次の方程式の1つの解をθとおくとき,他の解をθの最低次の整式として表せ.
(1) x^3-3x+1=0
(答) -θ^2-θ+2, θ^2-2

(2) x^3+x^2-2x-1=0
(答) -θ^2-θ+1, θ^2-2

(3) x^3+x^2-4x+1=0
(答)-θ^2-2θ+2, θ^2+θ-3

(4) x^3+x^2-6x-7=0
(答)-θ^2+4, θ^2-θ-5

いったいどうやればよいのでしょうか?
3次方程式に限らず、n次方程式の一般形において、同様の問題の公式みたいなものはあるのでしょうか?

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A 回答 (3件)

あまりエレガントな解答ではなく、論理にも隙がありそうですが何とか答にたどり着けました。



x^3-3x+1=0 …(1)
この3次方程式は相異なる3つの実数解を持つのでこれをα、β、γとする

(1)の解のひとつをθとするとき、他の二つの解を表す最低次の整式は2次式となる
これをf(θ)=aθ^2+bθ+c、g(θ)=dθ^2+eθ+f とする 
(a,b,c,d,e,fは有理数で a≠0 d≠0)
(1)の解と係数の関係からα+β+γ=f(θ)+g(θ)+θ=0となるので
(a+d)θ^2+(b+e+1)θ+c+f=0 これが(1)の相異なる3つの解(θ)について成り立つから
a+d=0 b+e+1=0 c+f=0 よってg(θ)=-aθ^2-(b+1)θ-c …(2)

f(θ)とg(θ)の2次の係数は正負が異符号となるのでどちらか一方は正である
したがってa>0とし
f(θ)に関して以下の3式が成り立つとしても一般性を失わない

f(α)=aα^2+bα+c=β …(3)
f(β)=aβ^2+bβ+c=γ …(4)
f(γ)=aγ^2+bγ+c=α …(5)
(3)(4)(5)を辺辺加えると
a(α^2+β^2+γ^2)+b(α+β+γ)+3c=α+β+γ
(1)の解と係数の関係より 
α+β+γ=0 αβ+βγ+γα=-3 αβγ=-1
これらを代入すると
a(0^2-2(-3))+3c=0 6a+3c=0 c=-2a 

これと(3)(4)(5)から
aα^2+bα-2a=β α(aα+b)=β+2a …(6)
aβ^2+bβ-2a=γ β(aβ+b)=γ+2a …(7)
aγ^2+bγ-2a=α γ(aγ+b)=α+2a …(8)
(6)(7)(8)を辺辺かけると

αβγ(aα+b)(aβ+b)(aγ+b)=(β+2a)(γ+2a)(α+2a)
左辺=-1(a^3αβγ+a^2b(αβ+βγ+γα)+ab^2(α+β+γ)+b^3)
  =-1(-a^3-3a^2b+b^3)=a^3+3a^2b-b^3
右辺=αβγ+2a(αβ+βγ+γα)+4a^2(α+β+γ)+8a^3
  =8a^3-6a-1
よって7a^3-3a^2b-6a+b^3-1=0   …(9)

一方(6)(7)を辺辺引くと
a(α^2-β^2)+b(α-β)=β-γ
(α-β)(a(α+β)+b)=β-γ  
α+β+γ=0より α+β=-γ
(α-β)(a(-γ)+b)=β-γ …(10)以下同様に
(β-γ)(a(-α)+b)=γ-α …(11)
(γ-α)(a(-β)+b)=α-β …(12)
(10)(11)(12)を辺辺かけると

-a^3αβγ+a^2b(αβ+βγ+γα)-ab^2(α+β+γ)+b^3=1
a^3-3a^2b+b^3-1=0   …(13)

(13)を(9) へ代入すると
6a^3-6a=6a(a+1)(a-1)=0
a≠0、a>0だから a=1 
a=1 を(13)へ代入してb^3-3b=b(b^2-3)=0
bは有理数だから b=0 c=-2a=-2

したがってf(θ)=θ^2-2 g(θ)=-θ^2-θ+2
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

答えは分かりましたが、この問題は何かの意味があるのでしょうか。

x^3-3x+1=0
のひとつの解をθとするとき、他の解をθの二次式f(θ)、g(θ)とすると、
f(f(θ))=g(θ),f(f(f(θ)))=θ
g(g(θ))=f(θ),g(g(g(θ)))=θ
というような性質を持つと思います。
つまり、θの整式をmod θ^3-3θ+1で考えて、
f(f(f(θ)))=θ
となるようなθの整式fを求める問題と思います。
つまり、f○f○fが恒等関数となるような合成関数の方程式と解釈できるとは思いました。

