数学の問題です

不定積分∫dx/x^3＋1を計算せよ。
よろしくお願いします。

No.1 回答者： Takuya0615 回答日時： 2011/11/22 14:40

１／ｘ＾３＋１を積分すればいいのでは？

－１／３ｘ＾２＋ｘ＋C（積分定数）

No.2 回答者： FT56F001 回答日時： 2011/11/22 14:57

∫dx/(x^3+1)だったらだいぶ難しくて，

log((x+1)^3/(x^3+1))/6 + arctan((2x-1)/sqrt(3))/sqrt(3)になる。

この回答へのお礼

最初は楽勝だと思ったんですが...orz
回答ありがとうございます。

お礼日時：2011/11/22 15:51

No.3 ベストアンサー 回答者： info22_ 回答日時： 2011/11/22 15:15

1/(x^3+1)=1/{(x+1)(x^2-x+1)}

=(1/3)/(x+1) -(1/3)(x-2)/(x^2-x+1)
=(1/3)/(x+1) -(1/6)(2x-1-3)/(x^2-x+1)
=(1/3)/(x+1) -(1/6)(2x-1)/(x^2-x+1) +(1/2)/(x^2-x+1)
と部分分数分解して

I=∫dx/(x^3＋1)=(1/3)∫dx/(x+1) -(1/6)∫(x^2-x+1)' dx/(x^2-x+1)
+(1/2)∫dx/(x^2-x+1)
=(1/3)log|x+1|-(1/6)log|(x^2-x+1)|+(1/2)∫dx/{(x-(1/2))^2+(3/4)}
=(1/6)log|(x+1)^2/(x^2-x+1)| +I2

第2項目 I2=(1/2)∫dx/{(x-(1/2))^2+(3/4)}
積分公式 ∫dX/(X^2+a^2)=(1/a)tan^-1 (X/a) +C　…(◆)
で　X=x-(1/2), a=√3/2 とおけば
　∫dx/{(x-(1/2))^2+(3/4)}=(2/√3)tan^-1 {(x-(1/2))(2/√3)} +C
=(2/√3)tan^-1 {(2x-1)/√3} +C
なので
　I2=(1/√3)tan^-1 {(2x-1)/√3} +C
I=(1/6)log|(x+1)^2/(x^2-x+1)| + (1/√3)tan^-1 {(2x-1)/√3} +C

(◆)の公式を忘れた場合は
x-(1/2)=Xと置換積分したあと
X=(√3/2)tan(t)と置換積分すれば I2の積分が出来ます。

この回答へのお礼

丁寧にありがとうございます！
学校の中間テストで困っていたので、とても有り難いです。

お礼日時：2011/11/22 15:43