物理 単振動

自然長がL、ばね定数kの軽いばねの両端に、質量Mの物体Aと質量mの物体Bをつける。
AとBを近づけてばねを縮め、なめらかで水平な床の上で静かに放すと、AとBは単振動を始めた。
ある時刻でのばねの長さをxとする。また、右向きの符号を+とする。
(1)床に対するAの加速度を求めよ。
(2)床に対するBの加速度を求めよ。
(3)Aから見たBの加速度を求めよ。
(4)(3)より、単振動の周期を求めよ。

よろしくお願いします。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2015/07/23 00:53

物体Aがばねを伸ばす方向を正として、

物体Aの自然長からの変位：Xa
物体Bの自然長からの変位：Xb

とすると、

ばねの長さ：x = L + Xa - Xb
　　　　　∴　 Xa - Xb = x - L　　　（A）

ばね定数を k として、運動方程式は、

　　M * d^2(Xa)/dt^2 = - k * Y = - k * ( x - L )　　（B）
　　m * d^2(Xb)/dt^2 = k * Y = k * ( x - L )　　（C）

（B）から、

　　d^2(Xa)/dt^2 = - k * ( x - L ) / M　　→（１）の答

（C）から

　　d^2(Xb)/dt^2 = k * ( x - L ) / m　　→（２）の答

（A）より、

　　d^2(Xa)/dt^2 - d^2(Xb)/dt^2 = d^2(x)/dt^2

であるから、(B) * ｍ - (C) * Mより（直接（１）－（２）でもよい）

　　 d^2(x)/dt^2 = - k * ( x - L ) * ( M + m ) / ( M * m ) 　　（D）　→（３）の答

ここで、

　　x = A * sin(ω*t) + B * cos(ω*t)

とおくと、

　　d^2(x)/dt^2 = - A * ω^2 * sin(ω*t) - B * ω^2 * cos(ω*t) = - ω^2 * x

（D）の「 x の係数」と比較して、

　　 ω^2 = k * ( M + m ) / ( M * m )
　∴　ω =± √[ k * ( M + m ) / ( M * m ) ]

周期 T は

　　T = 2 * パイ * ω　
　　　= 2 * パイ * √[ k * ( M + m ) / ( M * m ) ]　　　→（４）の答