連続体力学でテンソルを使う必要性

教科書によると2階のテンソルとは
2つのベクトルを引数として実数値を返す双線形形式

とあります。そして

T(u,v)=T(uiei,vjej)=uivjT(ei,ej)

であり、
T(ei,ej)=Tij
と置いて、またuivjはテンソル積を使って
uivj=ei(×)ej(u,v)
となるので
T=Tijei(×)ej
となるのはわかります。

しかし教科書を見ると、やっていることはテンソルの成分Tijを行列形式に書いて、ベクトルの線形変換ばかりで、テンソルに2つのベクトルを引数にとらせて実数値にする計算は出てきていないように思います。つまり
T(u,v)=Tijei(×)ej(u,v)
の演算はしていないのではないか、と思います。

単に線形変換するだけなら行列で事足りると思いますが、なぜテンソルである必要があるのでしょうか。

No.2 回答者： ddtddtddt 回答日時： 2012/07/04 19:19

　すいません、間違いました#1です。

#1の(1)は、

　　　Ｔijk・Ak＝Ｂjk　　　(1)

でなく、

　　　Ｔijk・Ak＝Ｂij　　　(1)

です・・・。　

No.1 回答者： ddtddtddt 回答日時： 2012/07/04 19:15

　ええとですね、まず2階のテンソルとは行列の事です。

これはいいでしょうか？。なので、行列を定義するためにテンソルを持ち出しても、論理的には文句を付けられない訳です。

　とは言え、

＞単に線形変換するだけなら行列で事足りると思いますが、なぜテンソルである必要があるのでしょうか。

は、当然の感覚と思えます。しかしどのような本なり、講義なりを受けているかわかりませんが、連続体力学においては、

　　Ｔijk・Ak＝Ｂjk　　　(1)

のような計算も、いずれ出てきます。(1)において、小文字は下付き添字で、アインシュタイン規約から、2重に現れる添字kについては和をとるものとします。Ｔは添字を3つ持つので、もはや行列でないテンソルです。

　このような時、テンソルＴijkを最も「綺麗に」定義する方法が、質問文にあるやり方です。恐らく(1)のＴijkようなものを見越して、具体例の手に入りやすい行列範囲で、行列をテンソル方式で定義してみせたのだと思います。


※参考

　正方行列は線形変換として定義できます。線形変換ｆとは、Ｖをベクトル空間としたとき、ｆ：Ｖ→Ｖとなる写像で、次の条件を満たすものです。x，y∈Ｖ、kはスカラ－として、

　　L1)　f(x＋y)＝f(x)＋f(y)

　　L2)　f(kx)＝kf(x)

　任意のx∈Ｖは、Ｖの基底(vi)を用いて、x＝ki・vi　と書けますが、L1)，L2)より、

　　f(x)＝ki・f(vi)　　　(2)

となります。(2)より、線形変換fの表現（具体的な形）を書き下すためには、Ｖの基底ベクトルviのｆによる値、f(vi)が、各viについてわかれば良い訳です。ここで、f(vi)∈Ｖであり、(vi)はＶの基底なので、

　　f(vi)＝Ａji・vj　　　(3)

と書けます。Ａjiは、基底(vj)の各ベクトルに関するスカラー係数です（(2)のkiと同じ）。(3)のAjiが、線形変換A＝(Ａij)を定義します（実際に、やってみて下さい）。

　ところで(3)を眺めていると、Ａijは、Ａij＝Ａ(vi，vj)という実数（スカラー）値を返す双線形形式と定義できるのが、わかります。色々試した結果、Ｔijkなどについては、Ｔ(ei，ej，ek)を考えるのがベストだ！、とわかった訳です。