高校受験の図形の問題です

一辺がすべて６cmの正四角すいです。
問題１、正四角すいの高さを求めよ。（図のARの長さ）　　答えは３√２cmだと思います。
問題２、台形の面積を求めよ。（図のCDGF) 答えは　２７√１１/4cm2　だと思います。
問題３、台形のところで切ったときの上の図形の体積　　わかりません？
問題４、正四角すいの高さを台形のところで切ったときの上：下の高さの比（図のAQ:QR)わかりません？

よろしくおねがいします。

No.3 ベストアンサー 回答者： nag0720 回答日時： 2012/01/17 22:07

＃１です。

＞問題３の４行目の点Ａは点Ｆのことでしょうか。

失礼しました。点Ｆの間違いです。


＞問題４の点Ｈはなぜ正三角形の中心（重心）となるのでしょうか。

点Ａ，Ｑ，Ｒ，Ｈ，Ｉは１つの平面上にあり、
ＤＣとＱＨとＲＩは平行、Ｒは正方形の中心なので、ＩはＢＣの中点になっています。

Ｈは三角形ＡＢＣの２本の中線の交点ですから三角形の重心です。

No.5 回答者： ferien 回答日時： 2012/01/18 08:26

No.2，No.4です。

N0.2の説明で、やはりＡＱが高さではおかしいので再回答します。
No.2は削除でお願いします。

一辺がすべて６cmの正四角すいです。
問題１、正四角すいの高さを求めよ。（図のARの長さ）　　答えは３√２cmだと思います。
問題２、台形の面積を求めよ。（図のCDGF) 答えは　２７√１１/4cm2　だと思います。

>問題３、台形のところで切ったときの上の図形の体積　　わかりません？

ＣＤの中点をＩ，ＦＧの中点をＪ，ＢＥの中点をＫとする。
△ＡＩＫは、ＡＩ＝ＡＫ＝３√３，底辺ＩＫ＝６，高さＡＲ＝３√２の二等辺三角形です。
その面積は、６×３√２×（１／２）＝９√２
ＡＪ＝ＪＫより、高さが等しく底辺が半分だから、△ＡＩＪ＝（１／２）△ＡＩＫ＝９√２／２
ＩＪにＡから垂線をおろし交点をＨとする。
ＡＨは、△ＡＩＪの高さであり、求める立体の高さでもある。
ＩＪ＝３√１１／２であるから、
△ＡＩＪの面積＝ＡＨ×（３√１１／２）×（１／２）＝９√２／２
よって、ＡＨ＝６√２／√１１
図形の体積＝（２７√１１/４）×（６√２／√１１）×（１／３）＝２７√２/２ｃｍ3

>問題４、正四角すいの高さを台形のところで切ったときの上：下の高さの比（図のAQ:QR)わかりません？
△ＡＢＤで、ＲはＢＤの中点、ＦはＡＢの中点だから、ＡＲとＤＦの交点Ｑは、△ＡＢＤの重心だから、
ＡＱ：ＱＲ＝２：１

でどうでしょうか？何かあったらお願いします。

この回答へのお礼

台形を底面にして高さを求めて体積がでるとは思いませんでした。また高さの比の求め方もわかりやすかったです。空間図形のイメージが少しわいてきたように思います。ありがとうございました。

お礼日時：2012/01/18 22:26

No.4 回答者： ferien 回答日時： 2012/01/17 22:53

No.2です。

>すいませんがＰとはどこの点でしょうか
図が見づらかったので間違えました。点Ｐはすべて点Ｆに直して下さい。

実は、ＡＱが本当に立体の高さなのかどうか疑問なので、検討中です。
問題では、高さの比がＡＱ：ＱＲになると示されているのですか？

No.2 回答者： ferien 回答日時： 2012/01/17 18:29

一辺がすべて６cmの正四角すいです。

問題１、正四角すいの高さを求めよ。（図のARの長さ）　　答えは３√２cmだと思います。
問題２、台形の面積を求めよ。（図のCDGF) 答えは　２７√１１/4cm2　だと思います。

>問題３、台形のところで切ったときの上の図形の体積　　わかりません？
>問題４、正四角すいの高さを台形のところで切ったときの上：下の高さの比（図のAQ:QR)わかりません？

図から、△ＰＱＧ相似△ＣＱＤ（２つの角が等しい）から、
ＰＱ：ＱＤ＝ＰＧ：ＣＤ＝３：６＝１：２より、
ＰＱ：ＰＤ＝１：３……（１）
ＰからＣＤに垂線を引き、交点をＨとする。
問題２より、ＰＨ＝３√１１／２，ＣＨ＝３／２（多分求めてると思います）だから、
ＨＤ＝６－（３／２）＝９／２
ＰＤ^2＝ＰＨ^2＋ＨＤ^2＝（３√１１／２）^2＋（９／２）^2＝４５
ＰＤ＝３√５　（１）より
ＰＱ＝（１／３）ＰＤ＝√５
ＡＱ^2＝ＡＦ^2－ＰＱ^2＝３^2＋（√５）^2＝４
ＡＱ＝２
問題３　図形の体積＝（２７√１１/４）×２×（１／３）＝９√１１/２ｃｍ3
問題４　ＡＱ：ＱＲ＝ＡＱ：（ＡＲ－ＡＱ）＝２：（３√２－２）
　　　　
でどうでしょうか？何かあったらお願いします。（問題４が？です。）

この回答への補足

すいませんがＰとはどこの点でしょうか

補足日時：2012/01/17 21:24

No.1 回答者： nag0720 回答日時： 2012/01/17 17:56

問題３

台形で切った上の立体を、三角形ACEを含む面で切ると、２つ三角錐ができます。
底面の三角形ACGの面積は三角形ACEの半分、
底面に対する点Dの高さは、正方形BCDEの対角線の1/2
底面に対する点Aの高さはその半分
これで体積が出ます。

問題４
Qを通るCDと並行な直線とCFとの交点をH、
直線AHとCBとの交点Iとすると、
AQ：QR=AH：HI
点Hは正三角形ABCの中心です。

この回答への補足

問題３の４行目の点Ａは点Ｆのことでしょうか。
問題４の点Ｈはなぜ正三角形の中心（重心）となるのでしょうか。お願いします

補足日時：2012/01/17 21:45

この回答へのお礼

ていねいに教えていただきありがとうございまた。理解できました。

お礼日時：2012/01/17 22:56