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ナブラ ∇

ナブラは1階の偏微分作用素です。
ナブラによって、勾配・発散・回転が定義されます。

勾配はスカラー関数をベクトル関数へ変換する微分。
発散はベクトル関数をスカラー関数へ変換する微分。
回転はベクトル関数をベクトル関数へ変換する微分。

ここで、質問なのですがスカラー関数をスカラー関数
へ変換する微分というのは存在しないのでしょうか?

具体的な例なども示して頂けるとありがたいです。


以上、よろしくお願い致します。

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A 回答 (4件)

>勾配はスカラー関数をベクトル関数へ変換する微分。


>発散はベクトル関数をスカラー関数へ変換する微分。
>回転はベクトル関数をベクトル関数へ変換する微分。

さらに限定的に言うならばこれらは空間微分です。ベクトル演算子ナブラの定義から明らかです。

>ここで、質問なのですがスカラー関数をスカラー関数
へ変換する微分というのは存在しないのでしょうか?

いろんな意味合いに採れますがたとえば勾配を考えるとき
実質的に一次元で十分な時は該当するでしょう。
たとえば細長い棒状物体の温度分布は長さ方向の微分で十分なことが多いでしょう。
これはたとえば管路内を流れる流体の流速の場合も同じで、
流速の軸方向の成分が主として研究対象となり、
このような流れをone dimenshinal flowといいます。

また、見方を変えるとスカラー関数φの勾配(ベクトル)の発散(結果はスカラー)を求める演算は
結果としてスカラーからスカラーへの微分といえます。
このような演算子がラプラシアン△です。

△φ=div・gradφ=∇・∇φ

△φ=δ^2φ/δx^2+δ^2φ/δy^2+δ^2φ/δz^2はベクトルは介在していませんが
div・gradφはgradφで作ったベクトルのdivをとることによってスカラーに変換しています。

この回答への補足

ご回答ありがとうございます。
私は、スカラー関数の発散を求める操作があるのでは?と考えたのですが、発散の物理的な意味は
速度場(流体)においての、単位時間辺りの体積を求める事だと理解したので、スカラー場での発散はないですよね?

スカラー関数の勾配の発散は物理もしくは、工学の場で用いられる事はあるのでしょうか?

補足日時:2011/07/02 10:41
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございました。

お礼日時:2011/07/27 18:16

何かテキトーな定数ベクトル u を持ってきて


u・∇ も、スカラーからスカラーへですが…
|u|=1 だと、方向微分とか言いますよね。
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こんにちは。


覚えたては楽しいものですよね。

Aを三次元ベクトル(Ax,Ay,Az)と置いて、

勾配: ∇A = (∂Ax/∂x,∂Ay/∂y,∂Az/∂z)

発散: ∇・A = ∂Ax/∂x + ∂Ay/∂y + ∂Az/∂z

回転: ∇×A = (∂Az/∂y-∂Ay/∂z,∂Ax/∂z-∂Az/∂x,∂Ay/∂x-∂Ax/∂y)

以上で登場したもののうち唯一のスカラーは、∇・A ですよね。
ですから、∇ を使ってスカラーをスカラーにするということは、
∇ と ∇・A の内積である ∇・(∇・A) を取るということなので、
∇^2・A = ∇・(∇・A) = ∂^2Ax/∂x^2 + ∂^2Ay/∂y^2 + ∂^2Az/∂z^2

∇の2乗のように表す演算子のことをラプラシアンと呼び、Δと表します。
∇^2 = Δ
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A9%E3%83%97% …
ただし、
ΔA の例は思いつきますが、Δ・A の例は思い浮かびません・・・
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スカラとベクトルからどのようにスカラを導けばいいのでしょうか?

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Qgrad、div、∇

物理なのか、数学なのかという感じなのですが・・・。

まず、grad、div、∇について、分かりやすく教えていただけませんか?。
それから、たとえば、圧力pがあったとして、「grad p」の物理的意味を教えて頂けるとうれしいです。

数学も物理も苦手なので、詳しく分かりやすく教えて頂けると幸いです。

よろしくお願い致します。

Aベストアンサー

ふつうの関数 f(x) では,x を動かしたとき,
f(x)の変化の様子が f'(x) = df(x)/dx で表されますね.
これの3次元版が grad と思えばOKです.

