![](http://oshiete.xgoo.jp/images/v2/pc/qa/question_title.png?5a7ff87)
(問題)
xy平面上に2直線
L1:mx-y=0,L2:x+my-2=0があり、この2直線の交点をPとする。
(1)Pが全実数を動く時のPの軌跡を求めよ。
(2)mが全ての正の実数を動くときのPの軌跡を求めよ。
(問題集の解答)
P(X,Y)とおく、L1,L2の式からX,Yをmで表すと、
X=2/(m^2+1)(1)、Y=2m/(m^2+1)(2)
(1)(2)で与えられる(X,Y)の軌跡を求める。
いきなりmを消去するのは難しいので、一度(2)/(1)を計算し、mについて解くと、
Y/X=m(3)。これを(1)に代入すると、X=2/{(Y/X)^2+1}(4)
よって、X{(Y/X)^2+1}=2(5)
さらに、両辺にXをかけると、X^2+Y^2=2X(6)かつX≠0(7)となる。
また、(6)は(6)⇔(X-1)^2+Y^2=1である。
(1)(6)かつ(7)よりPの軌跡は(x-1)^2+y^2=1かつx≠0
(2)mの範囲がm>0に限定されているから(3)について
Y/X>0⇔XY>0(8)
(1)かつ(8)が求める軌跡である。
(疑問)
(a)(2)/(1)を計算したのが(3)ですが、ここでなぜX≠0という制限を付けないのでしょうか?
(b)(5)の両辺にXをかけるところでX≠0という制限が付くのはなぜでしょうか?
No.4
- 回答日時:
こんばんわ。
>いきなりmを消去するのは難しいので、
>一度(2)/(1)を計算し、mについて解くと、Y/X=m(3)。
模範解答で「難しいので」という表現を使うのは、なんか変な気もしますが・・・
(ちょっと口語すぎる)
頭の中での考え方としては、この内容でいいのですが、わたしなら
mがすべての実数を取りうるとき X≠0であるから、(2式)÷(1式)より Y/X= m (3式)
と書いてしまいます。
ちなみに、すべての実数:mに対して、0< X≦ 2、-1≦ Y≦ 1の範囲を取ることは、
ちょっとした計算で確認できます。
もとからX≠0の条件が抜け落ちてしまうのは論外ですが、
もし求められた軌跡の式に X=0が含まれないのであれば、
わざわざ X≠0を書く必要はないと思います。
どちらかというと、求めた軌跡の式に X=0が含まれていたので、その除外は忘れないでね。という流れ(考え)で書いていると解釈した方がいいと思います。
図形的には、L1の「傾き:m」が無限大になるとき(y軸に平行となるとき)を表しています。
当然、傾きを連続的にどんどん大きくしていったときの極限なので、連続的に除外すべき点が現れてくる。すなわち、軌跡内に除外すべき点が現れてくる。
と考えるのが普通だと思います。
あくまでも、「解答」は考えを整理したものであって「清書しなおした」ものです。
解答では唐突に現れているように見えても、実際にはそこに書かれていないような考えも背景にはあるわけです。その「行間」を読めるようになれば、しめたもんです。
No.3
- 回答日時:
>(1)より、mが実数値をとるとき、Xが0になることはないのはわかります。
(3)でY/Xをしている時に、そのことを確認しないとXで割る行為はしてはならないのではないでしょうか?
この論証を読んでいると、まさに、その通りです。
X≠0の検証は、(3)の計算をする前にする必要があります。
仮に、(1)でmが実数であれば、X≠0は自明のことで有り触れる必要すら無いとするのであれば、(7)も必要ありません。(ちなみに、この「X≠0は自明のことだから触れない」というのは正しい論証の姿ではありません。自明にしても、「(1)のXの定義より自明である」と一言書くべきです。)
そして、末尾近くになって、またX≠0に触れる必要が出てくるとなると・・・確かに、結果は正しいかも知れませんが、数学の論証としては、×をつけておきましょうか(苦笑)
ちなみに、世の中にあるインチキ証明のいろいろにおいて、さりげなく0で割ると言うのはごまかしの基本です(笑)(例えば、0=1とか1+1=1とかね。0割りをさりげなくやると、こんな等式も証明できます。)
数学の論証というのは、条件に条件を重ねて厳密に導くのが基本ですから、あなたの疑問は正しい疑問です。
「割る数は0であってはならない」というのは、割り算における演算の条件ですから、この場合は、(3)の時点で証明しなければならない事項です。
3連打の質問の全てにおいて、どうも、問題集の解答に厳密さが足りない・・・というか、そういう印象を受けます。総じて、あなたの疑問の方が正しい姿だと思います。(平易な言葉で説明するというのと、厳密さを損なうというのは、数学では別次元の問題です。どんなに平易に説明しても厳密さは損なってはいけないのが数学というものです。緊急避難として、「「***の定理」というのがある。でも証明は非常に難しいからここでは述べない。」というのがまぁ、最大の妥協点ですね。)
本題の疑問に対する直接の答え。
(a) X≠0を検証していないのが「間違い」です。この時点で、この問題集の解答は×(苦笑)
(b) 最後に、この条件が効いてくるのに、ここまでX≠0に触れなかったのを思いだしたものだから、あわてて、ここで触れたんです。そんな書き方、間違ってますけどね。
この回答への補足
結論的には(3)の時点でX≠0を確認しておき、(5)では何も触れる必要はなし。最後の求める軌跡の部分で、x=0の部分を省く。ということをいれる必要があるということでしょうか?
