y=x^2+x+1の定義域と値域の求め方を教えてください。

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A 回答 (2件)

y=x^2+x+1


=(x+1/2)^2+3/4
よって、頂点は(-1/2,3/4)になります。2次関数の放物線は、頂点より上に向くか下に向くかのどちらかです。
この場合はx^2の係数が1で、0より多きいので頂点から上に開いた形になります。
よって、定義域(xのとりうる値の範囲)が実数全体のとき、値域(yのとりうる値の範囲)は3/4以上、つまりy≦3/4となります。
※定義域が限られたときには、頂点が入るか、入らないか、グラフを書いてみるとよいです。
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グラフを書いてみれば一発でわかると思います。

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Q次の関数の逆関数と、定義域、値域をもとめてください!

次の関数の逆関数と、定義域、値域をもとめてください!

できればわかりやすく解説つきでお願いします!!

y=√1-2x -1

Aベストアンサー

y=√(1-2x)-1 …(1)
の定義域は √内=1-2x≧0 から x≦1/2
値域は y≧-1

逆関数は
xとyを入れ替えて
x=√(1-2y)-1 から
(x+1)^2=1-2y
2y=1-(x+1)^2=-x^2-2x
∴y=-(1/2)x^2 -x …(逆関数)

逆関数の定義域と値域は(1)のxとyが入れ替わって
 定義域は x≧-1
 値域は y≦1/2
となります。

お分かりですか?

Q分母が文字の分数を微分する方法を教えてください。

分母が文字の分数を微分する方法を教えてください。


8/xを微分すると、-8/x二乗になるようなんですけど、なぜそうなるのか教えてください。

数学は大の苦手なので、分かりやすくお願いします:(;゛゜'ω゜'):

Aベストアンサー

x^nをxで微分するとnx^(n-1)になるというのは習ったと思いますが、
それを利用します
(ちなみに記号^は累乗の記号です。a^bは「aのb乗」を意味します)。

8/x = 8x^(-1)と変形して、無理矢理x^nの形に直します。
x^nをxで微分するとnx^(n-1)になるので、
x^(-1)をxで微分すると-x^(-2)となります。
よって8x^(-1)をxで微分すると-8x^(-2) = -8/(x^2)となります。

Qe^xを微分するとe^xになる理由

大学1年のものです。

(e^x)'=e^xの証明がわかりません。
高校で習ったような気もしますが、習ってないような気もします。

ここの過去の質問も見させてもらったところ、2つほど見つけたのですが、

1)
y=e^x
logy=x
(1/y)y'=1
よって  y'=y=e^x



2)  e^xを無限級数に直して微分



1)の場合d(logx)/dx=1/x…(*)を利用していますが、(*)は(e^x)'=e^xを利用せずに証明できるのでしょうか?

2)の場合、e^xを無限級数に直すためには、テーラー展開をしないとダメなような気がするのですが、テーラー展開をするときに(e^x)'=e^xを利用しなければならないような気がします。



1)、2)とも(e^x)'=e^xの証明に(e^x)'=e^xを利用しているとすればこれらは意味を成さないような気がするのですが…


微分の定義に沿って証明しようともしましたが、

(e^x)'=lim{h→0}(e^x((e^h)-1)/h)

となり、ここで行き詰ってしまいました。



(e^x)'=e^xはなぜ成り立つのでしょうか?
よろしくお願いします。

大学1年のものです。

(e^x)'=e^xの証明がわかりません。
高校で習ったような気もしますが、習ってないような気もします。

ここの過去の質問も見させてもらったところ、2つほど見つけたのですが、

1)
y=e^x
logy=x
(1/y)y'=1
よって  y'=y=e^x



2)  e^xを無限級数に直して微分



1)の場合d(logx)/dx=1/x…(*)を利用していますが、(*)は(e^x)'=e^xを利用せずに証明できるのでしょうか?

