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sin(x^2)やcos(x^2)の不定積分が初等関数で表せないことはexp(-x^2)の不定積分が初等関数にならないことと、同様に証明できるはずだと思うのですが、どのようにして証明されるのでしょうか。「Mathematicaでできないからできない。」というようなことではなく、きちんとした論証を知りたいのです。

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A 回答 (5件)

追伸


「級数は、ダランベールの収束判定法によれば任意のxについてなので収束すると思いますが。」
ご指摘のように f(x)exp(-x^2)という関数は f(0)=1, f(∞)=0 の連続関数ですから無限級数展開して任意の区間の項別積分の総和は収束値を持っています。実際にガウス分布の数値表などは数値積分法で区間別のf(x)値を計算していますね。ただ, x→∞ではどうかですね。
ガウス先生は, ∫[0→R]exp(-x^2)dx を [R→∞]の
場合にのみについて初等積分法と挟み撃ちの方法で解いてますね。
∫[a~b]exp(-x^2)dx については数値積分で計算はできますね。数値積分なども含めて初等関数というのならexp(-x^2)は微妙な関数ですね。
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。exp(-x^2)は微妙なことなんかありません。積分が初等関数にならない代表的な関数です。

お礼日時:2004/06/21 12:09

追伸の参考程度に


[展開式の項別積分が計算できないとはどういうことなのでしょうか。]
項別積分可能でも総和としての値(積分の収束値)が決定できないということですね。
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
 Σ(-1)^n x^(2n+1)/(2n+1)n!
という級数は、ダランベールの収束判定法によれば任意のxについて
 lim|a[n+1]/a[n]|=lim x^2 (2n+1)/(2n+3)(n+1)=0
なので収束すると思いますが。

お礼日時:2004/06/17 12:35

「exp(-x^2)の不定積分が初等関数でかけないことを使って


sin(x^2)やcos(x^2)の不定積分が初等関数で表せない」ことを示すのではなくて、
単に「exp(-x^2)の不定積分が初等関数にならないこと」の証明でいいですね?

95年10月号の数学セミナーにのっています。
しかし、リュービルの定理に帰着されてしまっています。
それ以上は、私は追跡してないので分かりません。
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。mmkyさんもお書きになっているようにexp(-x^2)の不定積分が初等関数でなければ
sin(x^2)やcos(x^2)の不定積分も初等関数でないことは言うまでもありません。

お礼日時:2004/06/16 12:39

追伸の参考程度に


f(x)=exp(-x^2)
f(x)をexp の展開式を使って展開すると、
exp(-x^2)=1+(-x^2)/1!+(-x^2)^2/2!+(-x^2)^3/3!+・・+(-x^2)^n/n! + ・・
=1 - x^2/1! + x^4/2! - x^6/3! + x^8/4! +・・
+ x^2n/n! - x^2(n+1)/(n+1)!・・
f(x)の積分値は展開式の項別積分として表せますね。
∫f(x)dx=∫{1 - x^2/1! + x^4/2! - x^6/3! + x^8/4! +・・+ x^2n/n! - x^2(n+1)/(n+1)!・・}dx
この値が計算できないということですね。
g(x)=exp(x) などの積分可能関数と比較するとわかります。
g(x)=exp(x),  exp(-x)
の場合は微分しても積分しても同一の無限級数になるので計算できるのですね。
exp(x)=1+x/1!+x^2/2!+ x^3/3! +・・+x^n/n!+・・
d{exp(x)}/dx==1/1!+2x/2!+ 3x^2/3!+・・+nx^n-1/n!+・・
=1+x/1!+x^2/2!+ x^3/3! +・・+x^n-1/(n-1)!+・・=exp(x)
∫exp(x)dx=x+x^2/2*1!+x^3/3*2!+ ・・+x^(n+1)/(n+1)*n!+・・
=x/1!+x^2/2!+x^3/3!+ ・・+x^(n+1)/(n+1)!+・
=exp(x)-1
つまり関数exp(x), exp(-x)が特別な数列を持っているということなんですね。ところがexp(x^2), exp(-x^2)は単なる非線形関数なので簡単には計算できないんです。exp(-x)と形式が同じだから出来ると考えてはいけないものなのですね。
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。展開式の項別積分が計算できないとはどういうことなのでしょうか。初等関数になるとすると矛盾が起こるとか、初等関数になる条件が満たされたないとかいうのでないと、ちゃんとした論証とはいえないと思います。