お礼日時:2011/04/28 00:22

三次式 f(x) が有理数体 Q 上で既約であれば、


Q[x]/(f(x)) は Q の三次拡大になりますから、
他の解が θ の二次式で表されることは直ぐ判ります。
その具体的な係数はというと…どうしよう?
他の解を a+bθ+cθ^2, A+Bθ+Cθ^2 とでも置いて
解と係数の関係から方程式を立て、
a, b, c, A, B, C が有理数という条件を使って解く
とかかな。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

(1) x^3-3x+1=0
(答) -θ^2-θ+2, θ^2-2

において、一つの解をθ(ただし、θ^3-3θ+1=0)として、他の解を a+bθ+cθ^2とすると、
(a+bθ+cθ^2)^3-3(a+bθ+cθ^2)+1=0

θの次数を下げて、θ^2の係数、θの係数、定数項を比較して、

a^3-9bc^2-6abc-3a-b+c+1=0,
a^2b+9bc^2+6abc-ac^2-b^2c-2c=0,
a^2c+ab^2+3b^2c+3ac^2-bc^2+2c=0

という3変数3次3連立方程式が出てきました。
手計算だといったいどうやって解くのでしょう?
a, b, c,が有理数という条件をどう使うのでしょう?

http://www.wolframalpha.com/input/?i=a%5E3-9bc%5 …
整数解だと、確かに、(a,b,c)=(-2,0,1),(0,1,0),(2,-1,-1)がありました。
他にも実数解や複素数解があるようですが、それは何の意味があるのでしょう?

お礼日時:2011/04/21 01:47

Θを解としてもつので、元の方程式は


(x-Θ)(x^2+ax+b)=0
と書き換えることができます。これを展開して元の方程式と係数を比較すればa,bをΘで表すことができるので、これらを
x^2+ax+b=0
に代入し、その二次方程式を解いてやれば解をΘで表すことができると思います。

この回答への補足

(1) x^3-3x+1=0
(x-θ){x+θx+θ^2-3}=0
他の解は(1/2){-θ±√(12-3θ^2)}

ここで、√(12-3θ^2)}=2θ^2+θ-4

なので、他の解は、-θ^2-θ+2, θ^2-2

整数係数多項式でいうと、
(12-3θ^2)={2θ^2+θ-4}^2 mod (θ^3-3θ+1)

の2θ^2+θ-4を見つけるわけですが、どうやって見つければいいのでしょう?

整式(整数係数多項式)の平方剰余の相互法則というものはあるのでしょうか?

補足日時:2011/04/21 16:02
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

しかし、x^2+ax+b=0を解の公式で解いても、根号が出てきて整式にならないですが。

お礼日時:2011/04/19 23:30

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Q連立一次方程式の解全体にはどんな種類があるのでしょうか?

連立一次方程式の解全体にはどんな種類があるのでしょうか?


画像に問題が添付してあります。


一つ目の
{x =C1 より (x) (C1)
{ y =C2 (y) = (C2)
{ z =C3 (z) (C3) 」

それと後3つあるみたいです。 わかる方いましたらご教授お願いします!

Aベストアンサー

3元の連立方程式に関する問いが難しければ,まず2元で考えてみましょう。

2つの平面の共通部分は
A.平面(2つの平面が一致しているとき)
B.空集合(2つの平面が平行なとき)
C.直線(それ以外のとき)
ですね。

それでは3つの平面の共通部分はどうなるかと言えば,2つの平面の共通部分ともう一つの平面の共通部分です。
A.2つの平面の共通部分が平面のときからは,
A1.平面
A2.空集合
A3.直線
が出てきて
B.2つの平面の共通部分が空集合のときからは
B1.空集合
だけですね。
C.2つの平面の共通部分が直線のときからは
C1.空集合(直線と平面が平行なとき)
C2.点(それ以外のとき)

結局,
1.平面
2.空集合
3.直線
4.点
になることが分かりました。

Q3次方程式の1つの解から他の解を導く公式

有理係数の整式 f(x)=x^3+ax^2+bx+c は有理数の範囲で因数分解できなく,

d=√(a^2b^2-4a^3c+18abc-4b^3-27c^2)
   
が有理数であるとする.
このとき,方程式 f(x)=0 の1つの解をθとするとき,他の解をθの最低次の整式として表せ.

