トルク定数と誘起電圧定数について

トルク定数Kt［N・m/A］と誘起電圧Ke［V・s/rad］は同じと簡単に記載されていますが、
同じとなる詳細な説明が書籍等でもなかなか見つかりません。
単位系含め詳細な説明を頂けないでしょうか。

No.2 回答者： xpopo 回答日時： 2012/07/01 11:29

モータ巻き線（１ターンの）に加わる磁束密度をB（T（テスラ））、電流をI（A)、巻き線の

有効長をL(ｍ）とすると、巻き線に発生する力F(N)はフレミングの左手の法則から、

　F　＝　Ｂ＊Ｌ＊Ｉ　　　　　（１）

で表されます。巻き線に発生するトルクT（Nm)は巻き線の半径をR(ｍ）とすると、

　T　＝　２＊R＊F　＝　２＊Ｒ＊Ｂ＊Ｌ＊Ｉ　　（２）

で与えられます。ここで巻き線の巻き数（ターン数）がＮならば、式（２）のトルクＴ（Ｎｍ）
は、

　Ｔ　＝　２＊Ｎ＊Ｒ＊Ｂ＊Ｌ＊Ｉ　　　（３）

で表されます。
ここで、モータの電機子は通常３極以上の構成になってますので、電機子電流Ｉａ（Ａ）は
巻き線を２つの流れに分流されます。したがって式（３）は

　Ｔ　＝　２＊Ｎ＊Ｒ＊Ｂ＊Ｌ＊Ｉ　＝　２＊Ｎ＊Ｒ＊Ｂ＊Ｌ＊（Ｉａ／２）　　　　（４）

ここで巻き線部の磁束密度Ｂが一定の場合、磁束φは巻き線が形成する円筒
の側面積の１／２に磁束密度を掛けた値になりますので、磁束φは

　φ　＝　π＊Ｒ＊Ｌ＊Ｂ　　　　（５）

で与えられます。式（５）を使って式（４）を書き換えて、

　Ｔ　＝　（Ｎ／π)*φ＊Ｉａ　　　　（６）

と書き換えられます。
ここで

　Ｋｔ　＝　（Ｎ／π）＊φ　　　（７）

とおいて、式（６）を書き直すと、

　Ｔ　＝　Ｋｔ＊Ｉａ　　　（８）

という、トルクＴは電機子電流Ｉａに比例するという関係式が導かれます。

　次に、モータが回転した場合に発生する逆起電力を計算してみます。
まず、モータ巻き線（１ターンの）に加わる磁束密度をB（T（テスラ））、その磁界中を横切る
巻き線の速度をｖ（ｍ／ｓ）、巻き線の有効長をL(ｍ）とするとフレミングの右手の法則に
より巻き線に発生する起電力ｅ（Ｖ）は、

　ｅ　＝　ｖ＊Ｂ＊Ｌ　　　　（９）

で与えられます。ここでモータの回転速度をω（ｒａｄ／ｓ）、とすると巻き線の速度ｖ（ｍ／ｓ）
は

　ｖ　＝　ω＊Ｒ　　（１０）

で与えられますので、式（１０）を式（９）に代入して、

　ｅ　＝　ω＊Ｒ＊Ｂ＊Ｌ　　（１１）

と書き換えられます。ここで巻き線のターン数がＮなら、磁界中にある電線の数は２Ｎ本に
なります。また、ブラシが整流子片と接触する位置で巻き線は２分され、それらが並列に
接続されますので実質的な電線の数は２Ｎ／２＝Ｎ本になります。
したがって、巻き線の発生電圧ｅは

　ｅ　＝　ω＊Ｒ＊Ｂ＊Ｌ＊Ｎ　　（１２）

で表されます。ここで式（５）を使って式（１２）は、

　ｅ　＝　（φ＊Ｎ／π）＊ω　　　　（１３）

と書き直されます。ここでＫｅを

　Ｋｅ　＝　（Ｎ／π）＊φ　　　　　（１４）

と置いて式（１３）は

　ｅ　＝　Ｋｅ＊ω　　　　　（１５）

と表されます。式（１５）はモータの逆起電力ｅはモータ回転数ωに比例するという関係式になります。

結論としてトルク定数Kt［N・m/A］と誘起電圧Ke［V・s/rad］はそれぞれ、式（７）と式（１４）から
以下のように表され、同じものだということが分かります。

　　
　Ｋｔ　＝　（Ｎ／π）＊φ　　　（７）

　Ｋｅ　＝　（Ｎ／π）＊φ　　　　　（１４）

No.1 回答者： Ae610 回答日時： 2012/06/09 07:53

詳細と言えるかどうかは質問者側の判断になるが・・・、

以下のURLなど確認してみられては如何・・・！？
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http://motorlab.seesaa.net/
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↑で、用語；「逆起電力定数」のところで、一応式の上で「トルク定数」と「誘起電圧定数」が等しい事が示されている。
（但し、損失等は無いものと仮定しているようである）

(・・・参考にならぬようであればご容赦！)