お礼日時:2004/06/16 12:27

参考程度に


オイラーの関係式
e^ix=cosx +i*sinx
からsinx^2、cosx^2 は、
sinx^2={e^ix^2 - e^-ix^2}/2i
cosx^2={e^ix^2 + e^-ix^2}/2
で表せるので、exp(-x^2)の不定積分が初等関数にならないと同じように, sinx^2、cosx^2 は初等関数では計算できないのです。
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。exp(-x^2)の不定積分が初等関数にならないことは有名ですが、証明となると知っている人は少ないようです。exp(-x^2)の不定積分が初等関数にならないことはどのように証明されるのか教えていただければ幸いです。

お礼日時:2004/06/14 17:32

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Qe^-2xの積分

e^-2xの積分はどうしたらよいのでしょうか…。e^xやe^2xsinxなどはのってるのですがこれが見つかりません。お願いします。

Aベストアンサー

いささか、思い違いのようです。

e^-2x は、 t=-2x と置いて置換してもよいけれど、牛刀の感がします。

e^-2x を微分すると、(-2)*( e^-2x )となるので、

e^-2x の積分は、(-1/2)*( e^-2x )と判明します。

Q積分で1/x^2 はどうなるのでしょうか?

Sは積分の前につけるものです
S dx =x
S x dx=1/2x^2
S 1/x dx=loglxl
まではわかったのですが
S 1/x^2 dx
は一体どうなるのでしょうか??

Aベストアンサー

まず、全部 積分定数Cが抜けています。また、積分の前につけるものは “インテグラル”と呼び、そう書いて変換すれば出ます ∫

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(d/dx)F(x)=f(x)です。

また、微分で
(d/dx)x^a=a*x^(a-1)になります …高校数学の数3で習うかと
よって、
∫x^(a-1)dx=(1/a)*x^a+C
→∫x^adx={1/(a+1)}*x^(a+1)+C
となります。

つまり、
∫1/x^2 dx=∫x^(-2)dx
={1/(-2+1)}*x^(-2+1)+C
=-x^(-1)+C
=-1/x+C

です。

Q累次積分∮∮(D)sinx^2dxdy

累次積分∮∮(D)sinx^2dxdy
D:{y≦x≦1,0≦y≦1}
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という問題があります。

積分順序を変更すると
∮∮(D)sinx^2dxdy
D:{0≦x≦1,0≦y≦x}
(yから積分。)
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解答では
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Aベストアンサー

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Qe^(-x^2)の積分

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eは自然対数の底でe^(-x^2)=exp{-x^2}

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ガウス分布に使いますね。
やりかたですね。一般的なものを参考程度までに、