(答)(-1/2)(θ+a)±(1/2d){2(-a^2+3b)θ^2+(-2a^3+7ab-9c)θ-a^2b-3ac+4b^2}

dはどこから出てきたのかも含めて、最低次の整式が答えのようになる計算ががまったくわかりません。

Aベストアンサー

有理係数三次方程式 F(x)=0 が異なる3実解 α, β, γ を持つとして、
α, β, γ の内任意の1個を θ とすると、他の2個が f(θ), g(θ)
と表されるような有理係数多項式 f, g で最低次数のモノを求める。

F(x)=0 の解集合が {α, f(α), g(α)} とも {β, f(β), g(β)} とも
{γ, f(γ), g(γ)} とも書けることから、
f(α)=β, f(β)=γ, f(γ)=α または α=f(β), β=f(γ), γ=f(α)
でなければならない。なぜなら、
例えば f(α)=β、f(β)=α だとすると、g(γ)=γ ということになり、
{γ, f(γ), g(γ)} の元が3個でなくなってしまうから。
α=f(β), β=f(γ), γ=f(α) の場合は g(α)=β, g(β)=γ, g(γ)=α
となるから、f と g の名前を適切に交換することで
f(α)=β, f(β)=γ, f(γ)=α とできる。このような f を求めよう。

ところで、題意ようなの多項式 f, g が存在したとすれば、
θ が三次の消去多項式を持つことから、f, g を夫々 F で割った余りも
題意を満たす。よって、最低次数の f, g は二次以下である。
f(x) = Ax^2 + Bx + C と置く。

f(α) = Aα^2 + Bα + C = β,
f(β) = Aβ^2 + Bβ + C = γ,
f(γ) = Aγ^2 + Bγ + C = α.
となる訳だが、これは、α, β, γ についての一次方程式であり、
α, β, γ が夫々異なるという条件下では正則となる。
実際に解くと、
A = { (α^2 + β^2 + γ^2) - (αβ + βγ + γα) } / D,
B = { (αβ^2 + βγ^2 + γα^2) - (α^3 + β^3 + γ^3) } / D,
C = { (α^3β + β^3γ + γ^3α) - (α^2β^2 + β^2γ^2 + γ^2α^2) } / D,
D = (α - β)(β - γ)(α - γ).
となる。

A の分子は、α, β, γ の対称な多項式だから、解と係数の関係により
F の係数の代数式で表される。よって有理数である。
したがって、A が有理数であることは、D が有理数であることと同値。

(α^2β + β^2γ + γ^2α) - (αβ^2 + βγ^2 + γα^2) = D,
(α^2β + β^2γ + γ^2α) + (αβ^2 + βγ^2 + γα^2) = (α + β)(β + γ)(α + γ) - 2αβγ.
という恒等式が成立つことから、D が有理数であれば、
(α^2β + β^2γ + γ^2α) と (αβ^2 + βγ^2 + γα^2) も有理数であり、
B も有理数になる。

連立方程式が C = { (α + β + γ)(1 - B) - (α^2 + β^2 + γ^2)A } / 3
と変形できることから、A, B が有理数であれば、C も有理数になる。

以上より、f が有理係数である必要十分条件は D が有理数であることと判る。
D は F の「差積」と呼ばれ、F の判別式の √ であることが知られている。

…後半、具体的な式計算の話にしてしまったので、
高次方程式への一般化には向かない考察になってしまった。

有理係数三次方程式 F(x)=0 が異なる3実解 α, β, γ を持つとして、
α, β, γ の内任意の1個を θ とすると、他の2個が f(θ), g(θ)
と表されるような有理係数多項式 f, g で最低次数のモノを求める。

F(x)=0 の解集合が {α, f(α), g(α)} とも {β, f(β), g(β)} とも
{γ, f(γ), g(γ)} とも書けることから、
f(α)=β, f(β)=γ, f(γ)=α または α=f(β), β=f(γ), γ=f(α)
でなければならない。なぜなら、
例えば f(α)=β、f(β)=α だとすると、g(γ)=γ ということになり、
{γ, f(γ), g(γ)} の元が3個でなくなってしまうから...続きを読む

Q2次方程式の解の種類

2つの2次方程式9x2+6ax+4=0…(1),x2+2ax+3a=0…(2)が次の条件を満たすように定数aの値の範囲を定めよ。
(1)少なくとも一方が虚数解をもつ

