線形写像

Tが実ベクトル空間 S={X∈M(n,R); tX=X}からA={Y∈M(n+1,R); tY=-Y}への線形写像で、
KerT={0},{X_1,X_2,・・・,X_m}をSの基底とする。
(1) mをnの式で表せ。
(2){T(X_1),T(X_2),・・・,T(X_m)}はAの基底であることを証明せよ
(3) Tが全射であることを証明せよ。
という問題が難しくて解けないので、何かヒントとかお願いします。

質問者からの補足コメント

• m=n+(n^2-n)/2=n(n+1)/2
  Aの次元は((n+1)^2-(n+1))/2=n(n+1)/2
  (1)は解決しました。
  a(X)・Pはどういう計量ベクトル空間で定義されている内積ですか。

  No.3の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2015/08/12 11:54

• (2) 背理法による証明の要点を教えてください。
  瞬殺といえるほど短いのですか。
  {T(X_1),T(X_2),・・・,T(X_m)}がAの基底でないことは、KerT={0}と共存できないということでしょうか。

  No.4の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2015/08/12 22:14

• もう少しヒントをお願いします。
  次元公式 dimS=dim(KerT)+dim(ImT)は使いますか。
  次元公式のほかに、BをAの基底としてTの{X_1,X_2,・・・,X_m},Bに関する表現行列を利用することを考えましたが、これは不発でした。

  No.5の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2015/08/13 00:14

No.1 回答者： rabbit_cat 回答日時： 2015/08/11 12:18

tX=X、tY=-Yのtというのは何ですか？Ｔのこと？

M(n,R)というのが、n次元実ベクトル空間 の意味だとすると、
Xはn次元、Yはn+1次元ですが、tという写像の次元はいくつなんでしょう。
もちろん、n次元のベクトルはn次元ベクトルに、n+1次元ベクトルはn+1次元ベクトルに写すという写像は考えられますが、
少なくとも、普通の意味での線形写像ではないですね。

この回答へのお礼

tXはXの転置行列のことで、M(n,R)はn次実正方行列の全体です。

お礼日時：2015/08/11 16:41

No.2 ベストアンサー 回答者： fef 回答日時： 2015/08/11 17:11

(1)は，具体的に線型空間 S の基底を構成すればよいだけですね．

線型空間 S の元で基底と予想されるものの組を書いて，
　・それらが線型独立であること
と
　・線型空間 S の任意の元がそれらの線型結合で表現できること
を示すだけです．

(2)は，
　・{T(X_1), T(X_2), ..., T(X_m)} が線型独立であること
と
　・線型空間 A の次元が m であること
を示すだけですね．
「線型空間 A の次元が m であること」を示すには，
(1)と同じように基底を構成すればよいでしょう．

(3)は，全射の定義を満たしていることを具体的に示せばよいでしょう．

この回答へのお礼

分かりやすいヒントのおかげで解決しました。
ありがとうございました。

お礼日時：2015/08/13 15:31

No.3 回答者： stomachman 回答日時： 2015/08/11 17:27

> 何かヒント

　(1) は「n次の実対称行列は独立な成分をいくつ持っているか」と尋ねているのと同じです。行列Xのi行j列成分をX[i,j]と書くとしまして、X[1,1]=1で他の成分は全部0のやつ、X[1,2]=X[2,1]=1で他の成分は全部0のやつ、…というのを線形結合すればSが尽くせますから、これは基底の一例になってる。Sの基底でXを成分に分解して X=a[1]X_1+…+a[m]X_m とすると、Xを実ベクトルaに1:1対応させることができ、これをa(X)としましょう。P=<X_1,…,X_m>を「行列を成分とするベクトル」だと思えば、内積(・)を使ってX=a(X)・Pと書いても、ま、意味通じるでしょ。
　交代行列Yは対角成分が全部0ですから、独立な成分はXの場合と丁度同じだけあるのはお分かりでしょう。なので、Q=<Y_1,…,Y_m>という基底が取れます。
　で、Tが難しければ、代わりにY=b[1]Y_1+…+b[m]Y_mと分解したとき、実ベクトルaから実ベクトルbへの写像τをお考えになっちゃどうでしょう。
　　T(X) = τ(a(X))・Q
ということになってる訳ですが、エッセンスはτが担っていますから。

No.4 回答者： Tacosan 回答日時： 2015/08/12 12:26

(2) は背理法で瞬殺. (3) は本質的に (2) で終わってる.

まあ #3 で「ふつ～の内積」を使ったのと同じことだが.

No.5 回答者： Tacosan 回答日時： 2015/08/12 23:23

そう, そんだけ.

さあがんばれ.

No.6 回答者： Tacosan 回答日時： 2015/08/13 02:53

確認.

(2) を背理法で証明するとしたら「{T(X_1),T(X_2),・・・,T(X_m)}はAの基底である」を否定する必要がある.
・ではその否定はどのような命題なのか
・そのことから T(X_1), ..., T(X_m) はどのような条件を満たさなければならないのか (m と A の次元数との関係に注意)
はわかる?

この回答へのお礼

ようやく背理法による証明の姿が見えてきたように思います。
速度比較のために、#2(2)をヒントに仕上げた直接証明を先に見てもらいます。

λ_1T(X_1)+・・・+λ_mT(X_m)=0とする(λ_1,・・・,λ_m∈R)
このとき、T(λ_1X_1+・・・+λ_mX_m)=0だからλ_1X_1+・・・+λ_mX_m∈KerT={0}
つまりλ_1X_1+・・・+λ_mX_m=0
{X_1,・・・,X_m}は一次独立だからλ_1=・・・=λ_m=0
よって{T(X_1),・・・,T(X_m)}は一次独立。
dimA=mだから{T(X_1),・・・,T(X_m)}はAの基底である。

次に背理法

{T(X_1),・・・,T(X_m)}がAの基底でないとする。
dimA=mだから、このとき{T(X_1),・・・,T(X_m)}は一次従属。
よって、すべては0でない実数λ_1,・・・,λ_mがあって
λ_1T(X_1)+・・・+λ_mT(X_m)=0が成り立つ。
このとき、T(λ_1X_1+・・・+λ_mX_m)=0だからλ_1X_1+・・・+λ_mX_m∈KerT={0}
つまりλ_1X_1+・・・+λ_mX_m=0
しかし、これは{X_1,・・・,X_m}が一次独立であることと矛盾する。
よって・・・

という証明なら、直接証明と速度比較して、どうでしょうか。

お礼日時：2015/08/13 06:55

No.7 回答者： Tacosan 回答日時： 2015/08/13 14:20

ああ, 確かに背理法よりも直接証明した方が早いわ.

で (2) が終わったので (3) も終わり, と.

この回答へのお礼

(2)が解決して、(3)は正真正銘瞬殺でした
ありがとうございました。

お礼日時：2015/08/13 15:33