2)の場合、e^xを無限級数に直すためには、テーラー展開をしないとダメなよ...続きを読む

Aベストアンサー

orangeapple55さんのおっしゃるとおり、「一般的には」1)も2)も(e^x)'=e^xを用います。
従って1)にも2)にも頼らず、定義によって微分することにしましょう。

(e^x)'
=lim[h→0](e^x((e^h)-1)/h)
=e^xlim[h→0]{((e^h)-1)/h}

となるので、結局問題は
lim[h→0]{((e^h)-1)/h}……(*)
の収束性に帰着します。

そこで、この極限について考察してみましょう。以下、適宜e^xをexp(x)と表現します。

まず、h>0のときについて考えましょう。
このとき、exp(h)>1ですから実数t>0を用いて
exp(h)=1+1/t……(1)
と表すことができます。

指数関数は連続ですから、
lim[h→0]exp(h)=1
ゆえに
lim[h→0]t=∞
つまり、
h→0のときt→∞……(2)
が成り立ちます。

また、h=log(exp(h))を利用すると、(1)よりh=log(1+1/t)……(3)
ですから、(1)、(2)、(3)より、(*)はtを用いて
(*)=lim[t→∞]1/{tlog(1+1/t)}=lim[t→∞]1/log{(1+1/t)^t}
と書き直すことができます。

さて、対数関数も連続ですから、
lim[h→0]log{(1+1/t)^t}=log{lim[h→0]{(1+1/t)^t}}です。
そこで、lim[h→0]{(1+1/t)^t}に注目しましょう。

nを自然数とします。そうすれば、二項定理を用いて
(1+1/n)^n
=1 + nC1*(1/n) + nC2*(1/n)^2 + …… + (1/n)^n
=1 + 1 + (1-1/n)/2! + (1-1/n)(1-2/n)/3! + …… + (1-1/n)(1-2/n)……(1-(n-1)/n)/n!……(4)
と展開できます。

(1+1/(n+1))^(n+1)
を同じように展開すると、(1+1/n)^nに比べて
イ:項数が増え
ロ:個々の項が増大する
ことが容易に確認できますから、(1+1/n)^nはnが増すと単調増加します。
しかも、(4)より、

(1+1/n)^n
<1 + 1/1! + 1/2! + …… 1/n!
<1 + 1 + 1/2 + 1/2^2 + …… + 1/2^(n-1)
<1 + (1-(1/2)^n)/1-1/2
<3

ですから、(1+1/n)^nは上に有界(どんなnをとってきても(1+1/n)^n<MとなるMが存在する。今の場合例えばM=3)です。

ここで公理を使います。
「上に有界かつ単調増加な数列は収束する」
これは実数の連続性を認めないと出てこない公理なのですが、今はとりあえず認めることにしましょう。そうすると、

「(1+1/n)^nは3以下のある値に収束する」

ことが分かります。これを私たちはeと定義したのでした。
以下、証明は省きますが、xを実数としても、(1+1/x)^xはやはりx→∞でeに収束することは容易に類推できると思います。
(証明が気になるなら図書館で解析に関する本を探してみてください。おそらく載っていると思います)

さて、このeを底にとった対数関数を自然対数logと決めたのですから、結局のところ
log{lim[h→0]{(1+1/t)^t}}=log(e)=1
が出ます。よって、(*)=1、つまり、(e^x)'=e^xを示すことができました。h<0についても同様です。

適当なことを言いたくなかったので、長くなってしまいました。すいません。
整理すると、
(1)(1+1/x)^xはx→∞で2.71ぐらいに収束する(収束値をeと名付ける)
これが一番最初にあります。これを用いて、
(2)e^xを指数関数とする
(3)logxをその逆関数とする
これが定義されます。この順番を理解していないと、おかしな循環論法に陥ります。

