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Dの式にx=rcosθ,y=rsinθ(r≧0,0≦θ<2π)を代入すると
r^2≦rcosθ
r(r-cosθ)≦0
0≦r≦cosθ
>x=rcosθ,y=rsinθとおくと、領域Dは何に写されるのでしょうか。
D:{(x,y)|x^2+y^2≦x} ⇒ E:{(r,θ)|0≦r≦cosθ,0≦θ<2π}
と領域Dは領域Eに変わる(写像される)。
積分は以下の通り。
∬_D x dxdy=∬_E rcos |J|drdθ=∬_E rcos rdrdθ
累次積分に書き換えて
=∫[0→2π] cosθdθ∫[0→cosθ] r^2 dr
=∫[0→2π] cosθdθ[(1/3)r^3][r:0→cosθ]
=(1/3)∫[0→2π] (cosθ)^4 dθ
=(1/3)∫[0→2π] (1/4)(1+cos(2θ))^2 dθ
=(1/12)∫[0→2π] (1+cos(2θ))^2 dθ
=(1/12)∫[0→2π] (1+2cos(2θ)+(cos(2θ))^2) dθ
=(1/12){2π+∫[0→2π] (cos(2θ))^2 dθ}
=(1/12){2π+∫[0→2π] (1/2)(1+cos(4θ)) dθ}
=(1/12){2π+∫[0→2π] (1/2) dθ}
=(1/12)(2π+π)
=π/4
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