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xy平面上に半径aの薄い円盤がある。この円盤の面密度をσとする。z軸上の点P(0,0,z)(z>0)に質量mの質点がある。
(a)この質点が円盤から受ける万有引力↑Fは、z成分しかもたないことを説明し、↑F=Fz↑ezとするとき、Fzを円盤の質量Mを用いて表せ。
(b)点Pの質点が受ける万有引力のポテンシャルU(↑r)をMを用いて表せ。
(c)U(↑r)から、↑Fの向きと大きさを求めよ。
回答は添付画像の通りとなっていました。

この回答でわからなかった点があるので教えてください。
質問(1)
回答が式だけで何をやっているのかよくわかりません。(a),(b),(c)ではそれぞれどのようなことを行っているのでしょうか?解説をお願いします。
質問(2)
文字ξ、やΦ’などの文字は何を表しているのでしょうか?

質問が多いですが、ご回答いただけると助かります。
教えてください。

「物理の万有引力の問題についている解答が理」の質問画像

A 回答 (2件)

質問(2)



円盤の中心を原点とした円筒座標(ξ',φ',z)を用いていると思われます。

質問(1) --------------------------------------------------------------

(a)

円盤上の位置 (ξ',φ',0) にある微小面要素dξ'×dφ'が質点に及ぼす万有引力の大きさは

Gm(σdξ'dφ')/(z^2 + ξ'^2)

z成分をとると,
dFz = - Gm(σdξ'dφ')/(z^2 + ξ'^2)×z/√(ξ'^2 + z^2)

これを0≦ξ'≦a,0≦φ'≦2πにわたって積分することでFzを得ています。

(b)

微小面要素によるz成分のポテンシャルは,その定義より

dU(z) = -∫[0~z] (dFz)dz

zで積分した後にそれらを(a)と同様に合計しています。

(c)

あらためて
F = -∇U
の関係を用いて力の成分を再度求めています。
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↑ezはなんでしょうか?



図がないとわかりません。
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Q積分で1/x^2 はどうなるのでしょうか?

Sは積分の前につけるものです
S dx =x
S x dx=1/2x^2
S 1/x dx=loglxl
まではわかったのですが
S 1/x^2 dx
は一体どうなるのでしょうか??

Aベストアンサー

まず、全部 積分定数Cが抜けています。また、積分の前につけるものは “インテグラル”と呼び、そう書いて変換すれば出ます ∫

積分の定義というか微分の定義というかに戻って欲しいんですが
∫f(x)dx=F(x)の時、
(d/dx)F(x)=f(x)です。

また、微分で
(d/dx)x^a=a*x^(a-1)になります …高校数学の数3で習うかと
よって、
∫x^(a-1)dx=(1/a)*x^a+C
→∫x^adx={1/(a+1)}*x^(a+1)+C
となります。

つまり、
∫1/x^2 dx=∫x^(-2)dx
={1/(-2+1)}*x^(-2+1)+C
=-x^(-1)+C
=-1/x+C

です。


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