正七角形の問題

正七角形ABCDEFGについて、1/AC+1/AD=1/ABが成り立つことを証明せよ

外接円の中心をOとしたとき∠AOB=2π/7でこれをαとおくと∠AOC=2α、∠AOD=3α
正弦定理よりAB=2Rsinα
AC=2Rsin2α
AD=2Rsin3α これらを最初の式に代入して
1/2Rsin2α+1/2Rsin3α=1/2Rsinα
1/sin2α+1/sin3α=1/sinα
sinαsin3α+sinαsin2α=sin2αsin3α
これを示すまではよかったのですが
sinα(sin3α+sin2α)=sin2αsin3α
2、3倍角の公式で
sinα(3sinα-4sin^3α+2sinαcosα)=sin2αsin3α
sinα(3sinα-4sin^3α+2sinαcosα)=sin(α+α)sin3α
加法定理より
sinα(3sinα-4sin^3α+2sinαcosα)=sinαcosαsin3α+cosαsinαsin3α
両辺をsinαで割ると
3sinα-4sin^3α+2sinαcosα=cosαsin3α+cosαsin3α
3sinα-4sin^3α+2sinαcosα=2cosαsin3α
3sinα-4sin^3α+2sinαcosα=2cosα(sin3α)
3倍角の公式より
3sinα-4sin^3α+2sinαcosα=6sinαcosα-8sin^3αcosα
sin3α+2sinαcosα=6sinαcosα-8sin^3αcosα
sin(2α+α)+2sinαcosα=6sinαcosα-8sin^3αcosα
加法定理より
sin2αcosα+cos2αsinα=6sinαcosα-8sin^3αcosα
二倍角の公式より
2sinαcos^2α+sinα-2sin^3α+2sinαcosα=6sinαcosα-8sin^3αcosα
両辺sinαで割って
2cos^2α+1-2sin^2α+2cosα=6cosα-8sin^2αcosα
二倍角の公式より
2cos^2α+cos2α+2cosα=6cosα-8sin^2αcosα
2cos^2α+2cos^2α-1+2cosα=6cosα-8sin^2αcosα
4cos^2α-1+2cosα=2cosα(3-4sin^2α)
で詰まりました
どうすればいいでしょうか？

No.4 回答者： stomachman 回答日時： 2012/05/18 04:23

あ。

ANo.2 最後の１行も消し忘れでした。どうもイカンなー。θ=π/7だからこそFDがBを通ってくれるんですよね。

この回答への補足

θ=π/7とはどういうことですか？点Oと正七角形の角繋いで7分割したら2π/7になると思うのですが、他になにかあるのでしょうか？

補足日時：2012/05/18 08:03

No.3 回答者： stomachman 回答日時： 2012/05/18 03:54

ANo.2 ありゃん？　文字が表示されない。

貼り直してみます。

No.2 回答者： stomachman 回答日時： 2012/05/18 03:48

直線ACを対称軸とする点Bの鏡像を点B'とします。

　　θ = ∠BAC
　　a = |AB|, b = |AC|, c = |AD|
と書く事にし、さらに
　　K = (1/2) sinθ
とすると、
　　S(△ACD) = Kbc　（黄色で示す部分）
また、
　　|B'C| = a
だから
　　S(△ACB') = Kab　（ドットで示す部分）
さらに、B'を通りCDと平行な直線（緑）と、Dを中心としてAを通る円（赤）との交点をFとすると、
　　|FD| = c, |CD| = a
なので
　　S(△CDF) = Kac （青ハッチの部分）
また、
　　S(△CDB') = S(△CDF)　（∵底辺の長さと高さが同じ）
であるから、
　　S(△ACD) = S(△ACB') + S(△CDB')
　　 = S(△ACB') + S(△CDF)
従って、
　　Kbc = Kab + Kac
つまり
　　1/a = 1/b + 1/c

この回答へのお礼

面積を使う方法は新しいです ありがとうございます

お礼日時：2012/05/18 08:02

No.1 回答者： Kules 回答日時： 2012/05/18 00:11

つい最近これとそっくりな問題を見たな～まさか同一人物じゃないですよね？

さて、いくつかアドバイスを。
・まさかですけど、△OABで正弦定理使ってますか？三角OABは円に内接していないのでその半径Rも使えないです。
ただ、中心角は円周角の２倍なので、知らないαが2π/7ではなくπ/7だと思ってやるとそのあとの式は問題ないでしょう。
・○○＝△△を証明せよ。という問題で、○○＝△△を変形していくという書き方はあまりよろしくないです。
○○＝□□＝☆☆＝…＝△△とするか、○○－△△＝…＝０とするのがいいでしょう。
・途中の式変形でループおこしてしまっているのがわかりますか？
例えば一番最初に2,3倍角の公式で最初のsin3αを変形しているのに、だいぶ後（sinαで割ったあと）の「３倍角の公式より」の部分で3sinα-4sin^3αをsin3αに戻してしまってますね。
式変形をしていく時は、（よっぽど先が見えていない限りは）何らかの信念を持ってするのがよいです。例えば、角度の中身は2αや3αになってもいいから、次数を落としていく、とか。あるいは、次数が上がってもいいから角度は全てαにする、とか。
そのようにすると漏れやループが起きにくいです。
今回のやり方だとループを起こしてたりするので何か途中で項が増えてる気が…結構複雑な式なんで確実ではないですが。

で、三角比（三角関数）の公式は２倍角や３倍角だけじゃないですよね？
・三角比の相互関係
・和⇔積変換
・半角の公式
・π/2絡み、π絡みの変形
この辺りを使うことももっと考えましょう。
特に積→和と半角の公式は次数を下げることができるのでお勧めです。

例えばあなたがつまったところから三角比の相互関係（sin^2α＋cos^2α=1）を使って変形するとcosの3次式に変形できることがわかりますか？
ただ、この問題の場合cosの３次式を作っても意味がないんです。理由は「cosの3次式を作っても、α=2π/7であることをいかせないから」。3次式を作ると因数分解をしたくなりますが（ならない？）、因数分解したところでcos2π/7の値を知らない以上因数分解した式が0に出来ないですよね。

ということで（？）、今回の問題で大事なことはα=2π/7であることを如何に利用するか、ということになります。
そう考えると、π/2絡みの変形やπ絡みの変形がよさそうだ、ということがわかります。
例えばπ/2-π/7=5π/14のようにπ/2から引くと分母が必ず14になる一方、π/2-9π/14=-π/7のように、分母が14ならπ/2から引けば必ず分母は７になります。
だからなんだって思うかもしれませんが、和積の変換は角度を「足して２で割る」「引いて２で割る」の作業が入るため、分母が7のものを14にしたり14のものを7にしたり出来る変形があるってのは嬉しいことなんですね。

ちなみにで言えば、私は
左辺を通分→分子を和積変換→cosの方をcosθ=sin(π/2-θ)で変形→約分→分母に倍角の定理→分子のsinをsinθ=cos(π/2-θ)で変形→約分で左辺になりました。

参考になれば幸いです。

この回答への補足

△OABは内接してませんか？OA=OB=半径でABより弧の方が外にありますから内接してると思ったのですが

中心角がπ/7じゃおかしくないですか？360゜を7つの辺で7分割したのだから∠AOBは2π/7だと思うのですが

左辺と右辺を変更しちゃダメなんですね ただ左辺をどうしたら右辺に近づくか分からないです

補足日時：2012/05/18 07:59