(2)(1)のみが虚数解をもつ

問題集の解答には
(1)の場合は「D1<0かつD2<0で解きなさい」と書いてあります。
(2)の場合は「D1<0またはD2<0で解きなさい」と書いてあります。
皆さんはこれを覚えて解くのでしょうか?
皆様のお力をお貸しください。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

こんばんわ。

>皆さんはこれを覚えて解くのでしょうか?
この「解答」を丸々覚えても、ほとんど意味はないと思います。

いまの問題は、「虚数解をもつ」と「虚数解をもたない=実数解をもつ」の 2つがありますね。
一つずつ、言い換えていくことを考えます。
★(1)少なくとも一方が虚数解をもつ
少なくとも一方ということは、
・(1)だけが虚数解をもつ((2)は実数解をもつ)
・(2)だけが虚数解をもつ((1)は実数解をもつ)
・(1)も(2)も虚数解をもつ

という場合分けができます。

ところが、ここには現れていない組み合わせがありますね。
それは、「(1)も(2)も実数解をもつ」という組み合わせです。
これは「少なくとも一方が虚数解をもつ」ということの否定になっています。

解き方は 2とおりあります。
・一つ目は、上に挙げた 3つの組み合わせを満たす範囲をそれぞれ求めて、
その範囲を足し合わせる方法です。
ただし、一番目と二番目の範囲を足し合わせると、三番目の範囲はそこに含まれることになります。

・もう一つは、「(1)も(2)も実数解を持つ」という範囲を求めて、全体(実数全体)からその範囲を除く方法です。


★(2)(1)のみが虚数解をもつ
これは、
・(1)だけが虚数解をもつ((2)は実数解をもつ)

ということですから、この両方を満たす範囲を素直に求めます。

範囲を求めるところでは、数直線を用いて考えると考えやすいと思います。


と考えると、問題集の解答は間違っていませんか?
D1、D2はおそらく判別式のことだと思いますので、
(1)の場合は、D1< 0 または D2< 0 で解きなさい。
(2)の場合は、D1< 0 かつ D2≧ 0で解きなさい。

ではないでしょうか。

こんばんわ。

>皆さんはこれを覚えて解くのでしょうか?
この「解答」を丸々覚えても、ほとんど意味はないと思います。

いまの問題は、「虚数解をもつ」と「虚数解をもたない=実数解をもつ」の 2つがありますね。
一つずつ、言い換えていくことを考えます。
★(1)少なくとも一方が虚数解をもつ
少なくとも一方ということは、
・(1)だけが虚数解をもつ((2)は実数解をもつ)
・(2)だけが虚数解をもつ((1)は実数解をもつ)
・(1)も(2)も虚数解をもつ

という場合分けができます。

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Q0°≦θ≦180°のとき、次の方程式、不等式を解け

0°≦θ≦180°のとき、次の方程式、不等式を解け。
(1)2sinθ-1=0
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単位円を利用して解けば簡単に解けると思いますが…。

単位円の使い方は学習してないですか?

出来る所までやって、分からない所を質問して下さい。

以下単位円を描いてθ(の範囲)を求めて下さい。
(1)
sinθ=1/2
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(2)
cosθ=-1/√2
θ=135°

(3)
tanθ=1/√3
θ=30°

(4)
cosθ<1/2
60°<θ≦180°

(5)
1/√2≦sinθ<√3/2
45°≦θ<60°,120°<θ≦135°

(6)
-1<√3tanθ<3
-1/√3<tanθ<√3
0°≦θ<60°,150°<θ≦180°

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中学数学のプリントつくりをしているのですが、来年の改定に向けて
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例えば当方の地域では啓林館が使われています。
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「割合」は啓林館の場合中2から出てきます。
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生徒が混乱するので教科書以外のパターンはあまり問題を作りたくないと考えております。
是非そのあたりをお教えくださればと思います。
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問題集に付いている移行措置用の補助教材を見た時に、
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Q連立斉次1次方程式が自明な解以外の解を持つ条件の証明

連立斉次1次方程式が自明な解以外の解を持つ条件の証明

お世話になります。
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よってdetA=0が必要条件なのは証明できますが、十分条件が分かりません。
どなたかご教授お願いします。

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#1、3です

基本行列は3つ性質をもつ行列で、左からかけた場合
(1)i行目をα≠0倍する
(2)i行目とj行目を入れ替える
(3)i行目をβ倍した行をj行目に加える
となる行列のことです。

