓越云々とは関係ないんじゃ？

地盤卓越振動数の推定方法

> １．スペクトルの分布はどのような大きさの振動があっても変化はしない（振幅は変化する）。

地盤の変位を単純なバネとダッシュポッドの線形モデルで考えると、何をやっているのがもう少し読み解ける気がします。

> ある1つの測定点で得られたデータよりは、測定時間において観測された各周波数の最大の振幅で比較して卓越振動数を求める

●未舗装道路の話であれば、高周波成分は表層の石ころがガタガタして生じている高調波に違いないので、低周波成分にしか意味がない。

経時変化の周波数分解をやるには、分析対象として切り出す経時データの時間の幅が必要で、分析で得られる周波数の分解能は、その時間の幅に反比例します。

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