(注:冒頭で「一般的には」と書いたように、これと違った定義の仕方もあります。
たとえばe^x=1+x/1+x^2/2!+……と先に指数関数を定義してしまう方法。
これらに関しても、順番に注意すれば循環論法に陥らずに公理のみから件の命題を証明することができるでしょう)

最後に、僕は以上でいくつか仮定をしています。
対数関数が連続であること。指数関数が連続であること。
実数の連続性。(1+1/x)^xはxが実数であってもx→∞でeに収束すること。
これらの証明(あるいは公理の必然性)をあたってみることは決して無駄ではないと思います。

orangeapple55さんのおっしゃるとおり、「一般的には」1)も2)も(e^x)'=e^xを用います。
従って1)にも2)にも頼らず、定義によって微分することにしましょう。

(e^x)'
=lim[h→0](e^x((e^h)-1)/h)
=e^xlim[h→0]{((e^h)-1)/h}

となるので、結局問題は
lim[h→0]{((e^h)-1)/h}……(*)
の収束性に帰着します。

そこで、この極限について考察してみましょう。以下、適宜e^xをexp(x)と表現します。

まず、h>0のときについて考えましょう。
このとき、exp(h)>1ですから実数t>0を用いて
exp(h)=1+...続きを読む

Qlogの微分を教えてください。

logの微分を教えてください。
「^」とかあっても、よくわからないので、できれば、画像で><
今月15日の定期試験に向けて勉強していますが、答えがないので、わかりません。
そんな問題があと20題ほど。
答えだけでも結構です。解答プロセスはなんとか勉強しますが、
今は自力で自信のある解答を導くことができません。

どうぞお願いいたしますm(xx)m

Aベストアンサー

答えだけでいいならば、分母からlogeを取り除けば正解です。

Q逆関数の求め方

f(x)=x^2の逆関数って
どう計算したらy=√xになるんですか?

計算過程を教えてください!
答えが合わなくて困ってます。

Aベストアンサー

もう良い回答が出ていますが。
この問題には2点ポイントがあります。

まず、
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Y=x^2
ですよね。
ここでYに初期条件が出てきます。
Y=x^2なのでY≧0という条件が手に入ります。
問題文にx、Yは実数だという条件が通常はあるハズです。

この初期条件を見落とさないという感覚は意外と身に付かず
東大に合格する学生でも秋ぐらいまで、できない事も多いです。
繰り返し問題を解くことでこの感覚は身に付きますので、頑張ってください。
この問題の難しいポイントはここにあります。
あとは機械的に解くだけです。

逆関数はx、Yを逆に書いて解けば良いので
x=Y^2 Y=±√x
これと初期条件Y≧0より
Y=√xとなります。

Q定義域?値域って何?

関数の問題なのですが、問題の意味が分かりません。

次の関数について、定義域が(    )内のとき、値域を求めなさい。
y=-2x+1     (-2≦x≦3)
という問題なのですが・・・お願いします。教えてください。

Aベストアンサー

定義域をxが動いたとき、yがどの範囲を動くかを値域と言います。
(x,yは題意より識別するので、かならず、xが定義域で、yが値域とは限りません)

問題の場合、関数は一次関数ですから、グラフ上は直線になるというのは分かりますよね。
ということは、定義域の端と端の値を代入すればいいわけです。

y = -2 * (-2) + 1 = 5
y = -2 + ( 3) + 1 = -5

したがって、-5 ≦ y ≦ 5
検算はしてくださいね。

Q【需要の価格弾力性】の計算式の構造を教えてください。

経済学(高校三年生)の需要弾力性を求める計算式です。
なさけないことにバリバリの文系で、計算式が大苦手です・・。
試験範囲の一部に需要の弾力性を求める計算問題が入り込み、
画像の内容のような式が出題されることになりました。


●問題文、定義式↓下記

http://nhk.upkita.net/up/nhk7798.jpg

問題内容は画像を参照して頂ければ分かる様に製作したつもりです。
問題と定義式はきっちりプリントを写したものなので、確かなモノなのですが、
途中の計算式・最終的に解が正解しているか不安で一杯です。