xy座標の第一象限で原点を通る一辺aの正方形
と正方形に接する半径aの(1/4)円とr半径√2aを考えるんですね。
正方形の領域□でe^-x^2 をx方向に積分すると、
∫[0→a]e^-x^2dx
正方形の領域だからe^-y^2 をy方向に積分しても
同じ値になりますね。だから
∫[0→a]e^-x^2dx=∫[0→a]e^-y^2dy
ということは、x,yは独立に考えられるので、
∫[0→a]e^-(x^2+y^2)dxdy
={∫[0→a]e^-x^2dx}^2
という関係が出ますね。
だから、e^-(x^2)を積分する代わりにe^-(x^2+y^2)を積分してその√を取れば解が得られるという論法を利用するんですね。
四角形の領域で
I=∫[x,y:0→a]e^-(x^2+y^2)dxdy
を積分するにはちょっとなんで、四角形に接する大小の円で挟み撃ちを考えるんですね。
半径aの(1/4)円では、
極座標変換して、(x^2+y^2)=r^2, dxdy=rdrdθ
=∫[0→a]e^-(r^2)dr∫[0→π/2]dθ
=(1/2)(1-e^-a^2)(π/2)=(π/4)(1-e^-a^2)
同様に、半径√2aの(1/4)円では、
=(π/4){1-e^-(2a^2)}
だから、
x:0→a
√{(π/4)(1-e^-a^2)}<∫[0→a]e^-(x^2)dx
<√{(π/4){1-e^-(2a^2)}}
が回答ですね。これ以上は数値表を参照ですね。
a→∞ であれば、
∫[0→∞]e^-(x^2)dx=(√π)/2
が回答になりますね。
広域積分でも検索すれば参考になるかも。

ガウス分布に使いますね。
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Qsin^2の定積分・・・

こんにちは。テストを控えて家にこもっている学生です。問題が分からなくて困っています。宜しければ、ご教授下さい。
ここでの∫-a b は積分記号の上にbが、下に-aが付く事を表すとします。分かり辛くて申し訳ありません。

∫-π π (sin^2)dx  

自分としては、sin^2x を 1-cos2x/2 と変形することで、1/2を関係のない定数として前に出して、分解的に積分をして行き、

=1/2[x]-π π ー 1/2[1/2sin2x]-π π
=・・・・

の様に解いていたのですが、答えがどうしても答と一致しません。因みに答えはπになります。この問題の計算の過程を上手く再現して、解答を導いていただける方、解答お待ちしております。
宜しくお願い致します。

Aベストアンサー

>∫-π π (sin^2)dx 
通常上付き、下付き文字が使えないとき
I=∫[-π→π] {sin(x)^2} dx
などと書きます。
sin(x)^2=(1/2){1-cos(2x)}
cos(2x)の周期はπですので、積分区間がπの整数倍であれば積分値はゼロになります。今の場合積分区間は[-π→π]で2πですので積分はゼロになります。
したがって
sin(x)^2は(1/2)だけが積分結果に影響します。
I=∫[-π→π] {sin(x)^2} dx
=(1/2)∫[-π→π] 1 dx -(1/2)∫[-π→π] cos(2x) dx
=(1/2)∫[-π→π] 1 dx
=(1/2){π-(-π)}


なお、後半の積分を強いてやれば以下のようになります。
(1/2)∫[-π→π] cos(2x) dx=(1/4){sin(2π)-sin(-2π)}=0

QFrenel(フレネル)積分の証明の経路

複素積分を習うなかでフレネル積分の証明があるのですが、
なぜ積分経路を8分円(角度π/4の扇形)で考えるのでしょうか?
f(z)=e^(-iz^2)として積分するからなんでしょうか?
(どちみち理由は分からないのですが;)

また、複素積分をするにあたり図を描いたほうがいいと言われますが、
はっきり言ってどう考えたらいいのか分かりません。
コツがあればついでに教えていただけたらと思います。

分かる方、よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

Frenel じゃなくて Fresnel ですね.

具体的にどういう積分をどういう方針で求めたいのかを書かないと,
回答者にはなかなか意味が伝わりません.

察するに,
(1)  ∫{0→∞} cos(x^2) dx
     = ∫{0→∞} sin(x^2) dx
     = (1/2)√(π/2)
を知るのに
(2)  f(z) = e^(-iz^2)
を質問の径路で複素積分して求めよ,ということでしょうか.
質問の径路は
原点(0,0)→A(R,0)→半円に沿ってB(R,R)→直線で原点に戻る
で,R→∞と考えるのですね.
最初の直線を径路 C1,次の円弧を C2,最後の直線を C3 としておきます.

