数の積の性質(高校数Iなのでしょうか？)について

立て続けで申し訳ないですが、三角不等式の問題を解いてる内に一つ重要なのかどうでも良いのか分からないような疑問が湧いたのでここで。

数(式)の積の性質について、
AB=0 ⇒A=0または B=0
は周知のことと思いますが、
これが不等式の場合の性質は定まっておりましたでしょうか。
例えば、

AB＜0 については、A＜0 B＞0 あるいは、A＞0 B＜0のいずれかになるのでしょうか？
何故こんな質問をしたといいますと…

問 0≦x＜2πのとき、不等式cos2x＜-3cosx+1 を解け

について、これを解いてゆくと

(cosx+2)(2cosx-1)＜0……(1)
になりますが、(1)を等式とみなすと

cosx=-2 にはなり得ませんから、
cosx=1/2 について考えることになると思います(恐らく)。
この場合はどうすれば良いのでしょうか。

穴だらけの質問でご不便お掛けしますが、宜しくお願い致します。

No.4 ベストアンサー 回答者： naniwacchi 回答日時： 2012/02/05 23:24

ご自身で、すでに答えを出しているような・・・

＞そこです。「常に正」の根拠は何なのでしょうか？

＞＞cosx=-2 にはなり得ませんから、
なぜ、-2にはなり得ないのでしょうか？

この回答への補足

解りました。

-1≦cosx≦1 だから、1+2 -1+2 のいずれも正でしたね。
一方の符号が定まれば、他方も定まるというわけですね。
いや、しかし御迷惑おかけしました。

補足日時：2012/02/05 23:35

この回答へのお礼

回答ありがとうございます

-1≦cosθ≦1 故ですね。

お礼日時：2012/02/05 23:27

No.7 回答者： cozycube1 回答日時： 2012/02/05 23:43

　#6です、不等号、間違えました。

すみません。

誤>　(cosx+2)(2cosx-1)＜(1+2)(2cosx-1)＝3*(2cosx-1)＜0　∴cosx＜1/2

正>　(cosx+2)(2cosx-1)≦(1+2)(2cosx-1)＝3*(2cosx-1)＜0　∴cosx＜1/2

この回答へのお礼

御配慮に感謝申し上げます

お礼日時：2012/02/05 23:46

No.6 回答者： cozycube1 回答日時： 2012/02/05 23:41

>(cosx+2)(2cosx-1)＜0……(1)

　-1≦cosx≦1より、

　(cosx+2)(2cosx-1)＜(1+2)(2cosx-1)＝3*(2cosx-1)＜0　∴cosx＜1/2

でいいんじゃないでしょうか。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます！

お礼日時：2012/02/05 23:43

No.5 回答者： alice_44 回答日時： 2012/02/05 23:39

←A No.2 補足

A = (cos x)+2
B = 2(cos x)-1
と置いてみましょう。
先刻の話どおり、
AB＜0 ⇔ (A＜0 かつ B＞0)または(A＞0 かつ B＜0)
です。
この問題では、A＞0 が判っている訳だから、
上記を使って
(AB＜0 かつ A＞0) ⇔ ((A＜0 かつ B＞0)または(A＞0 かつ B＜0))かつ( A＞0) ⇔ B＜0
と整理すればよいです。

この回答へのお礼

流石です。羨ましい限りです

お礼日時：2012/02/05 23:42

No.3 回答者： alice_44 回答日時： 2012/02/05 23:12

かぶり続きで恐縮

この回答へのお礼

いえいえ。

お礼日時：2012/02/05 23:22

No.2 回答者： alice_44 回答日時： 2012/02/05 23:11

AB＜0 については、

(A＜0 かつ B＞0)または(A＞0 かつ B＜0)
になります。
これは、実数の基本的な性質です。

この回答へのお礼

早速のご回答ありがとうございました。

やはりそうなりますよね。ただ、質問の三角不等式の問題でその二つの場合を考えますと、cosx=-2にはならないですから、これは置いといても、cosx-(1/2)は、
cosx＜1/2 なのか　cosx＞1/2 なのかがはっきりしません。

お礼日時：2012/02/05 23:19

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2012/02/05 23:09

AB < 0 なら「A < 0 かつ B > 0」か「A > 0 かつ B < 0」のどちらか, だね.

(1) なら cos x + 2 が常に正なので, これで両辺を割ってしまえばいい.

この回答への補足

謎が解けたと思います。恐らく。

出来れば、他のご回答とのやり取りから御判断いただき、駄目押しのご回答をいただけると安心して次に行けます。

補足日時：2012/02/05 23:39

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
そこです。「常に正」の根拠は何なのでしょうか？

お礼日時：2012/02/05 23:21