例えば,圧力 p なら,それが一般には場所によって変わります.
x,y,z の3座標で場所が指定できますから,p は x,y,z の関数で
p(x,y,z) と書けばよろしい.
そこで,場所を動かしたとき,p の変化の様子が知りたいとします.
でも,動かすと言ったって3次元なんだから,方向を決めないと困ります.
そりゃ,そうですよね.
大気圧考えてみれば,今いる場所から
水平方向に 10km 動いたってあまり気圧は変わりませんが,
空の方向に 10km 動けばエベレスト
(最近は,チョモランマとかサガルマータとか呼ぶかな)
より高くなって,気圧はうんと下がっちゃいます.
で,y,z 方向には全く動かず,x 方向にだけ動いたとします.
このときの p の変化の割合は,偏微分を使って ∂p(x,y,z) / ∂x ですね.
同様に,x,z を固定して y だけ動かせば,変化の割合は ∂p(x,y,z) / ∂y,
x,y を固定して z だけ動かせば,変化の割合は ∂p(x,y,z) / ∂z.
つまり,以上の3つの偏微分で変化の様子がわかります.
ばらばらに3つ扱ってもいいですが,
ベクトル表示にして
x 成分が ∂p(x,y,z) / ∂x,
y 成分が ∂p(x,y,z) / ∂y,
z 成分が ∂p(x,y,z) / ∂z,
というベクトルにしたのが grad p です.
ベクトルにしておくと,
表示が簡単なことの他にもいろいろ便利なことがあります.

なお,creol さんの回答ははちょっと混乱されているようです.
p は圧力(の強さ)そのもの,grad p は p の変化の割合です.
その場所での圧力は p です.

div は,creol さんも書かれているように,発散です.
極限値が発散する,などの発散とは全く違いますので,念のため.
例えば,水流中に仮想的な直方体を考えてください.
水流は流れの方向がありますからベクトル量ですね.
で,場所にもよりますから,j(x,y,z) と書きましょう.
テキストファイルじゃうまく書けないですが,j はベクトルです.
この直方体の面を通って単位時間あたりに流れ出ていく水量(流出量)が
本質的に div j です(本当はちょっと修正がいる,後述).
直方体の6面分全部考えてくださいよ.
水量ですから,スカラー量ですね.
え? 流出量ばかりじゃ直方体の中の水がどんどん減っちゃう?
ええ,それでいいんです.
つまり,div j は直方体の中の水量ρ
(スカラー量,本当は密度ですが)
の単位時間あたりの減少分を表しています.
式で書くなら, div j = - ∂ρ / ∂t です.
右辺のマイナスは減少だからついているんです.
ふつうの水流(例えば,川なんか)なら?
div j の計算のときに,流出量をプラスとして考えているので,
入ってくる分(流入量)はマイナスで考えてください.
ごくふつうに川が流れているとき,
上流の方から流入量と,
下流側への流出量は同じですよね.
そうすると,プラマイうち消して,div j = 0,
直方体の中の水量は時間変化しません.

え,直方体の大きさ?
あ,それはですね,十分小さくとってください.
小さくとれば,流入量も流出量も小さくなっちゃう?
実は,正味の流出量を直方体の体積で割って
直方体を小さくした極限が本当の div j です
ρが本当は密度だと言ったのもこういうところと関係があります.

微分で表現すれば
div j(x,y,z)
= ∂jx(x,y,z) / ∂x + ∂jy(x,y,z) / ∂y + ∂jz(x,y,z) / ∂z
です.
jx は j の x 成分,他も同様.


∇の記号は creol さんの書かれているとおり.
読み方は「ナブラ」(nabla) です.
ちょっと変わった名前ですが,
竪琴(形が似ている)のギリシヤ語名から来ています.

grad,div,と並んでベクトル解析でよく出てくるものに
rot (rotation,回転)があります.

わかりやすく,ということで回答してみました.

ふつうの関数 f(x) では,x を動かしたとき,
f(x)の変化の様子が f'(x) = df(x)/dx で表されますね.
これの3次元版が grad と思えばOKです.

例えば,圧力 p なら,それが一般には場所によって変わります.
x,y,z の3座標で場所が指定できますから,p は x,y,z の関数で
p(x,y,z) と書けばよろしい.
そこで,場所を動かしたとき,p の変化の様子が知りたいとします.
でも,動かすと言ったって3次元なんだから,方向を決めないと困ります.
そりゃ,そうですよね.
大気圧考えてみれば,今いる...続きを読む

