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No.3ベストアンサー
- 回答日時:
こんにちは。
求める一次変換を表す行列をA=
(a b)
(c d) とします。この行列Aを求めよう。Aによって点(1,3)は(3,-1)に移り、#2さんが指摘したように
点(1,-2)は点(-1,2)に移るので、
(a b)(1)
(c d)(3)
=
(3)
(-1)
・・・(a)かつ
(a b)(1)
(c d)(-2)
=
(-1)
(2)
・・・(b) が成り立つ。これより、次のa,b,c,dの連立方程式を得る。
a+3b=3・・・(1),a-2b=-1・・・(2),c+3d=-1・・・(3),c-2d=2・・・(4)。(1)-(2)より
5b=4 つまりb=4/5 このとき、(2)よりa=3/5 同様に(3)(4)を連立して、c=4/5,d=-3/5 となる。
ゆえに
A=
(3/5 4/5)
(4/5 -3/5) ・・・(#)と求まった。さて、原点を通る直線 L:y=(1/2)x に関する対称変換の式を
求めてみよう。
今点P(x,y)がこの対称変換で点Q(X,Y)に移ったとしてX,Yをx,yの式で表してみよう。まず、
線分PQの中点Mは((X+x)/2,(Y+y)/2)でこれが直線L上にあるから、(Y+y)/2=(1/2)(X+x)/2 よって
Y+y=(1/2)(X+x)・・・(6) 次に線分PQ⊥Lなので線分PQの傾きは、「垂直はひっくり返して符号替え」で-2
となる。よって 傾き (Y-y)/(X-x)=-2 すなわち Y-y=-2(X-x) ・・・(7)、そこで(6)(7)をX,Yの
連立方程式と思って解けばよい。(6)-(7)として(5/2)X-(3/2)x=2y ゆえに5X=3x+4y
∴X=(3/5)x+(4/5)y このとき、(7)より、Y=-2((3/5)x+(4/5)y)+2x+y=(4/5)x-(3/5)y こうして
X=(3/5)x+(4/5)y ・・・(8) Y=(4/5)x-(3/5)y ・・・(9)となった。(8)(9)が直線y=(1/2)xに関する
対称変換の式でこれを行列で表せば、
(X)
(Y)
=
(3/5 4/5)(x)
(4/5 -3/5)(y)
となる。こうして2つの変換は一致していることが分かった。「回答終わり」
(☆)なお、次の「定理1」が成り立つ。
「定理1」原点を通る傾きがある直線L:y=(tanθ)x・・・(A)に関する対称変換は、一次変換で
あって、行列
(cos2θ sin2θ)
(sin2θ -cos2θ)・・・(B)で表される。行列(B)を「鏡映」とよび(大学の数学)、
その行列式は-1で直交行列の一つです。なお原点の周りのθの回転は
(cosθ -sinθ)
(sinθ cosθ)でこれも直交行列ですが、行列式は1の方です。
この証明をあとに書いておきますが、今これを使って質問者の問題を解いてみよう。
まずy=(1/2)xだから
tanθ=1/2 ・・・(1) ここでcos2θ=cos^2θ-sin^2θ=cos^2θ(1-sin^2θ/cos^2θ)
=1/(1+tan^2θ)(1-tan^2θ)=(1-tan^2θ)/1+tan^2θ),sin2θ=2sinθcosθ=2tanθcos^2θ
=2tanθ(1+tan^2θ) つまり
cos2θ=(1-tan^2θ)/1+tan^2θ)・・・(2) sin2θ=2tanθ(1+tan^2θ)・・・(3)が成り立つ。
これに(1)のtanθ=1/2を代入すると、(2)はcos2θ=(1-1/4)/(1+1/4)=(3/4)/(5/4)=3/5 となり、
(3)はsin2θ=2tanθ(1+tan^2θ)=2×(1/2)/(1+1/4)=4/5 となる。ゆえに
(cos2θ sin2θ)
(sin2θ -cos2θ)
=
(3/5 4/5)
(4/5 -3/5) 「別回答終わり」
◎「定理1」の証明
最初の問題の回答と同様です。2倍角の公式を用います,点P(x、y)が直線Lによって、点Q(X、Y)に
移されたとしよう。線分PQの中点Mは((X+x)/2,(Y+y)/2)でこれが直線L上にあるから、
(Y+y)/2=tanθ(X+x)/2 つまりY+y=tanθ(X+x) ・・・(4) 次に線分PQ⊥Lだから
傾き (Y-y)/(X-x)=-1/tanθ すなわち Y-y=-(1/tanθ)(X-x) ・・・(5)。(4)(5)をX,Yの方程式
と思って、(4)-(5) (tanθ+1/tanθ)X+(tanθ-1/tanθ)x=2y ゆえに
(sinθ/cosθ+cosθ/sinθ)X+(sinθ/cosθ-cosθ/sinθ)x=2y
(1/(sinθcosθ)X-(cos^2θ-sin^2θ)/(sinθcosθ)x=2y よって
X=(cos2θ)x+(2sinθcosθ)y つまり X=(cos2θ)x+(sin2θ)y ・・・(6) このとき、(4)から
Y=tanθ((cos2θ)x+(sin2θ)y+x)-y=xtanθ(1+cos2θ)-y(1-tanθsin2θ)
=xtanθ(2cos^2θ)-y(1-tanθ2sinθcosθ)=(2sinθcosθ)x-(1-2sin^2θ)y
=(sin2θ)x-(cos2θ)y すなわち Y=(sin2θ)x-(cos2θ)y ・・・(7) こうして(6)(7)より
X=(cos2θ)x+(sin2θ)y ・・・(6),Y=(sin2θ)x-(cos2θ)y ・・・(7) となって証明された。
この回答へのお礼
お礼日時:2012/10/29 15:54
詳細なご回答をどうもありがとうございました。証明の持って行き方も、よく分かり
とてもすっきりしました。どうやって証明するのか、ピンと来ませんでしたが、座標変換の行列と
対称変換の行列が同じになることを示せばよいわけですね。私はy=1/2xという直線の式を
誘導するする解法にこだわったので、手に負えなくなりました。
No.4
- 回答日時:
こんにちは。
#3です。ワープロミスがありました。すみません。ANO3の「別回答」のところでsin2θ=2tanθ(1+tan^2θ)とありますが、これは間違いです。 cos^2θ=1/(1+tan^2θ)ですので、
正しくは sin2θ=2tanθ/(1+tan^2θ)です。以下同様に訂正してください。これに直して
「別回答」を読んでください。以上です。
No.2
- 回答日時:
「点(1,3)を点(3、-1)に、点(1,2)を点(-1,2)に移す1次変換」と「y=(1/2)xに関する対称移動」とが同じものであることを言えばいいけど,言えないよね。
「点(1,3)を点(3、-1)に、点(1,-2)を点(-1,2)に移す1次変換」と「y=(1/2)xに関する対称移動」とは同じものであるけど。
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