この径路でやるなら,(2)の f(z) ではうまく行きません.
(3)  g(z) = e^(iz^2)

(4)  h(z) = e^(-z^2)
を使わないとダメです.

留数定理はもちろん知っているものとして,
基本的考え方は以下の通りです.
g(z) を使うことにしましょう.
論理構成は以下の(a)~(d)です.

(a) g(z) は複素全平面で正則ですから径路内に極はなく,
径路を一周した積分はゼロです.

(b) 径路 C1 に沿った積分は
(5)  e^(iz^2) = cos(x^2) + i sin(x^2)
を考えれば,実数部と虚数部がそれぞれ(1)の積分を与えます(R→∞として).

(c) 径路 C2 に沿った積分は R→∞ でゼロになってくれる.

(d) 径路 C3 の沿った積分はうまいこと既知の積分に帰着する.

(e) (a)~(d)を組み合わせれば直ちに(1)がわかる.

(a)(b)はもう説明不要でしょう.
(c)は
(6)  z = R e^(iθ) = R(cosθ + i sinθ)
とおけば,z^2 = R^2 e^(2iθ), dz = izdθ ですから
(7)  g(z) = exp{iR cos2θ - R sin2θ}
になります.
今は 0≦θ≦π/4 ですから,θ=0 は除いて sin2θ>0 で,
R→∞としたときに g(z) は指数関数的にゼロに近づきます.
したがって,径路 C2 に沿った積分はゼロになります.
(7)の { } の - R sin2θの負符号が重要で,
ここが正符号だと発散してしまいます.
つまり,f(z) だとうまく行かない!

(d)に沿っては z = x + xi ですから(積分範囲が R→0 であることに注意),
(8)  g(z) = e^{i(x+xi)^2} = e^(-2x^2)
(9)  dz = (1+i) dx
となり,√2 x = t とでも置けば有名な Gauss 積分
(10)  ∫{0→∞} e^(-t^2) dt
に帰着します.
ここでも,f(z) だと e^(2x^2) になってしまい発散してしまいます.

あとの細かい計算はお任せします.

> 複素積分をするにあたり図を描いたほうがいいと言われますが、
頭の中ですべてできれば図を描く必要もありませんが,
初めのうちはそうも行かないでしょう.
わずかな手間を惜しんで理解できなかったり誤解したりするのはつまらないことです.

> コツがあればついでに教えていただけたらと思います。
例題をさらっと読み流すのではなく,
上のようなことを考えながら手を動かし頭を働かすより仕方がないでしょう.
例えば,h(z) を使ったらどうなるのか,π/4 でなくて π/6 にしたらどうなるのか,
第1象限の8分円でなくて,他の象限の8分円だったら g(z) をどう修正すればうまくいくか,
などやってみると勉強になります.

この種の問題では,考えるべき複素関数と径路が与えられてないと格段に難しくなります.

Frenel じゃなくて Fresnel ですね.

具体的にどういう積分をどういう方針で求めたいのかを書かないと,
回答者にはなかなか意味が伝わりません.

察するに,
(1)  ∫{0→∞} cos(x^2) dx
     = ∫{0→∞} sin(x^2) dx
     = (1/2)√(π/2)
を知るのに
(2)  f(z) = e^(-iz^2)
を質問の径路で複素積分して求めよ,ということでしょうか.
質問の径路は
原点(0,0)→A(R,0)→半円に沿ってB(R,R)→直線で原点に戻る
で,R→∞と考えるのですね.
最初の直線を径路 C1,次の円弧を C2,最後の直線...続きを読む

Q金属、半導体の抵抗の温度変化について

金属は温度が高くなると抵抗が大きくなり、半導体は温度が高くなると抵抗が小さくなるということで、理論的にどうしてそうなるのでしょうか。
金属については、温度が上がると粒子が熱振動し自由電子が流れにくくなるというようなことを聞いたことがありますがあっていますか?
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>>>金属については、温度が上がると粒子が熱振動し自由電子が流れにくくなるというようなことを聞いたことがありますがあっていますか?

