お世話になっております。数学IIIからの質問です。
問 点(1,a)を通って、曲線y=e^xにちょうど2本の接線が引けるようなaの値の範囲を求めよ。
という問題です。
数学2での座標幾何にあったように、適当な接点(t,e^t)をおいて、等式
a=(2-t)e^t…(1) までこじつけたのですが、ここからの必要条件が分からないのです。というか、2本の接線が引けるには、tが異なる二つの値である事が必要なのだろうとは思うのですが、式(1)のような方程式の場合は、どのような式で上の必要条件を示せばよいのでしょうか?
グラフを描いてみて、直感的には0<a<e となるのかな、とは思うのですが、説明が出来ません。
アドバイスいただきたく存じます。宜しくお願い致します。
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
> y=e^xは区間(-∞,∞)で単調増加、という事
違う。
y=aとy=(2-x)e^xのグラフを描いてその交点が2つだと確かめるんでしょ。
再度の御回答ありがとうございます。
なるほど。直線y=a と曲線y=(2-x)e^xの共有点が二つになるようなaの値の範囲が求める解ということですね。
質問文にあった私が描いたグラフは恥ずかしながらy=e^xだけです。これと、直線x=1上の動点P(1,a)の関係から見たところ「何となく」0<a<eだろうな、くらいの考えでしたので…。これでは、解答としては×だろうと思って質問させていただきました。
でも解く方針が見えました。y=(2-x)e^x のグラフを描くのは面倒ですが、微分すれば何とか描けるので、最後までやれそうです。
ありがとうございました。
No.4
- 回答日時:
y=a (1)
y=(2-x)e^x (2)
(1)と(2)の交点の数を調べればよい。
(2)は
y'=(1-x)e^x
増減表を書くとわかるが
x→-∞でy'=y=0
x=0でy=2
x=1でy'=0,y=e(極大)
x=2でy=0
x→∞でy'=Y→-∞
よって0<a<e
で2根を持つ。
No.3
- 回答日時:
y=(2-t)e^t…(1)
y=a
の2つのグラフが2箇所でぶつかれば、その2箇所のt座標が異なる接点のx座標ですから、
y=(2-t)e^t…(1)
のグラフは0から増加してeまで増えてー∞まで減少します。
水平線と2箇所でぶつかるのは
水平線の高さが0とeの間のときです。
分かりやすいアドバイスありがとうございました。
数学2で確か似たような問題があった気がします。方程式の実数解の個数辺りでしょうか……。うろ覚えになってしまった自分が情けないですが…。
参考にさせていただきます。
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