3行3列の行列の和と積の計算方法を教えて下さい。
できれば、例題があればありがたいです。

よろしくお願いします。

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A 回答 (4件)

3行3列の行列同士の計算でいいのでしょうか。


ちょっとずれてしまうかもしれませんがご了承ください。

例えば、
行列A
|a11 a12 a13|
|a21 a22 a23|
|a31 a32 a33|

行列B
|b11 b12 b13|
|b21 b22 b23|
|b31 b32 b33|

があったとき、
A×Bは
|a11×b11+a12×b21+a13×b31 a11×b12+a12×b22+a13×b32 a11×b13+a12×b23+a13×b33|
|a21×b11+a22×b21+a23×b31 a21×b12+a22×b22+a23×b32 a21×b13+a22×b23+a23×b33|
|a31×b11+a32×b21+a33×b31 a31×b12+a32×b22+a33×b32 a31×b13+a32×b23+a33×b33|

A+Bは
|a11+b11 a12+b12 a13+b13|
|a21+b21 a22+b22 a23+b23|
|a31+b31 a32+b32 a33+b33|

となります。

例題:次の行列A、Bがあったとき、それぞれの和と積を求めよ。
行列A
|1 2 3|
|4 5 6|
|7 8 9|

行列B
|7 8 9|
|1 2 3|
|4 5 6|

A×Bは
|1×7+2×1+3×4 1×8+2×2+3×5 1×9+2×3+3×6|
|4×7+5×1+6×4 4×8+5×2+6×5 4×9+5×3+6×6|
|7×7+8×1+9×4 7×8+8×2+9×5 7×9+8×3+9×6|

|21 27 33|
|57 72 87|
|93 117 141|

A+Bは
|1+7 2+8 3+9|
|4+1 5+2 6+3|
|7+4 8+5 9+6|

|8 10 12|
|5 7 9|
|11 13 15|

となります。
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この回答へのお礼

早速回答いただきありがとうございました。
数学って難しいですね...

練習問題など、参考になるホームページや参考書などあれば教えていただけると有り難いです。
また、よろしくお願いします。

お礼日時:2001/06/09 00:49

積の計算が覚えにくいとお感じなら


(→ → →)(↓ ↓ ↓)
(→ → →)(↓ ↓ ↓)
(→ → →)(↓ ↓ ↓)
というイメージと照らし合わせてご覧になると感覚的にとっつきやすいかもしれません。
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和は


(a11 a12 a13) (b11 b12 b13) (a11+b11 a12+b12 a13+b13)
(a21 a22 a23)+(b21 b22 b23)=(a21+b21 a22+b22 a23+b23)
(a31 a32 a33) (b31 b32 b33) (a31+b31 a32+b32 a33+b33)

積は
(a11 a12 a13)(b11 b12 b13) (a11b11+a12b21+a13b31 a11b12+a12b22+a13b32 a11b13+a12b23+a13b33)
(a21 a22 a23)(b21 b22 b23)=(a21b11+a22b21+a23b31 a21b12+a22b22+a23b32 a21b13+a22b23+a23b33)
(a31 a32 a33)(b31 b32 b33) (a31b11+a32b21+a33b31 a31b12+a32b22+a33b32 a31b13+a32b23+a33b33)

です。例えば、

( 1 0 3) ( 2 5 -1) ( 3 5 2)
( 0 2 -1)+(-1 -1 4)=(-1 1 3)
(-1 -1 2) ( 3 2 1) ( 2 1 3)

( 1 0 3)( 2 5 -1) (11 11 2)
( 0 2 -1)(-1 -1 4)=(-5 -4 7)
(-1 -1 2)( 3 2 1) ( 5 0 -1)

ずれておかしく見える時はメモ帳などへコピー&貼り付けして見てください。

p.s.先にhero1000さんが十分な答えを書いていらっしゃるので全く+αなものは無いのですが、
回答数0の時に書き始めちゃって苦労して書いたので載せさせてください。ポイントは要りませんので。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございました。
またよろしくお願いしますね。

お礼日時:2001/06/09 01:08

行列Aと行列Bがあるとします。

また,m行n列目の成分をA(m,n)のように書くことにします。(行列の大きさではありませんのでご注意を。本当は下付き添え字を使いたいところ)
両者の和をCとすると,C(m,n)=A(m,n)+B(m,n)
両者の積をDとすると,D(m,n)=A(m,1)*B(1,n)+A(m,2)*B(2,n)+A(m,3)*B(3,n)
*は乗法。

ということを聞きたかったのでしょうか?
でしたら,ここで聞くより線形代数の教科書を見たほうが分かりやすいと思いますので,このへんにしておきます。
「線形代数演習」などと書かれた本なら,例題もたくさん載っているでしょう。
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この回答へのお礼

