an+1=1/(an+r) (a1≠-r,rとa1は実数) この時のlim[n→∞]anについての問題があるんですが、
x^2+rx-1=0 の解をα,β(α<β)としたとき、
a1≠α,r>0の時
an→βと言うことを示したいのですが、
0<|(an+1)-β|=|an+1||β||an-β|
となり、今、α<-1<0<β<1なのでβ^n→0が使えるので|an|≦1を示すか、もしくは両辺同じ形の不等式にできたら証明出来るんですが…
実験したら、何回かやると|an|≦1になるんですが、a1によって何回になるかわからないのでできず、変形のほうはan+1=√|(an+1)/an+r|など考えてみたんですが…こちらもa1にだいぶ左右されます…
どうしたらいいですかね?
No.2
- 回答日時:
しらんけど
an+1
というのが
a[n+1]
なのか
a[n]+1
なのか
an+r
というのが
a[n+r]
なのか
a[n]+r
なのか
わかるように書いてくれ。
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
こういう問題の常套手段は以下の通り
a[n+1]-α=1/(a[n]+r)-α=(1-αa[n]-αr)/(a[n]+r)=(-αa[n]+α^2)/(a[n]+r)=-α(a[n]-α)/(a[n]+r)
a[n+1]-β=1/(a[n]+r)-β=(1-βa[n]-βr)/(a[n]+r)=(-βa[n]+β^2)/(a[n]+r)=-β(a[n]-β)/(a[n]+r)
でとする。
a[1]≠αかつr>0のときはa[n+1]≠αでありα<-1<0<β<1だから,両式の比をとると
(a[n+1]-β)/(a[n+1]-α)=(β/α)(a[n]-β)/(a[n]-α)
従って
(a[n]-β)/(a[n]-α)=(β/α)^(n-1)*(a[1]-β)/(a[1]-α)→0
a[1]≠αかつr>0でないときも同様にできる。
なるほど、a[n+1]-αも同時に考えることによって、1/(a[n]+r)が消せるんですね~
ということは、一般項も出せそうですね(すごく汚くなりそうだけど…)
ありがとうございました!
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