Q円筒座標系でのナブラ、ラプラシアン

流体力学のナビエ・ストークス方程式を
勉強しています。

途中で、円筒座標系における
ナブラ∇、およびラプラシアンΔ
が出てきて、
∇=(∂/∂r, ∂/r∂θ, ∂/∂z)
Δ=∂^2/∂r^2 + ∂/r∂r + ∂^2/(r^2∂θ^2) + ∂^2/∂z^2
となっています。
なぜ、変なところでrで割り算したり、
ラプラシアンの項が四つになったりしているのでしょうか。
どなたか分かる方、教えていただきたいです。

Aベストアンサー

 
 
 円筒(または円柱)座標ですね;

  x → r  長さ→長さ
  y → θ 長さ→角度
  z → z  長さ→長さ

 時計の針がちょっと回転したとき、先端の動きは 針の長さ方向と直交してますね。x と y のように。
針の長さを r、ちょっとの回転角度を dθ とすれば
先端の動きは r dθ です。
dr を dx だとすれば、それに直交する dy は r dθです、
つまり、
  ∇=(∂/∂x, ∂/∂y,   ∂/∂z)
  ∇=(∂/∂r, ∂/r∂θ, ∂/∂z)


 △の方は、(r^2∂θ^2) が dy^2 だと気付いて欲しいんですが、微分の基本の公式
  (fg)' = f'g + fg'
で、項を増やしたあとのようですね。
ご自分で確認してください。
 
 

Qエクセルで計算すると2.43E-19などと表示される。Eとは何ですか?

よろしくお願いします。
エクセルの回帰分析をすると有意水準で2.43E-19などと表示されますが
Eとは何でしょうか?

また、回帰分析の数字の意味が良く分からないのですが、
皆さんは独学されましたか?それとも講座などをうけたのでしょうか?

回帰分析でR2(決定係数)しかみていないのですが
どうすれば回帰分析が分かるようになるのでしょうか?
本を読んだのですがいまいち難しくて分かりません。
教えてください。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

★回答
・最初に『回帰分析』をここで説明するのは少し大変なので『E』のみ説明します。
・回答者 No.1 ~ No.3 さんと同じく『指数表記』の『Exponent』ですよ。
・『指数』って分かりますか?
・10→1.0E+1(1.0×10の1乗)→×10倍
・100→1.0E+2(1.0×10の2乗)→×100倍
・1000→1.0E+3(1.0×10の3乗)→×1000倍
・0.1→1.0E-1(1.0×1/10の1乗)→×1/10倍→÷10
・0.01→1.0E-2(1.0×1/10の2乗)→×1/100倍→÷100
・0.001→1.0E-3(1.0×1/10の3乗)→×1/1000倍→÷1000
・になります。ようするに 10 を n 乗すると元の数字になるための指数表記のことですよ。
・よって、『2.43E-19』とは?
 2.43×1/(10の19乗)で、
 2.43×1/10000000000000000000となり、
 2.43×0.0000000000000000001だから、
 0.000000000000000000243という数値を意味します。

補足:
・E+数値は 10、100、1000 という大きい数を表します。
・E-数値は 0.1、0.01、0.001 という小さい数を表します。
・数学では『2.43×10』の次に、小さい数字で上に『19』と表示します。→http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8C%87%E6%95%B0%E8%A1%A8%E8%A8%98
・最後に『回帰分析』とは何?下の『参考URL』をどうぞ。→『数学』カテゴリで質問してみては?

参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%9E%E5%B8%B0%E5%88%86%E6%9E%90

★回答
・最初に『回帰分析』をここで説明するのは少し大変なので『E』のみ説明します。
・回答者 No.1 ~ No.3 さんと同じく『指数表記』の『Exponent』ですよ。
・『指数』って分かりますか?
・10→1.0E+1(1.0×10の1乗)→×10倍
・100→1.0E+2(1.0×10の2乗)→×100倍
・1000→1.0E+3(1.0×10の3乗)→×1000倍
・0.1→1.0E-1(1.0×1/10の1乗)→×1/10倍→÷10
・0.01→1.0E-2(1.0×1/10の2乗)→×1/100倍→÷100
・0.001→1.0E-3(1.0×1/10の3乗)→×1/1000倍→÷1000
・になります。ようするに 10 を n 乗すると元の数字になるた...続きを読む

Q単位法線ベクトルの問題なんですが。。。

曲面 4x^2y+z^3 = 4 上の点P(1, -1, 2)における単位法線ベクトルnを求めよ.

という問題です.