だいたい合っています。
金属については、温度が上がると正イオン(自由電子が引っこ抜かれた残りの原子)の振動が激しくなるので、自由電子が正イオンに散乱されます(進路を乱されます)。
それをマクロで見たとき、電気抵抗の上昇という形で現れます。

>>>半導体についてはまったく理由がわからないので詳しく教えて頂くとありがたいです。

半導体の中において金属の自由電子に相当するものは、電子とホールです。この2つは電流を担う粒子ですので、「キャリア」(運ぶ人)と言います。
ホールは、半導体物理学においてプラスの電子のように扱われますが、その実体は、電子が欠けた場所のことを表す「穴」のことであって、おとぎ話の登場人物です。
電子の濃度とホールの濃度に違いがあったとしても、一定の温度においては、両者の濃度の積は一定です。
これは、水溶液において、H+ と OH- の濃度の積が一定(10^(-14)mol^2/L^2)であるのと実は同じことなのです。

中性の水溶液の温度が高くなると、H2O が H+ と OH- とに解離しやすくなり、H2O に戻る反応が劣勢になります。
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キャリアが増えるので、電流は流れやすくなります。

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Qarcsinxの積分は?

タイトルのとおり、arcsinx の積分を求めたいのですが、どうすればいいか分かりません。
部分積分を使って解こうとしたのですが、うまくいきませんでした。
どなたか教えていただけませんか?
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

 ∫x'arcsinx dx
= x・arcsinx - ∫x(arcsinx)'dx

f(x)の逆関数の微分は f(x) = y とおくと 1/f'(y) になります。

arcsinx = y とおくと、
(arcsinx)' = 1/(siny)' = 1/cosy

また、x = siny より dx = cosy dy

よって、
 ∫x(arcsinx)'dx
= ∫siny・1/cosy・cosy dy
= ∫siny dy
= -cosy
= -√(1-(siny)^2)
= -√(1-x^2)

したがって、
∫arcsinx dx = x・arcsinx + √(1-x^2)

Qlim[n→∞](1-1/n)^n=1/e について

こんにちは

lim[n→∞](1+1/n)^n=e
が成り立つことは簡単に示せるのですが、
lim[n→∞](1-1/n)^n=1/e
となることの証明はどのようにすればいいのでしょうか?
ご存知の方がいらっしゃいましたらご回答よろしくお願いします。

Aベストアンサー

e=lim(1+t)^(1/t)   〔t→0〕
がeの定義なので、(t→+0でもt→-0でもOK)
-1/n=tとおきます。

n→∞のとき、t→-0なので、
(与式)=lim(1+t)^(-1/t)   〔t→-0〕

これを変形すると、
=lim{(1+t)^(1/t)}^-1   〔t→-0〕
=e^-1
=1/e

高校の範囲なら、この証明で大丈夫です。

Qf(z)=|z|^2はz=0で微分可能ではあるが、正則ではないことを示

f(z)=|z|^2はz=0で微分可能ではあるが、正則ではないことを示せ。

解答
f'(0) = lim[z->0] {f(z)-f(0)}/z
= lim[z->0] z~
となり、z=0で微分可能。
z=0で正則とは0のある近傍で正則ということであるが、
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…と載っているんですが、
lim[z->0] {f(z)-f(0)}/z
= lim[z->0] z~
の、いきなりz~になるところが分かりません。
どうやってz~を導くのか教えて下さい。
それと、この場合、f(0)で極限値をもてば、
z=0において微分可能と呼べるんですよね?
lim[z->0] z~の極限値は0ということでいいですか?

Aベストアンサー

上は f(0) = 0 だから単純に f(z) / z を計算するだけ. z = x + iy とでもおいてみればわかる.
下はちゃんと自分で示せばいい.


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