電気回路での強制振動

C,R,Lと交流電圧(Vsin(ωt+δ))を直列に繋いだ回路があるのですが、その回路で微分方程式を立て解を求めたいです。
式はおそらく

d^2Q/dt^2+R/L•dQ/dt+1/LC•Q=V/L•sin(ωt+δ)

となると思うのですがこれを解くことができません。
特解はBsin(ωt+ε)となるのではないかと予想したのですがこれも間違っているでしょうか？
解答よろしくお願いします。

No.2 回答者： ereserve67 回答日時： 2013/01/27 20:55

i=dQ/dtは電流で

（☆）Q/C+Ri+Ldi/dt=Vsin(ωt+δ)

となりますから方程式はOKです．特殊解の形もいいと思います．

複素振幅の方法を使って特殊解を求めます．Q=Im(z)として，次の方程式を考えます．

（★）z/C+Rdz/dt+Ld^2z/dt^2=Ve^{iωt+δ}

zは複素数でこれの虚部Qは☆を満たします．★の方が解きやすいのでこれを解きます．z=Be^{iωt+ε}を解の形に仮定して，★に代入します．

dz/dt=iωz

d^2z/dt^2=-ω^2z

であるから

(1/C+iωR-ω^2L)z=Ve^{iωt+δ}

z=Ve^{iωt+δ}/(1/C+iωR-ω^2L)

Be^{i(ωt+ε)}=Ve^{iωt+δ}/(1/C+iωR-ω^2L)

e^{iωt}を落として

Be^{iε}={(V/L)/(1/(LC)-ω^2+iωR/L)}e^{iδ}

ここで

1/(LC)-ω^2+iωR/L=√{(1/(LC)-ω^2)^2+ω^2R^2/L^2}e^{iθ}

とおくと（これをtanθ=(ωR/L)/(1/(LC)-ω^2)と書くことがあります）

Be^{iε}=[(V/L)/√{(1/(LC)-ω^2)^2+ω^2R^2/L^2}]e^{i(δ-θ)}

こうしてQの絶対値Bと位相差εは

B=(V/L)/√{(1/(LC)-ω^2)^2+ω^2R^2/L^2}

ε=δ-θ

となります．

No.1 回答者： hitokotonusi 回答日時： 2013/01/27 15:50

δ＝０ではダメなのですか？時間軸をδ/ωずらすのと等価ですが。

δが０でないなら、特解をBsin([ωt+δ]+ε)とおいてみてはどうですか？
自分がやるなら三角関数ではなくて指数関数でやりますけど。