他の質問を見てf = (x,y,z) = 4x^2y+z^3-4
とするのはわかったのですがgradfがわからないです。。。

Aベストアンサー

未消化のgrad fを使わなくても以下のように出来ます。
いずれにしてもただ丸写しするのではなく教科書や講義ノートや参考書など
を復習して基礎的なことを勉強して、理解するだけの自助努力が大切です。

f(x,y,z)=4(x^2)y+z^3-4=0

全微分して
 8xydx+4(x^2)dy+3(z^2)dz=0

点P(1,-1,2)の座標を代入
 -8dx+4dy+12dz=0
 4(-2,1,3)・(dx,dy,dz)=0
法線ベクトル:±(-2,1,3)
 |(-2,1,3)|=√(4+1+9)=√14
単位法線ベクトルn=±(-2,1,3)/√14

Qrotの計算について

添付した画像の計算方法を教えてください。
途中経過も詳しくご教授いただけると助かります。
よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

ベクトルA↑(Ax,Ay,Az)に対してrotを作用させるということは

B↑=(Bx,By,Bz)=rot(A↑)

Bx=∂Az/∂y-∂Ay/∂z

By=∂Ax/∂z-∂Az/∂x

Bz=∂Ay/∂x-∂Ax/∂y

を求めることです。

問題の2次元ベクトルのrotは面に巣直な方向、すなわちz方向のベクトルを求めることになります。

これは上の演算から自動的に出てきます。v↑(vx,vy,0)とすると

Bx=∂vz/∂y-∂vy/∂z=-∂vy/∂z=-∂(3x-5y)/∂z=0

By=∂vx/∂z-∂vz/∂x=∂vx/∂z=∂(2x-4y)/∂z=0

Bz=∂vy/∂x-∂vx/∂y=∂(3x-5y)/∂x-∂(2x-4y)/∂y=3+4=7

答え

rot(v↑)=(0,0,7)

Q偏微分の記号∂の読み方について教えてください。

偏微分の記号∂(partial derivative symbol)にはいろいろな読み方があるようです。
(英語)
curly d, rounded d, curved d, partial, der
正統には∂u/∂x で「partial derivative of u with respect to x」なのかもしれません。
(日本語)
ラウンドディー、ラウンドデルタ、ラウンド、デル、パーシャル、ルンド
MS-IMEはデルで変換します。JIS文字コードでの名前は「デル、ラウンドディー」です。

そこで、次のようなことを教えてください。
(1)分野ごと(数学、物理学、経済学、工学など)の読み方の違い
(2)上記のうち、こんな読み方をするとバカにされる、あるいはキザと思われる読み方
(3)初心者に教えるときのお勧めの読み方
(4)他の読み方、あるいはニックネーム

Aベストアンサー

こんちには。電気・電子工学系です。

(1)
工学系の私は,式の中では「デル」,単独では「ラウンドデルタ」と呼んでいます。あとは地道に「偏微分記号」ですか(^^;
その他「ラウンドディー」「パーシャル」までは聞いたことがあります。この辺りは物理・数学系っぽいですね。
申し訳ありませんが,あとは寡聞にして知りません。

(3)
初心者へのお勧めとは,なかなかに難問ですが,ひと通り教えておいて,式の中では「デル」を読むのが無難かと思います。

(4)
私はちょっと知りません。ごめんなさい。ニックネームは,あったら私も教えて欲しいです。

(2)
専門家に向かって「デル」はちょっと危険な香りがします。
キザになってしまうかどうかは,質問者さんのパーソナリティにかかっているでしょう(^^

*すいません。質問の順番入れ替えました。オチなんで。

では(∂∂)/

Q微分演算子の平方について

量子力学においては、演算子(作用素)はスカラーと同等と見なされ、また例えば運動量のx方向成分はPx=h/(2πi)(∂/∂x)で表され、エネルギーの次元にするためPxを2乗すると、{h/(2πi)(∂/∂x)}^2={h^2/(4π^2i^2)}{∂^2/(∂x^2)}=-h^2/(4π^2){∂^2/(∂x^2)}となるようですが、{∂/(∂x)}^2=∂^2/(∂x^2)の変形、つまり1階の微分演算子の2乗が2階の微分演算子になる数学的な根拠が分かる方、説明願えればと思います。または、このような変換に付いて分かりやすく説明された文献などをご存知の方、ご紹介ください。

Aベストアンサー

物理量を、波動関数に作用する演算子として表わします。
たとえば、ある物理量[A]を表わす演算子Aが、波動関数ψに作用すると



になります。ここで、ご質問は、[A]の2乗に相当する物理量[B]が、

(Aψ)^2

ではなく、Aを2回作用させた

A(Aψ)