途中の式、解は黒板のものを写しただけで
(※厄介な事に写し間違いもあるかもしれないため、解と式が
正解しているかさえ、あやしいのが実情です…泣)

自分で構造を理解して解いていないので・・
”途中の式の数字の意味”、”何がどう代入されているのか”などの
式自体の構造が分かりません・・・。
式の左側、P=300を代入して式を片付けていくあたりは
一応理解できているのですが、右側の
=(+0.5)=300/400~への式になぜ繋がっていくかの意味が
理解できていません・・・。情けない限りでございます。。

本当に勝手ではありますが・・・計算式に明るくて優しい方の
ご支援を・・宜しくお願いいたします!!

経済学(高校三年生)の需要弾力性を求める計算式です。
なさけないことにバリバリの文系で、計算式が大苦手です・・。
試験範囲の一部に需要の弾力性を求める計算問題が入り込み、
画像の内容のような式が出題されることになりました。


●問題文、定義式↓下記

http://nhk.upkita.net/up/nhk7798.jpg

問題内容は画像を参照して頂ければ分かる様に製作したつもりです。
問題と定義式はきっちりプリントを写したものなので、確かなモノなのですが、
途中の計算式・最終的に解が正解しているか不安で...続きを読む

Aベストアンサー

需要の価格弾力性とは価格が1%変化したとき、
需要が何%変化するかというもので、
定義式e=(うんぬん)というのがそれを求める式です。
式e=(うんぬん)でいう変化率は、
変化率の定義の式で求められます。

価格の変化率を実際に求めてみると、
元の値段=400(でいいのかな?)
変化後の値段=300
増加分=変化後の値段-元の値段=-100
変化率=増加分÷もとの値段=-100÷400=-1/4 です。
需要の変化率は需要関数X=(うんぬん)を使って、
もとの価格の時の需要、変化後の価格の需要、増加分を求めてから
変化率の定義式に代入します。
需要関数のPは価格のことです。

以上の過程で求めた数を定義式e=(うんぬん)に代入すると
e=-(ΔX/-100)*400/Xとなります。
※ΔX、ΔPは需要と価格の増加分、
 X、Pはもともとの価格とそのときの需要を表します。

QDomain of a Function

アメリカの高校数学の問題です。
下記問題の回答方法を教えてください。
1.Domain of a Function
What is the domain of
f(x)=7/2x+6

2.Range of a Function
What is tha range?
f(x)=1/x-9

ちなみに、日本の高校数学ではこの項目は日本語でなんというタイトルになるのですか?何か良い参考になるHP等ありましたら、教えてください。

Aベストアンサー

#2さんの仰る事は、全く正しいと思います。思うのですが、高校数学に対しては、厳しすぎるようにも思えます。実際に、質問者様の書いたような形で問題が出題されるのが、ふつうと思えるからです。それは学生のせいではないです。でも、

>関数は、数式だけでは定義が完了せず、定義域と写像規則(数式)がそろって初めて定義されるものだからです。

という事をわかって欲しいな、という気持ちはいっしょです。


 #1さんへ。人を馬鹿にし過ぎていませんか?。以下は自分の印象ですので、あなたの真意を誤解しているかも知れませんが。

>domain,rageという単語の「日本語訳」?
#単なる「訳」ならオンラインの辞書ででもすぐでてくるよ

 ちなみに、「検索結果国語辞典 英和辞典 和英辞典 - goo辞書」で、domainとrangeを引いた結果は、以下です。

domain:
 領地; 【法】個人所有地(の所有権); 範囲, 領分; 【コンピュータ】領域, 定義域.

range:
 列, 並び; 山脈; 組; 階級, 部類; 範囲, 限界; 音域; 視界; 【コンピュータ】範囲, 値域; (動植...

