四面体OABCがあり、OA=OB=OC=5、∠AOB=∠BOC=∠COA=90゜である。辺ABを2:1に内分する点をD、辺OCの中点をE、線分DEの中点をFとする。また、↑OA=↑a、↑OB=↑b、↑OC=↑cとする。
(1)内積↑a・↑bを求めよ。また、↑ODを↑a、↑bを用いて表せ。
→解けました。
↑a・↑b=0
↑OD=↑a+2↑b/3
(2)↑OFを↑a、↑b、↑cを用いて表せ。また、線分AFと△OBCとの交点をPとするとき、↑OPを↑b、↑cを用いて表せ。
→↑OFを求め、↑AP=t↑AFとなるような実数tが存在するため、これを求める。式↑AP=t↑AFを始点Oベクトルの関係式に直し、↑OPを↑a、↑b、↑cを用いた式で表す。↑OPは↑bと↑cだけで表される。↑aの係数は0である。このことよりtを求める。を使うそうです。
(3)(2)のとき、△OAPの面積を求めよ。
→↑OA・↑OP=0を示し、|↑OP|^2を計算する。|p↑a+q↑b|^2の公式を使う。を使うそうです。
解答と解説をよろしくお願いします。
No.5ベストアンサー
- 回答日時:
#3,#4です。
#4の補足質問について
>(1)はテストで書くときは正解ですが、ネット上では、表現上ややこしいのでだめということですね。
ちょっと書き方がまずいと言うだけですね。
>(1)↑OD=↑a+2↑b/3
こう書くと
↑OD=(↑a)+(2↑b/3)=(↑a)+(2/3)↑b
の意味になります。
(2)の意味
↑OD=(1/3)(↑a)+(2/3)(↑b) …(2)
になる書き方にしたければ
(1)を
↑OD={(↑a)+2(↑b)}/3
と括弧を付けて書けば(2)の表現と同じ意味になり正解となります。
サイトでの手入力では、分子と分母の範囲が確実に伝わるように
必ず多重括弧を付けて分子、分母を区切って書くようした方が良いでしょう。
No.4
- 回答日時:
#3です。
A#3の補足質問と図の添付
>↑OD=↑a+2↑b/3と
(1/3)↑a+(2/3)↑bの違いはなんですか?
ベクトル↑ODを成分表示で書けば明らかに違うことが分かるでしょう。
添付図のように座標軸をとれば
>↑OD=↑a+2↑b/3
=(5,0,0)+2(0,5,0)/3=(5,10/3,0)
このベクトル表記によれば点Dのx座標が5でy座標が10/3(z座標は0)
なので点Dは線分AB上にないことは明らか。点Dは線分ABを2:1に分割する内分点であって線分AB上に存在しなければならないので間違い。
>(1/3)↑a+(2/3)↑b
=(1/3)(5,0,0)+(2/3)(0,5,0)=(5/3,10/3,0)
このベクトル表現による↑ODの点Dは添付図のように線分ABを2:1に分割する内分点になり正しいことが確認できます。
この回答への補足
↑OD=↑a+2↑b/3…(1)
(1/3)↑a+(2/3)↑b…(2)
解決しました。
(1)はテストで書くときは正解ですが、ネット上では、表現上ややこしいのでだめということですね。
No.3
- 回答日時:
(1)
>↑a・↑b=0
合っています。
OA⊥OBより
↑a・↑b=OA*OB*cos90°=5*5*0=0
>↑OD=↑a+2↑b/3
間違い。
↑OD=↑OA+AD↑=↑a+(2/3)↑AB=↑a+(2/3)(↑OB-↑OA)
=↑a+(2/3)(↑b-↑a)
=(1/3)↑a+(2/3)↑b
が正解。
(2)
↑OF=↑OD+↑DF=↑OD+(1/2)↑DE
=↑OD+(1/2)(↑OE-↑OD)
=(1/2)↑OD+(1/2)↑OE
=(1/2)↑OD+(1/2)*(1/2)↑OC
=(1/2){(1/3)↑a+(2/3)↑b}+(1/4)↑c (∵(1)より)
=(1/6)↑a+(1/3)↑b+(1/4)↑c
↑AF=↑OF-↑OA=-(5/6)↑a+(1/3)↑b+(1/4)↑c
↑OP=↑OA+↑AP=↑a+t↑AF={1-(5t/6)}↑a+(t/3)↑b+(t/4)↑c
↑OPの↑a成分=0より
1-(5t/6)=0 t=6/5
この時
↑OP=(2/5)↑b+(3/10)↑c
(3)