になるのはなぜか、ということだと思います。

物理量[A]の測定で得られる実際の値aは、

Aψ=aψ

という固有値方程式を満たす値となります。ここで、「aの2乗」を値とする物理量[B]を考えますと、これも固有値方程式を満たさなければなりませんので、

Bψ=(a^2)ψ

さて、Aψ=aψの両辺にもう一度Aを作用させると

A(Aψ)=A(aψ)

aは定数ですから、A(aψ)=a(Aψ)、よって

A(Aψ)=A(aψ)=a(Aψ)=a(aψ)=(a^2)ψ

つまり、B=AA(AAとはAを2回作用させること)とすると、(a^2)はBの固有値になります。

Q位相速度と群速度の違い

位相速度と群速度の違いがよくわかりません。
違いを教えてください。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

位相速度と群速度の定義は既に書かれている人がいるので割愛させていただきます。これがそれぞれ何を表しているか?ということですが、以下のようなものです。

○位相速度
平面はの山の間隔からもとまるものです。光速度を超える可能性があります。これは情報を伝達することが無いので相対論にも反しません。

○群速度
その名の通り群(波群)の速度です。周波数の似たような波を重ね合わせることで波束を作成し、その波束が移動する速度になります。波束は情報伝達をするので光速度を超えることが出来ません。
群速度はこのように複数の波を重ね合わせた時に始めて出てくる概念です。


具体的な式は下記のサイトを参考にして下さい。

http://letsphysics.blog17.fc2.com/blog-entry-138.html

参考URL:http://letsphysics.blog17.fc2.com/blog-entry-138.html

Q線積分、面積分とは何?

現在、大学でベクトル解析を学んでいます。
そこで、線積分や面積分といったものがでてきたのですが、計算方法はわかったのですが、何を求めているのかが
今ひとつ分かりません。
 線積分とは、定点から、線分のある点に向かう
ベクトルとそのある点における値を掛けたものを線分上の
全ての点において足し合わせたもの、面積分とはある点における面素とその点における法線を掛けたものを面上の全ての点において足し合わせたもの
 と解釈しているのですが、やはり、どこの値がでてきているのかが今ひとつ分かりません。また、これを求めることによりどんな利点があるのでしょうか?力学や電磁気等を理解するには必須みたいですが・・・。
 よろしければ、回答お願いいたします。

Aベストアンサー

積分といえば単純に体積を求めたり、面積を求めたりするもの、と考えている人が少なからずいると思いますが、それだけではありません。高校の最後の方で学んでいるはずですが、道のりや速さなどありとあらゆるものを計算することもできます。

一言で言えば、積分とは「(無限小に)細かくわけて足し算すること。」に他なりません。

こういった視点からみてみますと、線積分とは「なにがしかの線を細かく分けて調べ、それをすべて足し合わせることによってその線全体の性質を調べること」を意味します。

例えば、「太さが一定でなく、とある関数であらわされているような紐の重さを計算する」というのが一つの例になるでしょう。

一方、面積分とは同じように書くならば、「何がしかの曲面を細かく分けて調べ、その量をすべて足し合わせることによって面全体の性質を調べること」になります。

例としては、日本全体の人口密度分布が分かっているときに、日本全体の人口を求めること、や、地価の分布が何らかの関数であらわされているとき、その地方の土地の値段の総量を求めるような計算が面積分です。

*******************************************
以上のようだそうです.

積分といえば単純に体積を求めたり、面積を求めたりするもの、と考えている人が少なからずいると思いますが、それだけではありません。高校の最後の方で学んでいるはずですが、道のりや速さなどありとあらゆるものを計算することもできます。

一言で言えば、積分とは「(無限小に)細かくわけて足し算すること。」に他なりません。

こういった視点からみてみますと、線積分とは「なにがしかの線を細かく分けて調べ、それをすべて足し合わせることによってその線全体の性質を調べること」を意味します。

例...続きを読む

Q1/(1-x)や1/(1+x)の積分形

あまりに簡単な問題ですいません。
1/(1-x)の積分形
1/(1+x)の積分形
を教えてください。

それと1/xの積分形はLog(x)と本に載っていますが
Ln(x)でも良いのでしょうか?

30歳を過ぎて頭がぼけてしまいました。
なにとぞ宜しく御願いします。

Aベストアンサー

∫1/(1-x)dx=-log(1-x)+C
∫1/(1+x)dx=log(1-x)+C

1/xを積分したときのlog(x)(正しくはlog|x|)は
常用対数(底が10)ではなく自然対数(底がe=2.71828183...)
なのでLn(x)と同じ意味です


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