補足日時:2014/08/18 06:29No.2
- 回答日時:
つまり、(1)式より
Xが0にならないことは自明であるから、
わざわざX≠0と書かなくてもよい、ということです。
この回答への補足
(1)より、mが実数値をとるとき、Xが0になることはないのはわかります。
(3)でY/Xをしている時に、そのことを確認しないとXで割る行為はしてはならないのではないでしょうか?
また、(5)から(6)でX≠0としてありますが、両辺にXをかけるから確認せねばならないのではなく、Xが分母になっているから確認をし、最後の軌跡の部分から省かなければならないと理解しているのですが、その考えは違うのですか?
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 球面と接する直線の軌跡が表す領域 4 2023/07/30 12:37
- 数学 数学教えてください!!軌跡、極線、反転 円C:x^2+y^2=1にCの外部の点P(a.b)から引いた 5 2022/07/08 01:55
- 数学 数学 軌跡の問題で2点から等しい距離にある点の軌跡を求めるので三平方の定理を使うのですが、求める点の 4 2023/02/10 21:26
- 工学 伝達関数がG(s)=1+Tsで与えられるもののベクトル軌跡を求めなさいという問題が分かりません。 s 1 2022/11/24 13:15
- 高校 数Ⅱの軌跡という単元について質問です。 問題の最後に、逆に、この~上の全ての点は条件を満たすとかく場 3 2023/03/21 16:38
- 数学 数学の模範回答に よって求める軌跡は直線y=-2x+2である とありますが 直接・・・と書かれている 1 2022/05/13 20:31
- 数学 第4問 座標平面上に3点 A(1, 1),B(1, 5), C(7, 3) を頂点とするABCがある 2 2022/10/01 14:53
- 数学 平面で螺旋の軌跡を表す数式 7 2022/12/11 16:52
- その他(悩み相談・人生相談) 数学IIの問題で、 2点(5.0)(-3.0)に対して、距離APが距離BPの3倍である点Pの軌跡を求 3 2023/05/04 11:45
- 数学 AB=2である2定点A、Bに対して、条件AP²-BP²=1を満たす点Pの軌跡を求めよ。という問題です 1 2023/02/25 15:14
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
計算式 何%減少を教えてくださ...
-
iに絶対値がつくとどうなるのか...
-
相似の問題を解いていて、解答...
-
この問題についての質問です。...
-
コインは10回投げて表が7回...
-
【 数I 組合せ 】 問題 6冊の異...
-
数研出版「改訂版4STEP数学I+A...
-
数学について
-
数学の証明の問題について質問...
-
アキレスと亀のパラドックスは...
-
中学2年で習うオームの法則の...
-
数学の条件の否定の問題で、 「X...
-
勘でマークシートを回答した場...
-
ラプラス変換を使う連立微分方程式
-
宮城県教員採用試験の過去問で...
-
数A確率 同様の確からしさ?
-
x^4+x^2+1の解き方について
-
cosz=2iを解く過程でよくわから...
-
【図(画像参照)のように、正方...
-
3つの数と最大公倍数について
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
計算式 何%減少を教えてくださ...
-
【 数I 組合せ 】 問題 6冊の異...
-
2桁の自然数のうち、4の倍数
-
5-√5 の整数部分を a ,小数部分...
-
解答が省略されている問題は解...
-
中1数学の問題で絶対値が4.5よ...
-
【 数I 因数分解 】 問題 a³+b³...
-
数学について
-
コインは10回投げて表が7回...
-
数学の解答で、すなわちと言い...
-
勘でマークシートを回答した場...
-
数独は必ず推測できるものでし...
-
公文の解答
-
数学の条件の否定の問題で、 「X...
-
【 数I 展開の工夫 】 問題 (x-...
-
小数点以下の計算 0.03694ー0.0...
-
小学3年生の算数の問題
-
8人を2人、2人、2人、2人...
-
媒介変数を消去する前後の同値...
-
ニューステージ数学演習1・A+2...
おすすめ情報