たとえば、3次の行列
{a,b,c}
{d,e,f}
{g,h,i}
に対し
(1)
{1,0,0}
{0,1,0}
{0,0,4}
を掛けると
{a ,b ,c }
{d ,e ,f }
{4g,4h,4i}
になり、3行目が4倍されます。
1行目、2行目も同様です

次に
(2)
{0,0,1}
{0,1,0}
{1,0,0}
を掛けると
{g,h,i}
{d,e,f}
{a,b,c}
のように、1行目と3行目が入れ替わります。

最後に
(3)
{1,0,0}
{2,1,0}
{0,0,1}
をかけると
{a ,b ,c }
{d+2a,e+2b,g+2c}
{g ,h ,i }
になります。

基本行列はみな行列式が0でなく正則な行列で、ガウスの消去法における各ステップの操作を表しています。

#1、3です

基本行列は3つ性質をもつ行列で、左からかけた場合
(1)i行目をα≠0倍する
(2)i行目とj行目を入れ替える
(3)i行目をβ倍した行をj行目に加える
となる行列のことです。

たとえば、3次の行列
{a,b,c}
{d,e,f}
{g,h,i}
に対し
(1)
{1,0,0}
{0,1,0}
{0,0,4}
を掛けると
{a ,b ,c }
{d ,e ,f }
{4g,4h,4i}
になり、3行目が4倍されます。
1行目、2行目も同様です

次に
(2)
{0,0,1}
{0,1,0}
{1,0,0}
を掛けると
{g,h,i}
{d,e,f}
{a,b,c}
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Q2種類の文字が入った方程式

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3/x = (3+2)/(x+y)
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3/x=5/(x+y)両辺にxをかける
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右辺の1/(x+y)を左辺に移項する場合、【両辺に(x+y)をかけるから右辺は5x(x+y)/(x+y)=5xに】左辺には(x+y)をかけることになるニャ。
3=5x/(x+y)両辺に(x+y)をかける
3(x+y)=5x

 ちなみに慣れたら【 】は飛ばして良いニャ。また右辺と左辺を同時に計算するニャ。
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3(x+y)=5x

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という解き方ができるようなんですが、何が起こってるのかがよくわかりません。
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よろしくお願いします。

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cosxとcosyの値が一致するのはどんな場合かを考えます。

(1) 角度が全く同じ時。
xとyが全く同じ角度なら、当然cosxとcosyは同じ値ですよね。
まずこれが基本です。

さらに角度の世界では、360°回転すると元に戻ります。
このことを考えるとx = y + 360°やx = y + 720°やx = y - 360°の時も
cosxとcosyの値が同じになるはずですよね。
ここからcosx = cosyとなるのはx = y + 360°× nの時だとわかります。

(2) 角度の正負だけが異なり、絶対値が同じ時。
cos(-θ) = cosθになるということは習ったと思います
(cosは単位円円周上のx座標なので、
同じx座標をとる角度なら、同じcos値になります。
よってcos(-θ) = cosθです)。
これより、x = -yの時もcosx = cosyが成り立つことになります。

先ほどと同様に、角度の世界では360°回転すると元に戻ります。
よってx = -y + 360°やx = -y + 720°、x = -y - 360°の時も
cosxとcosyの値が同じになるはずですよね。
ここからcosx = cosyとなるのはx = -y + 360°× nの時だとわかります。

(1), (2)よりx = ±y + 360° × nの時、
cosxとcosyは同じ値になります。

cosxとcosyの値が一致するのはどんな場合かを考えます。

(1) 角度が全く同じ時。
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cosxとcosyの値が同じになるはずですよね。
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Q【数学】2次方程式どうしの足算、引算

私が使っている数学の参考書に
「2種類の方程式を足したりひいたりしてできる方程式の解は元の方程式の解であるとは限らない」
という旨の文章が載っているのですが、この文章が載っているということは方程式どうしの足算や引算ができるということですよね?

ですが、2つの2次方程式が足したりひいたりできるという考え方がいまいち理解できません。
たとえば、

2x^2-1=0…(1)

という2次方程式と

x^2-4=0…(2)

という2次方程式があるとします。

この2式は単純に足したりひいたりできるのでしょうか?