どうもありがとうございます。
線形代数の本さがしてみます。

お礼日時:2001/06/09 00:52

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という問題です。自分ではとりあえず、
#include<stdio.h>
int main(void)
{
int i,j;
int x[2][3]={{1,2,3},{4,5,6}};
int y[3][2]={{1,5},{5,3},{8,1}};
int xy[3][3]={0};

for(i=0;i<3;i++)
for(j=0;j<3;j++)
xy[i][j]=x[i][j]*y[i][j];

for(i=0;i<3;i++){
for(j=0;j<3;j++)
printf("%3d",xy[i][j]);
putchar('\n');
}
return 0;
}
というプログラムを作ってみましたが、ダメでした。
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#include<stdio.h>
int main(void)
{
int x[2][3] = { { 1, 2, 3 }, { 4, 5, 6} };
int y[3][2] = { { 1, 5 }, { 5, 3 }, { 8, 1 } };
int xy[2][2];
int i, j, k;

for (i = 0; i < 2; i++) {
for (j = 0; j < 2; j++) {
xy[i][j] = 0;
for (k = 0; k < 3; k++) {
xy[i][j] += x[i][k] * y[k][j];
}
}
}

for (i = 0; i < 2; i++) {
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}
putchar('\n');
}
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}

#include<stdio.h>
int main(void)
{
int x[2][3] = { { 1, 2, 3 }, { 4, 5, 6} };
int y[3][2] = { { 1, 5 }, { 5, 3 }, { 8, 1 } };
int xy[2][2];
int i, j, k;

for (i = 0; i < 2; i++) {
for (j = 0; j < 2; j++) {
xy[i][j] = 0;
for (k = 0; k < 3; k++) {
xy[i][j] += x[i][k] * y[k][j];
}
}
}

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★回答
・最初に『回帰分析』をここで説明するのは少し大変なので『E』のみ説明します。
・回答者 No.1 ~ No.3 さんと同じく『指数表記』の『Exponent』ですよ。
・『指数』って分かりますか?
・10→1.0E+1(1.0×10の1乗)→×10倍
・100→1.0E+2(1.0×10の2乗)→×100倍
・1000→1.0E+3(1.0×10の3乗)→×1000倍
・0.1→1.0E-1(1.0×1/10の1乗)→×1/10倍→÷10
・0.01→1.0E-2(1.0×1/10の2乗)→×1/100倍→÷100
・0.001→1.0E-3(1.0×1/10の3乗)→×1/1000倍→÷1000
・になります。ようするに 10 を n 乗すると元の数字になるための指数表記のことですよ。
・よって、『2.43E-19』とは?
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補足:
・E+数値は 10、100、1000 という大きい数を表します。
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参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%9E%E5%B8%B0%E5%88%86%E6%9E%90

★回答
・最初に『回帰分析』をここで説明するのは少し大変なので『E』のみ説明します。
・回答者 No.1 ~ No.3 さんと同じく『指数表記』の『Exponent』ですよ。
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・0.1→1.0E-1(1.0×1/10の1乗)→×1/10倍→÷10
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Q2つに直交する単位ベクトル

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Aベストアンサー

>> 求めたい単位ベクトルをxと置いて.。

x=(x,y,z)
 単位ベクトは、大きさが1だから、
|x|=1 と書けます。
   これを成分で表現して、
√[(x^2)+(y^2)+(z^2)]=1
    両辺を2乗して、
[(x^2)+(y^2)+(z^2)]=1・・・(A)

また、
>> a・x=0、 b・x=0

   是も成分で表現して、
(1,2,1)・(x,y,z)=0,  (2,-1,1)・(x,y,z)=0
x+2y+z=0・・・(B), 2x-y+z=0 ・・・(C)     

   (C)-(B)で、
   x=3y   これを、(B)に代入して、
   z=-5y

   x,z が y で表されているのを確認して、
   2式を(A)に入れて、

 9(y^2)+(y^2)+25(y^2)=1
           35(y^2)=1
     y=(1/√35), (-1/√35)

    即ち求めたい単位ベクトルは、
  (3/√35, 1/√35, -5/√35) 、
  (-3/√35, -1/√35, 5/√35) 。

>> 求めたい単位ベクトルをxと置いて.。

x=(x,y,z)
 単位ベクトは、大きさが1だから、
|x|=1 と書けます。
   これを成分で表現して、
√[(x^2)+(y^2)+(z^2)]=1
    両辺を2乗して、
[(x^2)+(y^2)+(z^2)]=1・・・(A)

また、
>> a・x=0、 b・x=0

   是も成分で表現して、
(1,2,1)・(x,y,z)=0,  (2,-1,1)・(x,y,z)=0
x+2y+z=0・・・(B), 2x-y+z=0 ・・・(C)     

   (C)-(B)で、
   x=3y   これを、(B)に代入し...続きを読む

Q行列の消去法のコツなど教えてください。

只今、学校にて行列を習っているわけですが、最近行列を使った消去法を習い始めました。

たとえば

3  1 -7  0
4 -1 -1  5
1 -1  2  2

このような行列があったとします。
習った方法は、
(1)一つの行に0でない数をかける。
(2)一つの行にある数をかけたものを他の行に加える。
(3)二つの行を交換する。