 ふつう辞書を引いた時には、その最初の和訳をとりあえずは使います。

  「関数の領地」,「関数の列」

ずいぶんわかりにくい回答ですね。「間違え!」と言っているようなものです。
 あなたは、これらの訳の「最後に」、定義域,値域が出ていると言うかも知れませんが、何故その訳語を、Domain of a Function と Range of a Function に当てはめるべきだと、質問者様が理解出来ると思うのですか?。実際、上の例では、定義域,値域は、【コンピュータ】のカテゴリーに入っているのですよ。
 ここは数学を全く知らない人でも自由に質問できる、またその目的のための板でもある、と思います。

>数式の書き方が悪くて,
式が何通りにも解釈できるので
答えそのものはいろいろ出てくる.

 7/2x+6と書いてあるのですから、まずは7/(2x)+6の事だと考えて、回答した後、このような不自由な環境での数式表記に関する状況を説明して、補足要求しても良かったのではないですか?。それくらいの配慮は、あって良いと思います。
 ここは数学を全く知らない人でも自由に質問できる、またその目的のための板でもある事を、お忘れなく。

 質問者様へ、「Domain of a Function」「Range of a Function」のふつうの訳は、「関数の定義域」「関数の値域」です。これらの単語がわからず、また意味を知る必要があるなら、わかるまで質問して下さい。

#2さんの仰る事は、全く正しいと思います。思うのですが、高校数学に対しては、厳しすぎるようにも思えます。実際に、質問者様の書いたような形で問題が出題されるのが、ふつうと思えるからです。それは学生のせいではないです。でも、

>関数は、数式だけでは定義が完了せず、定義域と写像規則(数式)がそろって初めて定義されるものだからです。

という事をわかって欲しいな、という気持ちはいっしょです。


 #1さんへ。人を馬鹿にし過ぎていませんか?。以下は自分の印象ですので、あなたの真意を誤...続きを読む

Q関数のグラフでy'''はなにを意味するのですか?

関数のグラフでy'は増減を、
y''は凹凸を意味しますが、
y'''はなにを意味するか強引にでも解釈したいです。

Aベストアンサー

y' は正ならば増加,負ならば減少だけでなく,絶対値が大きければ急勾配,小さければ緩勾配もわかります。
y''は正ならば凹,負ならば凸がわかります。しかし,放物線 y=x^2 はいたる所で y''=2 ですが,頂点の近くと遠くでは,凹み具合が全く違います。
逆に,円は膨らみ具合はどこでも同じなのに,y'' の値は違います。
曲がり具合(曲率)は y'' だけでなく y' も関係して決まります(参考URL「曲線の曲がり具合」参照)。
ですから,グラフを見て y'' の値の大小を読み取るのは難しいでしょう。
y''' になると,正負の違い(y''の増加減少)すらグラフから読み取ることは難しいでしょう。

参考URL:http://www.ss.u-tokai.ac.jp/~ooya/Misc/Shiryou/index.shtml

Q積分で1/x^2 はどうなるのでしょうか?

Sは積分の前につけるものです
S dx =x
S x dx=1/2x^2
S 1/x dx=loglxl
まではわかったのですが
S 1/x^2 dx
は一体どうなるのでしょうか??

Aベストアンサー

まず、全部 積分定数Cが抜けています。また、積分の前につけるものは “インテグラル”と呼び、そう書いて変換すれば出ます ∫

積分の定義というか微分の定義というかに戻って欲しいんですが
∫f(x)dx=F(x)の時、
(d/dx)F(x)=f(x)です。

また、微分で
(d/dx)x^a=a*x^(a-1)になります …高校数学の数3で習うかと
よって、
∫x^(a-1)dx=(1/a)*x^a+C
→∫x^adx={1/(a+1)}*x^(a+1)+C
となります。

つまり、
∫1/x^2 dx=∫x^(-2)dx
={1/(-2+1)}*x^(-2+1)+C
=-x^(-1)+C
=-1/x+C

です。


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