↑OA・↑OP=(2/5)↑a・↑b+(3/10)↑a・↑c=0+0=0
∠AOP=90°、OA=5,OP=√{2^2+(3/2)^2}=5/2 より
△OAP=OA*OP/2=5*(5/2)/2=25/4
No.2
- 回答日時:
訂正です。
済みません。以下のようにお願いします。↑OPは↑bと↑cだけで表される。↑aの係数は0である。このことよりtを求める。
(1/6)t+1-t=0より、 t=6/5
よって、OP=(2/5)b+(3/10)c ……答え
(3)(2)のとき、△OAPの面積を求めよ。
→↑OA・↑OP=0を示し、|↑OP|^2を計算する。|p↑a+q↑b|^2の公式を使う。を使うそうです。
↑OA・↑OP=a・{(2/5)b+(3/10)c}
=(2/5)(a,b)+(3/10)(a,c) (1)より
=0
これより、△OAPは、角AOP=90度の直角三角形
|↑OP|^2={(2/5)b+(3/10)c}^2
=(4/25)|b|^2+2・(2/5)・(3/10)(b,c)+(9/100)|c|^2 (1)より
=(4/25)・5^2+(9/100)・5^2
=25/4
OP=5/2
△OAPの面積=OP×OA×(1/2)
=(1/2)=(5/2)×5×(1/2)
=25/4 ……答え
なにかあったらお願いします。
No.1
- 回答日時:
四面体OABCがあり、OA=OB=OC=5、∠AOB=∠BOC=∠COA=90゜である。
辺ABを2:1に内分する点をD、辺OCの中点をE、線分DEの中点をFとする。また、↑OA=↑a、↑OB=↑b、↑OC=↑cとする。|a|=|b|=|c|=5
>(1)内積↑a・↑bを求めよ。また、↑ODを↑a、↑bを用いて表せ。
>→解けました。
>↑a・↑b=0 これと同じやり方で、b・c=0,c・a=0,a・b=0……(1)
>↑OD=↑a+2↑b/3 OD=(1/3)a+(2/3)bでは?
(2)↑OFを↑a、↑b、↑cを用いて表せ。また、線分AFと△OBCとの交点をPとするとき、↑OPを↑b、↑cを用いて表せ。
>→↑OFを求め、↑AP=t↑AFとなるような実数tが存在するため、これを求める。式↑AP=t↑AF>を始点Oベクトルの関係式に直し、↑OPを↑a、↑b、↑cを用いた式で表す。↑OPは↑bと↑cだけで表される。↑aの係数は0である。このことよりtを求める。を使うそうです。
辺ABを2:1に内分する点をD、辺OCの中点をE、線分DEの中点をFとするから、
OE=(1/2)OC=(1/2)c
OF=(1/2)OD+(1/2)OE
=(1/2){(1/3)a+(2/3)b}+(1/2)(1/2)c
=(1/6)a+(1/3)b+(1/4)c
↑AP=t↑AFとなるような実数tが存在するため
AP=tAFt(OF-OA)
OP-OA=t(OF-OA)より、
OP=tOF-tOA+OA
=t{(1/6)a+(1/3)b+(1/4)c}+(1-t)a
={(1/6)t+1-t}a+(1/3)tb+(1/4)tc
↑OPは↑bと↑cだけで表される。↑aの係数は0である。このことよりtを求める。
(1/6)t+1-t=0より、 t=6/5
よって、OP=(2/5)b+(3/5)c ……答え
(3)(2)のとき、△OAPの面積を求めよ。
→↑OA・↑OP=0を示し、|↑OP|^2を計算する。|p↑a+q↑b|^2の公式を使う。を使うそうです。
↑OA・↑OP=a・{(2/5)b+(3/5)c}
=(2/5)(a,b)+(2/5)(a,c) (1)より
=0
これより、△OAPは、角AOP=90度の直角三角形
|↑OP|^2={(2/5)b+(3/5)c}^2
=(4/25)|b|^2+2・(2/5)・(3/5)(b,c)+(9/25)|c|^2 (1)より
=(4/25)・5^2+(9/25)・5^2
=13
OP=ルート13
△OAPの面積=OP×OA×(1/2)
=(1/2)=ルート13×5×(1/2)
=5ルート13/2 ……答え
答えが違うとかなにかあったらお願いします。
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