1  0  0  3
0  1  0  5
0  0  1  2
このような式に変形してx=3,y=5,z=2みたいな感じにするということでしたが、

今回教えていただきたいことは、
→1度に前述の3つの式を何回も使っていいのか。
→うまく変形するコツ。

の二つです。

やり方自体はなんとなくわかるのですが、単位行列に持っていくまでの手順がイマイチ難しくわからないので、よろしければご教授願います。

2月頭辺りからテストなのでズバリを突いて欲しいと思います。

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

→1度に前述の3つの式を何回も使っていいのか。
何回でも使っていいです。1+1=2と1+1+1-1+1-1+1-1=2が等価なのと同じことと思ってください。

→うまく変形するコツ。
”うまく”はないですけど、初心者向けの解法のコツみたいなものとして、参考までに。
(1)n列目のn行を1にする。
(2)「n列の他の行の数」を、(1)で作った1に-(「n列の他の行の数」)をかけてたして0にする。
(3)単位行列になるまで(1)~(2)を繰り返す。
※nは1~行列の次数(2次正方とか3次正方とかの2,3)です。

Qlogとln

logとln
logとlnの違いは何ですか??
底が10かeかということでいいのでしょうか?
大学の数学のテストでlogが出てきた場合は底が10と解釈してよいのでしょうか??
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Aベストアンサー

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「自然対数」は、natural logarithm の訳語です。
「ln」というのは、「logarithm 。ただし、natural の。」ということで、つまり「自然対数」という意味です。
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>>>大学の数学のテストでlogが出てきた場合は底が10と解釈してよいのでしょうか??

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【10を用いるケース】(log または log10 と書きます)
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ご参考になれば。

こんにちは。

>>>logとlnの違いは何ですか??

「自然対数」は、natural logarithm の訳語です。
「ln」というのは、「logarithm 。ただし、natural の。」ということで、つまり「自然対数」という意味です。
一方、log というのは、底がeなのか10なのかがはっきりしません。


>>>大学の数学のテストでlogが出てきた場合は底が10と解釈してよいのでしょうか??

数学であれば、底がeの対数(自然対数)です。底が10の対数(常用対数)ではありません。
一方、log は、数学以外であれば不明確な場...続きを読む

QWord 文字を打つと直後の文字が消えていく

いつもお世話になっています。
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「これをこれからす。」
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私は高校時代、数学IAIIBまでしか習っていなかったのですが、
大学生になって、行列というものが出てきて困ってます。

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3行3列の逆行列の簡単なやり方がわかる方、教えてください!!

  (2 2 -1)
A=(3 1 4 )
  (1 -1 1)
ちょっと()の描き方おかしいですが、これでお願いします。

もしくは3行3列の逆行列の解き方がわかるサイトがあったら紹介してください。

Aベストアンサー

参考URLに3行3列の逆行列の公式が載っています。
A^-1=A~/|A|
ここで、A^-1はAの逆行列、|A|はAの行列式、A~はAの小行列の転置です。

(手順1)まず、A(3行3行)の行列式の計算をする。
(手順2)次に、逆行列(3行3行)の公式のA~の要素である9個の小行列式(2行2列)を計算する。
(手順3)逆行列の公式を使いA~-1を計算する。

以上が通常の標準的な計算手順です。これが基本ですのでしっかりものにして下さい。

簡便法としては、
参考URL:http://laboratory.sub.jp/phy/m02.html
にあるチルダを用いて逆行列を求める方法があります。

(手順1)3行3列の単位行列EをAに加えて、3行6列の行列式(AE)作る。
(手順2)(AE)に基本変形を使って、Aの部分を対角化する。
  (AE)→(EA^-1)

(検討事項)以上、両方やってみて計算量と計算結果を比較してみるといいでしょう。
(手順3)(EA^-1)から逆行列A^-1を得る。
参考URL
http://laboratory.sub.jp/phy/m02.html

参考URL:http://kagennotuki.sakura.ne.jp/la/node5.html

参考URLに3行3列の逆行列の公式が載っています。
A^-1=A~/|A|
ここで、A^-1はAの逆行列、|A|はAの行列式、A~はAの小行列の転置です。

(手順1)まず、A(3行3行)の行列式の計算をする。
(手順2)次に、逆行列(3行3行)の公式のA~の要素である9個の小行列式(2行2列)を計算する。
(手順3)逆行列の公式を使いA~-1を計算する。

以上が通常の標準的な計算手順です。これが基本ですのでしっかりものにして下さい。

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大学院入試でTOEICの点数を英語の点数として換算している大学院が多くあると知ったのですが大学院別にどのぐらいが合格点なのでしょうか?
東大の院生の平均点が730というデータはネットでみたのですが他のいろいろな大学院について教授からや友達からの情報でもいいので参考にさせてください。

Aベストアンサー

このサイトに、大学院入試でTOEIC(R)Testを活用する52の大学院が、
国公立、私立別で掲載されており、
ある一定のスコアで、英語の独自試験免除など、詳しい情報が見れます!

参考URL:http://www.toeicclub.net/graduateschool.html


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