二元一次の不定方程式の整数解

5x+2y=17を満たす整数x,yは,どのような数か。
上の問題を解いてみたのですが解答と全く合いません

特殊解を見つけて解くのではなく
x=(17-2y)/5
のような式を進めて解く方法で回答をお願いしますm(_ _)m

No.5 ベストアンサー 回答者： alice_44 回答日時： 2012/08/31 20:38

あ、A No.1 に補足がついてた。

No.4 のふたつの一般解に、表面上 n と m の違いがあるのと同様に、
(問題集のn) = (貴方のn)+1 だというだけだ。どちらも間違っていない。
不定方程式の一般解は、不定元の置きかたによって見かけが変わるから。

No.6 回答者： 178-tall 回答日時： 2012/08/31 20:52

蛇足です。

「補足」を拝見。
　　　↓
>17-5rが二の倍数であれば良いので…

17-5r = 2s と書けますね。
移項すると 17 = 2s + 5r 。
これじゃ元の式のまま、堂々巡りしてません？

　　

No.4 回答者： alice_44 回答日時： 2012/08/31 19:55

いやいや。

一番のオススメは、特殊解を山勘で見つけて、
5x + 2y = 17 と 5・3 + 2・1 = 17 から
辺々引き算して 5(x-3) = -2(y-1) とする
ことなんだけどな。

特殊解を思いつかなかった場合には、シカタナイから、
5 と 2 の最大公約数を互除法で求める計算
5÷2 は 2 あまり 1 を
5 = 2・2 + 1 から
5・1 + 2・(-2) = 1 と変形した後、
両辺を 17 倍すると、5・17 + 2・(-34) = 17。
これが特殊解だから、5(x-17) = -2(y+34)。

上の特殊解から x = 3 + 2n, y = 1 - 5n としても、
下の特殊解から x = 17 + 2m, y = -34 - 5m としても、
n と m の間に n = m + 7 という関係があるだけで、
一般解としては同じ答えが得られる。

「殊解を見つけて解くのではなく」というのは、ひょっとして、
x = (17 - 2y)/5 から 17 - 2y が 5 の倍数であるように
2y を 5 で割った余りが 2、よって y を 5 で割った余りが 1
と判って… とかやっていく解法を意図しているのかもしれないが、
ゴタゴタして計算間違いのもとになるだけだから、全く勧めない。

この回答への補足

特殊解はいっぱつでわかったんですけど普通に計算もしてみたら答えが違ったので

補足日時：2012/08/31 20:26

No.3 回答者： tmpname 回答日時： 2012/08/31 19:18

3+2n = 2(n+1) + 1

n+1をNとでもおいてみる。

No.2 回答者： 178-tall 回答日時： 2012/08/31 18:59

>5x+2y=17を満たす整数x,yは,どのような数か。

>　…
>特殊解を見つけて解くのではなく　x=(17-2y)/5　のような式を進めて解く方法　…

「式を進めて解く」というのは、目算で　x=(17-2y)/5　の虱潰し？
特解を見つけて解く手に慣れるのが早道かも。

まず「特解」を。
　5x+2y = x + 2(y+2x) = 17
と変形してみると、左辺の係数と右辺値とに公約数が無いので、そのまま。
　xo = 17, yo = -2xo = -34
が「特解」。

ついで「一般解」x, y 。
　x = xo - 2*k, y = yo + 5*k　　：k = 任意の整数

非負解なら、k = 7, 8 // {x, y} = {3, 1} , {1, 6} 。

　　　

No.1 回答者： asuncion 回答日時： 2012/08/31 18:19

＞上の問題を解いてみたのですが解答と全く合いません

ということは、ご自分で手を動かされたのですよね。
どういう風に手を動かされたか、そのプロセスを書いてみるご予定はありますか？

この回答への補足

5x+2y=17...1
y=(17-5x)/2
yは整数なので17-5xが2の倍数であればよい
そこでxを2で割った商をn，余りをr(r=0,1)とすると
17-5x=17-5(2n+r)=-2•5n+(17-5r)
17-5rが二の倍数であれば良いのでそうなるrを探すとr=1
r=1を代入して計算すると
17-5x=-2•5n+12
x=2n+1

自分の計算だとこうなりますが、問題集の中では特殊解を見つけて解いた解は
x=3+2nとなります。

補足日時：2012/08/31 18:42