「連立方程式は2つの式の文字がどちらも一定であるという前提があって成り立つわけじゃないですか。でもこの場合はxがそれぞれまったく別の数字だから足したりひいたりするのは不可能なのでは」
というのが私の意見なのですが…(この場合は連立方程式とは関係がないのかもしれませんが)

以上が質問の内容です。
長くなってしまいごめんなさい。まとめると

文字が1種類の方程式どうしを単純に足したりひいたりできるのか?

ということです。

本当に初歩的な質問だとは思いますが回答していただけるとうれしいです。

私が使っている数学の参考書に
「2種類の方程式を足したりひいたりしてできる方程式の解は元の方程式の解であるとは限らない」
という旨の文章が載っているのですが、この文章が載っているということは方程式どうしの足算や引算ができるということですよね?

ですが、2つの2次方程式が足したりひいたりできるという考え方がいまいち理解できません。
たとえば、

2x^2-1=0…(1)

という2次方程式と

x^2-4=0…(2)

という2次方程式があるとします。

この2式は単純に足したりひいたりできるのでしょうか?

「連立...続きを読む

Aベストアンサー

連立方程式を加減法で解く際に、2つの式を縦に並べて足し算(または引き算)しますよね?
それが「2つの方程式を足したり引いたりする」ということです。

ですから、文字が1種類の方程式同士を足したり引いたりすることももちろんできます。
ただし、【連立方程式であることが条件】です。
質問者さんの言葉を使うならば、
「2つの式の文字がどちらも一定であるという前提」が成り立っている必要がある、ということです。


(1)と(2)が連立方程式である場合は、「(1)のxも(2)のxも同じ」はずです。
この場合は足したり引いたりすることは可能です。(解があるかどうかは別として)
しかし、(1)と(2)が連立方程式でない場合は、(1)のxと(2)のxは別物ですから、
足したり引いたりすることはできません。

Q3次方程式x^3-3x-p=0 (p定数)の実数解のうち最大なものと最

3次方程式x^3-3x-p=0 (p定数)の実数解のうち最大なものと最小なもの
との積をf(p)する。ただし、実数解が1つのときはそれを2乗する。
pがすべての実数とするとき、f(p)の最小値を求めよ。

次のように考えましたが、よいでしょうか。
与式が実数解を少なくとも2つもち、最小値を考えるから、pの範囲を-2<=p<=0とする。
与式の解をα、β、r とし、α<0<β<=rのときで考えば十分である。
解と係数の関係から、
α+β+r=0,αβ+βr+rα=3,αβr=p
最小値より、αrの値を考えればよい。αr=kとおくと、
3本の式から、k^3+3k^2-p^2=0 ・・*
-2<=p<=0より、0<=p^2<=4 で、*の実数解の最小値を考えると
k=-3となる。

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

#1です。

>y=x^3-3xのグラフの対称性、また、明らかに最小値はマイナスから、
>pの範囲を-2<=p<=0とし、(i)は除かれるとしました。
このあたりをきちんと説明できていれば、-2≦ p≦ 2の範囲に限定することができますね。
ただし、いきなりこの範囲に限定するとしてしまうと、確実に減点をくらいます。

たとえば、
-----------------------------------------------------
方程式:x^3- 3x- p= 0の解は、曲線:y= x^3- 3xと直線:y= pの共有点の x座標として与えられる。
g(x)= x^3- 3xとおいて、y= g(x)のグラフを考えると図のようになり(グラフの概形を描いておいて)、
(i) p< -2, 2< pのとき、実数解は 1個
(ii) p= ±2のとき、実数解は 2個
(iii) -2< p< 2のとき、実数解は 3個

となる。
(i)のとき、明らかに f(p)> 0である。
また、(ii), (iii)のときには、グラフの対称性より f(p)< 0となる。-----------------------------------------------------

このくらいまで論じておかないといけません。
逆にここまでだけでもかけておけば、入試ではある程度点数がもらえるとは思います。

#1です。

>y=x^3-3xのグラフの対称性、また、明らかに最小値はマイナスから、
>pの範囲を-2<=p<=0とし、(i)は除かれるとしました。
このあたりをきちんと説明できていれば、-2≦ p≦ 2の範囲に限定することができますね。
ただし、いきなりこの範囲に限定するとしてしまうと、確実に減点をくらいます。

たとえば、
-----------------------------------------------------
方程式:x^3- 3x- p= 0の解は、曲線:y= x^3- 3xと直線:y= pの共有点の x座標として与えられる。
g(x)= x^3- 3xとおいて、y= g(x)の...続きを読む


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